Morgana0_0 26 авг в 15:20

Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7?

Средний

2 мин

6.1K

Математика * Научно-популярное

Комментарии 30

wataru 26 авг в 15:35

Вопрос после "Введём несколько определений:"

Sk - это же множество? Или что? Что значит $u_k \perp S_{k-1}$ ? Вектор перпендикулярен всем векторам множества? Что значит $S_{k-1} \times u_k$ ?

Morgana0_0 26 авг в 15:59

Возьмём самый простой пример. Если $S_0 = \{u_0\},$ то $S_1 = \{u_0, u_1, u_0 \times u_1\},$
$S_2 = \{u_0, u_1, u_0 \times u_1, u_2, u_2 \times u_0, u_2 \times u_1, u_2 \times (u_0 \times u_1)\}$ и т.д.

$S_{k-1} \times u_k$ — каждый элемент $S_{k-1}$ векторно умножаем на И да, $u_k \perp S_{k-1}$ значит, что ортогонален любому вектору из $S_{k-1}$ .

wataru 26 авг в 16:08

Встает вопрос, а есть вообще этот самый uk, перпендикулярный всем остальным. Сколько их может быть в n-мерном пространстве? Зависит ли что-нибудь от выбора этого самого вектора?

Morgana0_0 26 авг в 16:54

Предполагая, что мы уже построили $S_{k-1}$ ортогональным, можно рассматривать его как базис-1 мерного подпространства, а потом применить процесс ортогонализации Грамма-Шмидта и построить , ортогональным подпространству натянутому на базис.

От выбора векторов ничего не зависит. Главное, что, если построено, то их можно взять в качестве базиса, что даёт соответствующее ограничение на n.

10011001010010010 26 авг в 16:05

ну какое векторное произведение в 7-мерном пространстве?! "вектор, перпендикулярный обоим векторам и " может существовать только в 3-мерном. В 4-мерном перпендикулярна двум векторам будет целая плоскость, или матрица, а не вектор. В 7-мерном перпендикулярен будет тензор 5-го порядка. В пространствах низшей размерности аналогично. В двумерном нет вектора, перпендикулярного двум векторам.

0serg 26 авг в 19:30

Это неверное утверждение. Векторов перпендикулярных векторам a и b в пространствах выше R3 просто много. Но интересующий нас перпендикулярный вектор собственно и в R3 определен лишь с точностью до умножения до константу, которую нам приходится выбирать из каких-то дополнительных соображений. В R7 возможных перпендикулярных векторов тупо больше и правила выбора нужного вектора сложнее. А в R0 и R1 все наоборот: там единственный вектор перпендикулярный одновременно двум (a) и (b) - это нулевой вектор. Да-да, нулевой вектор по определению ортогонален всем остальным. Так что R0 и R1 прекрасно работают тоже.

XViivi 26 авг в 22:07

это не так? в 4-мерном пространстве двум векторам может быть перпендикулярна плоскость — не значит ли это, что любой вектор между двумя точками этой плоскости будет перпендикулярен изначальному вектору?

10011001010010010 26 авг в 22:49

не так то, что плоскость это не вектор. под определение, даное автором не подходит.

0serg 22 часа назад

Плоскость можно рассматривать как множество векторов. Любой вектор из этого множества подходит.

notwithstanding 17 часов назад

Какое именно определение, данное автором, здесь не подходит, укажите, пожалуйста.

andy_p 26 авг в 16:30

В алгебре Клиффорда определено для всех размерностей.

Dhwtj 26 авг в 17:17

А что такое R0? И как там вообще живут вектора

Morgana0_0 26 авг в 17:33

это нульмерное пространство, то есть просто точка. То есть такое векторное пространство содержит только нулевой вектор.

MasterMentor 26 авг в 17:47

Статья/карма/подписки: +/+/+
Реплика:

Чаще всего с векторным произведением мы знакомимся в курсе аналитической геометрии, где мы редко выходим в задачах за размерность три

Конечно. Если заниматься физикой (которая не "мета", а обычная - по которой ездят трамваи и летают ракеты), то в финале все расчёты - в каких бы размерностях они не вычислялись, - проецируются в "геометрию размерности три". Как говорится: все вопросы к т.н. "богу". :)

10011001010010010 26 авг в 18:07

многомерные пространства встречаются гораздо чаще, чем кажется. только там никому не нужно векторно перемножать вектора. А вот перемножать тензора - только успевай.

а в четырёхмерном пространстве перемножаются кватернионы, чтобы решать задачи вращения в нашем любимом трёхмерном пространстве.

MasterMentor 26 авг в 21:51

"двух", "трёх", "черырёх"... итд итп "измерения" "пространства" - это абстракции. Выдумки ума человеческого. Проверка - всё равно выход в практику: в трёхмерку - то есть в пространство с минимальным чилом компонент, совпадающее с геометрией механики. Иначе говоря: междисциплинарная теория - т.н. "теория всего", всё равно должна (с сокращеним измерений) проецироваться в R3. :)

10011001010010010 26 авг в 22:45

математика - это вообще абстракция. вся. все эти абстракции придуманы для решения практических насущных задач. вы не можете пощупать кватернион или мнимое число. вы даже не можете пощупать геометрическую точку. их нет, это всё абстракции. но статья именно о них. что-ж теперь, и вектора не перемножать, раз они абстракции?

notwithstanding 17 часов назад

Мы не знаем, сколько в нашем мире измерений, не забывайте. То, что мы знаем 3 пространственных и 1 временное значит лишь то, что они нам доступны.

И вообще, мерность – тоже математическая абстракция, никаких настоящих трехмерных пространств не существует. Просто металлическая модель хорошо описывает интересующую нас часть реальности.

MasterMentor 26 авг в 17:58

... так же почитал телеграм, но не подписался. Минусы: слишком абстрактная информация. Не ясно, как

мне, я всегда говорю только своё ИМХО, а не дяди из тиливизора объективное мнение и дядину правду

всем этим воспользоваться в жизненной практике (я намекаю на "извлечение прибыли"). :)

i-netay 26 авг в 18:29

При исследовании более практических тем типа тех же нейронок более абстрактная теория бывает полезна, а нейронки для извлечения прибыли могут пригодиться. Автора не знаю, чтобы рекомендовать подписываться, а вот "подписаться на спецкурсы кафедры алгебры мехмата" для кругозора полезно даже в применении к практическим темам. Математика не пригодится, если её не знать, а иначе вообще-то имеет шансы, даже довольно абстрактная. Так что абстракция не такой минус, минус, что сложность и порог входа высокие, и польза станет понятна нескоро, но оно того стоит.

MasterMentor 26 авг в 18:46

Спасибо, совет хороший. Однако, загляните в мой профиль и ознакомьтесь со статьями (и, что не маловажно, комментариям): я несколько осведомлён в математике. Возможно, даже причастен к не самым последним государственным ВУЗам, где преподают последнюю.

n0isy 26 авг в 19:39

В таком случае, вы всю жизнь извлекаете прибыль из этих и подобных знаний, в профессиональной деятельности.

MasterMentor 26 авг в 22:06

Из этих знаний - ничего не извлекаю. Я даже не проверял математику (логика рассуждений мне показалась правдоподобной - и не более).

PS Я призываю авторов, производящих абстракции, приводить мотивы их создания или аргументы зачем эти абстракции нужны людям (иначе они ничем не отличаются от других "говорящих голов" из тИлИвизоров).

Имеем: "векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7". И что дальше? Это здесь математически доказывается?! Нет. Значит это лишь гипотеза.

(Простейший вариант: по индукции распространить закономерность на пространства N+1 измерений. И я не утверждаю, что это возможно: R^0, R^1, R^3, R^7 - уж больно здесь попахивает простыми числами.)

Далее: где в практике я могу применить эти знания?

Refridgerator 49 минут назад

где в практике я могу применить эти знания?

Для настоящего математика такой вопрос не стоит в принципе. Для него математика - это объективная реальность, которую он изучает, дополняет, обобщает, классифицирует и всё такое.

Для физиков и инженеров такой вопрос тоже не стоит. Их задача - строить мат. модели, а математика как мешок с инструментами. Порылся, достал, потыкал - не подходит, отложил в сторону. Достал другой - вроде подходит, но надо доработать, придумал пару новых функций и операций и пошёл думать над следующим проектом или физическим законом. А вопросы математической строгости их вообще не волнуют.

Зато волнуют настоящих математиков и те начинают возмущаться, что дельта-функция Дирака не функция, а святотатство, а дуальные числа нельзя называть числами из-за делителей нуля и вообще те не вписываются в классификацию через теорию множеств. И начинают придумывать новые понятия, чтобы всю эту непотребщину туда спихивать. Теперь дельта-функция Дирака не просто функция, а обобщённая функция, множество дуальных чисел - факторкольцо, а поэлементное умножение одинаковых матриц это произведение Адамара, потому что все свободные символы для вариантов перемножения матриц давно закончились.

OlegZH 26 авг в 18:42

В книге Geometrical Properties of Vectors and Covectors: an introductory survey of differentiate manifolds, tensors and forms (Joaquim M Domingos,) можно найти такой отрывок (глава 9, Wedge Product and Cross Product, стр. 67):

XViivi 26 авг в 22:17

Я не особо математик и могу чего-то не знать, поэтому скажу лишь свои мысли как обывателя.

Как будто векторное произведение определёно на любой мерности, просто придётся работать с тензорами, а не векторами.

Но вообще, тогда лучше впринципе определить не тензор как результат век. произведения двух векторов, а тензор как век. произведение ноля вектороа — а потом домножать вектора на этот тензор. — То есть, определить некий тензор исходя из самого пространства.

Но вообще, если не лезть в тензоры, можно просто сказать, что век. произведение в ланной мерности N определено для N - 1 векторов.

Способ считать век. произведение как детерминант матрицы, где самая верхняя строчка это единичные векторы очень легко обобщается до многомерных пространств. Я этим в школе для своих развлечений вроде как типа и пользовался.

aamonster 16 часов назад

Только тогда в пятимерном пространстве перемножать будете не два вектора, а четыре :-)

lightln2 26 авг в 22:41

Спасибо, интересно. Я всегда считал, что естественное обобщение - произведение n-1 вектора в n-менром пространстве как вектор длиной площадь n-1-мерного параллелограмма и перпендикулярный им, и его можно посчитать как определитель матрицы, в которой строки - координаты векторов и базис.
Но, согласно википедии, существует много вариантов обобщений, в зависимости от того, какие свойства векторного произведения мы хотим сохранить.

domix32 18 часов назад

Из первых четырёх свойств также следуют:
$w \times (v \times u) = -((w \times v) \times u)$

а как оно следует если у вас 4 свойство буквально добавляет к правой части ещё три других члена? То бишь скалярные произведения обращаются в ноль? Или что за операция у вас под $\cdot$ подразумевется?

$\pm S_i = S_i \cup (−S_i)$

А что вообще даёт +/- на МНОЖЕСТВЕ? направление векторов его составляющих?

ортонормированное множество.

пояснять, что это такое и чем оно сулит конечно же не надо.

$S_k \times S_k = \pm S_k$

то есть получается что и в итоге знак вовсе не нужен, ибо направление векторов их составляющих абсолютно не имеют значения? Правда непонятно почему внезапно мы начинаем перемножать множества - это же уже декартово произведение, нет?

vityo 2 часа назад

Я думал про векторное в 7-мерном это из старой шутки про прямую перпендикулярную семи другим

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий