baxmax 7 часов назад

Рядов Тейлора не существует

Средний

7 мин

1.6K

Обзор

И это всё, что вам нужно о них знать

Как-то раз на глаза попалась программа некоего видеокурса, что-то типа "Математика для анализа данных". И там одним из первых пунктов фигурировали "ряды Тейлора". "Какие ряды Тейлора, если речь идёт о функциях действительного переменного (а никакие другие в курсе и не рассматривались)", - подумал я. И решил написать статью об этих самых рядах Тейлора, которых в действительном анализе, как надёжного инструмента, на самом деле, попросту не существует .

Почему так? Давайте разберёмся.

Формальное определение

Начнём с определений. Пусть — бесконечно дифференцируемая в точке функция (действительного или комплексного переменного). Тогда мы можем формально написать ряд

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$

который и называется рядом Тейлора этой функции в точке . Это обычный степенной ряд, коэффициенты которого определяются по соответствующим производным исходной функции. То есть, формально составить ряд Тейлора можно для произвольной бесконечно дифференцируемой действительной или комплексной функции. Коэффициенты такого ряда вычисляются по формулам

$(1) \text { } a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$

Однако что можно делать с этим рядом? Что о нём можно утверждать? Вот тут и начинаются проблемы.

Но сначала посмотрим на понятие сходимости. Сходимость числового ряда понимается как наличие (конечного) предела последовательности его числовых сумм. Поточечная сходимость функционального ряда - это сходимость числового ряда при каждом фиксированном из некоторого множества . То есть

$g(x) = lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_k (x - x_0)^k$

Подчеркнём, что в этой записи фигурирует предел при $n \to \infty$ , тогда как остаётся фиксированным и никуда не стремится.
В дальнейшем для компактности записи мы будем предполагать, что . Все результаты обобщаются на случай произвольного очевидным образом.

Степенные ряды

Кратко пробежимся по свойствам произвольных степенных рядов, необходимым для дальнейшего.
Областью сходимости степенного ряда является "круг" (в "одномерном" случае - интервал, симметричный относительно центральной точки ). Точнее, внутри этого круга ряд сходится, снаружи - расходится, а в граничных точках требуется особое исследование. Для простоты будем рассматривать только внутренние точки круга сходимости.
Внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно (т.е. ряд из модулей также сходится). Это даёт возможность совершать арифметические операции (сложение, умножение) со сходящимися степенными рядами, а также произвольно перегруппировывать его члены.
Также, внутри своего круга сходимости степенной ряд сходится равномерно. Не останавливаясь на рассмотрении этого понятия, отметим лишь, что это свойство позволяет почленно дифференцировать степенной ряд. Отсюда несложно вывести, что всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. В частности, это даёт единственность представления некоторой функции в заданной точке в виде степенного ряда: если такое представление возможно, то коэффициенты этого ряда определяются по формулам (1).
Наконец, приведём формулу для радиуса сходимости степенного ряда:

$\frac{1}{R} = \bar {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Здесь $\bar {\lim}$ означает "верхний предел" последовательности, который всегда существует, в отличие от обычного предела. Это формула Коши-Адамара, она позволяет теоретически вычислить радиус сходимости по последовательности коэффициентов степенного ряда.
В то же время, для известных комплексных функций нет необходимости вычислять радиус сходимости по формуле Коши-Адамара. Согласно общей теории аналитических функций, ряды Тейлора таких функций сходятся до тех пор, пока не встретят "препятствие" - особую точку, в которой предел данной функции бесконечен или вообще не существует. (В некоторых случаях могут быть и другие типы "препятствий"). Расстояние до такой точки от точки и будет определять радиус сходимости.

Чуть позже мы увидим, что ряд Тейлора произвольной функции действительного переменного может вообще нигде не сходиться (кроме центральной точки ), а в случае сходимости его сумма может быть никак не связана с исходной функцией, по которой этот ряд построен. Такое непредсказуемое поведение ряда Тейлора, по нашему мнению, равнозначно отсутствию смысла в таком понятии для функций действительного переменного. Чтобы по-настоящему почувствовать всю мощь рядов Тейлора, изучайте комплексный анализ😉.

Что же тогда существует?

Одним из важнейших результатов дифференциального исчисления функций действительного переменного является формула Тейлора. Пусть раз дифференцируемая в точке функция. Тогда

$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + r_n(x)$

где некоторый остаток. Понятно, что такая формула абсолютно бесполезна, если мы не укажем какую-то информацию об этом остаточном члене. Наиболее простой вариант записи остаточного члена - такой:

Это означает, что

$\frac{r_n(x)}{x^n} \to 0 \text { при } x \to 0$

Такая форма записи иногда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. При эта формула превращается просто в определение дифференцируемости функции в точке. А сама формула Тейлора становится обобщением свойства дифференцируемости на произвольное число последовательных производных.

Существуют и другие формы записи остаточного члена формулы Тейлора, позволяющие, в частности, оценивать величину остатка и выполнять приближённые вычисления с заданной точностью. Мы не будем на этом останавливаться.

Правая часть формулы Тейлора, на первый взгляд, очень похожа на частичную сумму ряда Тейлора, рассмотренного выше. Вероятно, этим и обусловлена путаница между этими двумя понятиями. Однако есть одно принципиальное отличие. Ранее мы отметили, что в определении сходимости ряда Тейлора $n \to \infty$ , тогда как фиксирован и "никуда не стремится". В формуле же Тейлора, напротив, фиксировано, а $x \to 0$ .
Формулу Тейлора можно применять для нахождения сложных пределов. Например, найдём

$l = lim_{x \to 0} \frac{e^x sin x - x(1 + x)}{x^3}$

Из формулы Тейлора:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

Перемножая эти равенства и убирая степени выше третьей под знак , получим:

$e^x \sin x = x - \frac{x^3}{6} + x^2 + \frac{x^3}{2} + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

Таким образом,

$\frac{e^x \sin x - x(1 + x)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3} + o(1)$

и окончательно

$l = lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} + o(1)) = \frac{1}{3}$

Неаналитичность

Функцию, представимую своим рядом Тейлора в некоторой области, называют аналитической в этой области. Из теории функций комплексного переменного хорошо известно, что всякая функция, дифференцируемая в некоторой области, аналитична в ней. То есть, в принципе любая функция комплексного переменного, дифференцируемая в некоторой окрестности, представима рядом Тейлора.

В действительном анализе всё совсем не так. Принадлежность классу $C^\infty$ означает, что у функции есть производные любого порядка, но это вовсе не значит, что она равна сумме своего ряда Тейлора.
Чтобы это показать, достаточно рассмотреть "классическую" функцию

$\varphi(x) =\left\{\begin{array}{ll} e^{-1/x^2}, & \text{ при } x\neq0 \\ 0, & \text{ при } x = 0\end{array}\right.$

Несложно понять, что функция $\varphi(x)$ является бесконечно-дифференцируемой в точке , и все её производные в этой точке равны 0. В соответствии с основным определением, её ряд Тейлора в этой точке - тождественно нулевой, тогда как сама функция не является тождественным нулём.
Этот пример можно обобщить, положив при $x \ne 0$

$\varphi(x) = R(x)e^{-|Q(x)|}$

где и - некоторые рациональные функции (представимые в виде частного двух многочленов). Из правил дифференцирования следует, что любая производная такой функции будет иметь такой же вид, при этом под знаком экспоненты останется тот же аргумент . Условия

$Q(x) \to \infty \text { при } x \to 0$

достаточно для того, чтобы её производные всех порядков были равны 0 в точке . Аналогично, ряд Тейлора тождественно нулевой, а функция - нет. Прибавляя такую функцию к любой аналитической функции, получаем неаналитическую функцию, ряд Тейлора которой тождественно равен ряду Тейлора исходной аналитической функции. Видим, что существует бесконечно много неаналитических бесконечно-дифференцируемых в нуле функций действительного переменного. Их ряд Тейлора сойдётся не к той функции, которая его породила.

Что к этому добавить? Разве что следующее утверждение:

Для любой последовательности чисел существует функция $f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ , такая, что $f^{(n)}(0) = a_n$ для всех $n \ge 0$

Это теорема Бореля.
Взяв, например , получим, согласно этой теореме, бесконечно-дифференцируемую функцию, ряд Тейлора которой -

$\sum_{n=0}^{\infty} {n!} x^n$

расходится всюду, кроме точки (поскольку его общий член не стремится к нулю, не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

Таким образом, мы построили как функции, ряд Тейлора которых всюду расходится, так и функции, значение ряд Тейлора которых не равно им самим ни в одной точке (разумеется, кроме самой точки ). Это ли не повод перестать говорить о "рядах Тейлора" в контексте действительного анализа?

А как же всем известные разложения?

Из приведённых выше рассуждений совсем не следует, что аналитических функций действительного переменного не существует. Наиболее известные из них, а также вид соответствующих рядов Тейлора, приведены далее:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}{}}{(2n)!}$
$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ при
$\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ при

Да, эти формулы действительно справедливы. Но следует заметить, что эти соотношения не могут быть доказаны ссылкой на то, что справа стоят ряды Тейлора указанных функций. Каждое из них требует особого доказательства (если не прибегать к результатам комплексного анализа). Например, ряд для экспоненты может быть выведен из формулы $(1+\frac{x}{n})^n \to e^x$ ("второй замечательный предел"), а ряды для синуса и косинуса - из тесной связи этих функций с самой экспонентой ("формула Эйлера"): $e^{ix} = \cos x + i\sin x$

При этом, учитывая "хорошие" свойства степенных рядов, отмеченные ранее, мы можем не сомневаться в возможности выполнения арифметических действий над приведёнными равенствами, а также, например, подстановок. Поэтому не следует сомневаться в аналитичности таких функций, как

$e^x \sin x^3 - ln(1+x^2) \text { при } |x|<1$

Однако и тут не обойдётся без нюансов. Например, если выполнить подстановку $x=\frac{у + у^2}{6}$ в разложение номер 5, раскрыть скобки и привести подобные, получим ряд по степеням для функции $\ln(1-(y+y^2)/6)$ . Но где будет сходиться этот ряд? Поскольку исходный ряд сходился при , следовало бы ожидать сходимости полученного ряда на множестве . Однако решение этого неравенства даёт интервал $y \in (-3; 2)$ , а как мы знаем, интервал сходимости степенного ряда должен быть симметричен относительно нуля. В действительности радиус сходимости этого ряда равен 2, и на интервале сходимости нет. Справедливость этого утверждения можно было бы установить, непосредственно вычисляя коэффициенты полученного ряда и применяя формулу Коши-Адамара, но проще заметить, что при аргумент логарифма становится равным нулю, а эта точка является как раз "препятствием" для комплексного логарифма, так что при её достижении сходимость обрывается. Поэтому и в действительном случае не будет сходимости и в левой части множества

В качестве ещё одного интересного примера возьмём такую функцию класса $C^{\infty}(\mathbb{R})$ :

$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

A priori неясно, будет ли эта функция аналитической в нуле, и на каком множестве. Однако с соответствующей функцией комплексного переменного $f(z) = \frac{1}{z^2 + 1}$ всё ясно: она аналитична, и "препятствие" она встречает в точках $x=\pm i$ ( - "мнимая единица). Расстояние от 0 до $\pm i$ равно 1, так что радиус сходимости Поэтому и соответствующий ряд в действительном случае сходится на множестве

Вывод

В действительном анализе ряды Тейлора ненадёжны. Функция может быть гладкой до бесконечности, но её ряд Тейлора в точке окажется пустышкой, которая не сходится ни к чему, или к чему угодно, но только не к исходной функции.

Однако стоит взглянуть на функции комплексного переменного — и мир становится гораздо стройнее. Именно поэтому комплексный анализ является одной из самых красивых областей математики.

Функции комплексного переменного не только ведут себя более "регулярно", но и позволяют, в некоторой степени, установить поведение соответствующих функций действительного переменного.

Спасибо, что дочитали до конца!

Хабы:

Математика