Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I / Хабр

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни».

Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе.

У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты.

Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений.

С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, функционируют законы квантовой механики и даже обычные механические колебания.

Это история о том, как великие умы, столкнувшись с парадоксом, не отступили, и смогли открыть новый язык — язык, на котором говорит сама Вселенная. Они переосмыслили понятие числа, поняв, что числа — это не просто «количество объектов», а природная математическая основа самого движения в пространстве.

Вы готовы пересмотреть всё, что знали о числах и о Вселенной? О том, что наш мир на самом деле состоит не из вещей, а из движений?

В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой.

Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

Примечание:

Написание этого цикла статей вдохновлено гениальной книгой Пола Дж. Нахина «Сказки мнимого мира». Здесь больше математического содержания и философских рассуждений, но меньше интересных исторических экскурсов.

План серии статей

ЧАСТЬ I: Рождение ереси

Скрытый текст

Глава 1. Приглашение к бунту.

Глава 2. Кардано и софизм в формуле.

Глава 3. Бомбелли и алгебра «сомнительных» вещей.

Глава 4. Целый век путаницы и непонимания: Эйлер против Безу.

Глава 5. Кризис понимания: что такое число?

Глава 6. Крах упорядоченного мира.

ЧАСТЬ II: Спасение пришло из геометрии

Скрытый текст

Глава 7. Искать не на прямой, а на плоскости.

Глава 8. Комплексные числа и векторы: триумф наглядности.

Глава 9. Мания умножения чисел: это не формула, а геометрия подобия.

Глава 10. Тригонометрия как сущность умножения комплексных чисел.

Глава 11. Комплексные числа доказывают теоремы планиметрии.

Глава 12. Удивительный трактат об инверсиях и сфере Римана.

ЧАСТЬ III: Формула, объединившая математику

Скрытый текст

Глава 13. Приключения логарифмов и степеней отрицательных чисел.

Глава 14. Величайшая формула Эйлера:

Глава 15. Единство всех элементарных функций.

ЧАСТЬ IV: Универсальный закон алгебры, геометрии и анализа

Скрытый текст

Глава 16. Формула Эйлера в любой ассоциативной алгебре.

Глава 17. Классификация однопараметрических подгрупп Ли.

Глава 18. Три сестры: все двумерные вещественные алгебры.

Глава 19. Операторный формализм: ряд Тейлора как экспонента сдвига.

ЧАСТЬ V: Алгебраическая суперсила

Скрытый текст

Глава 20. Основная теорема алгебры.

Глава 21. Комплексные числа как матрицы.

Глава 22. Теорема Фробениуса и иные числовые системы.

ЧАСТЬ VI: Мнимое царство объективной реальности

Скрытый текст

Глава 23. Язык колебаний и волн.

Глава 24. Квантовая механика комплексной реальности.

Глава 25. От фракталов до шифров.

ЧАСТЬ VII: Философия понимания

Скрытый текст

Глава 26. Что мы поняли о числах?

Глава 27. Практика — критерий истины.

Глава 28. Генетический подход против онтодидактического.

Глава 29. Манифест.

Глава 30. Эпилог: восхождение по лестнице познания.

ЧАСТЬ I: Рождение ереси

Глава 1. Приглашение к бунту

«Квадратного корня из минус единицы не существует» — эта фраза, сказанная на уроке, становится ментальным барьером. Она возводит преграду «дальше не думай», за которой остаётся самое важное — вопросы «почему», «как» и «а что если».

Нас лишают самого ценного — любопытства. Комплексные числа превращаются в символы, лишённые тайны, смысла и красоты. «Понять» математику — не значит запомнить алгоритмы. Это значит:

Видеть смысл за символами — понимать, почему операция определена именно так
Восстанавливать исторический контекст — откуда и зачем теория взялась
Связывать абстрактное с конкретным — находить интерпретации

Понимание ≠ умение решать. Можно натренироваться решать уравнения с комплексными числами, не имея ни малейшего представления о том, что i — это оператор поворота на 90°, а умножение комплексных чисел — это композиция растяжений и поворотов.

Мы откажемся от традиционного «сверху вниз» подхода, где сначала даются определения, а потом — примеры. Вместо этого мы пойдём генетическим путём — тем же самым путём, которым шла математическая мысль на протяжении веков:

Через исторические кризисы — когда существующие концепции давали сбой
Через ошибочные гипотезы — тупиковые пути, которые учили чему-то важному
Через гениальные озарения — моменты, в которых противоречия разрешались переходом на новый уровень понимания

Именно этот путь приводит к настоящему пониманию.

Глава 2. Кардано и софизм в формуле

В 1545 году из-под пера Джероламо Кардано вышла книга «Великое искусство» (Ars magna), собравшая все новейшие достижения в математике к середине XVI века. И сразу разразился скандал. В основном она была посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней, однако ее значение для истории математики выходило далеко за пределы этой конкретной задачи. Уже в XX веке Феликс Клейн, оценивая книгу, писал:

«Это в высшей степени ценное произведение содержит зародыш современной алгебры, выходящей за пределы античной математики».

XVI век был веком возрождения европейской математики после средневековой спячки. На тысячу лет были забыты, а частично безвозвратно утрачены, труды великих греческих геометров. Из арабских текстов европейцы узнавали не только о математике Востока, но и об античной математике. Лишь в XVI веке в Европе появились математические результаты принципиального значения, которых не знали ни античные, ни восточные математики. И первым математиком, получившим такие результаты, был Джероламо Кардано.

В своей научной деятельности Кардано был энциклопедистом, однако энциклопедистом-одиночкой, что характерно для эпохи Возрождения. Лишь через полтора века появились первые академии, в которых ученые специализировались в более или менее уз ких областях. В случае Кардано большую роль играли особенности его личности, его психического склада. Он верил в чудеса, предчувствия, демонов, в свои собственные сверхъестественные возможности. Он подробно описывает события, убедившие его в этом.

Кардано верил, что он обладал особым даром (гарпократическим чувством, как он его называл), который позволяет ему диагностировать больных (он был врачом по образованию и имел обширную медицинскую практику), предвидеть будущее, узнавать о событиях, находящихся от него далеко, видеть вещие сны. В его книгах содержится и много собственных сверхъестественных наблюдений, и пересказов сообщений других людей.

Готовность всерьез обсуждать самые фантастические теории, своеобразная доверчивость к рассказам другим людей, и тому подобные странные черты личности Кардано как раз и помогли ему изобрести комплексные числа. Благодаря им он с легкостью обсуждает вещи, о которых его коллеги не стали бы даже начинать говорить, посчитав это бредом. Например, его «Книга об игре в кости», была написана в 1526 году, но напечатана лишь в 1663 году, потому что его современники математики посчитали собранием бессмысленной чуши первую в мире работу, в которой были написаны основы теории вероятностей и статистики, а также прикладные математические методы для повышения шансов в азартных играх.

Иная судьба была у книги «Великое искусство», потому что она сразу давала приложения, которые можно было легко проверить: возможность решать любые кубические уравнения.

В предисловии Кардано излагает историю вопроса:

«...в наше время Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которой куб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была очень красивая и замечательная работа. Так как это искусство превосходит всю человеческую ловкость и всю ясность ума смертного, то его нужно рассматривать как подарок небесного происхождения, а также как способность силы ума, и это настолько славное от крытие, что от того, кто мог его достигнуть, можно ждать, что он достигнет всего. Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья из Брешии, наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дель Ферро по имени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежденным, ту же самую проблему и после долгих просьб передал ее мне. Я был введен в заблуждение словами Луки Пачоли, который говорит, что нет общего решения такого рода уравнений, и, хотя я обладал уже многими мною самим сделанными открытиями, я все же не отчаивался найти то, чего я не смел искать. Однако когда я получил эту главу и добрался до ее решения, то я увидел, что с ее помощью можно многое сделать еще; и уже с повышенной уверенностью в своих делах я, при исследовании, открыл дальнейшее, частью сам, частью с Луиджи Феррари, моим бывшим учеником».

Вот тут и проявилась доверчивость Кардано к рассказам о сверхъестественным. Его современники просто не верили историям о том, что кто-то научился решать кубические уравнения, считая это все не более чем мистификацией и фокусами.

В современной форме способ, которым Кардано находит решение кубического уравнения, можно изложить следующим образом. Будем искать положительный корень такого уравнения без квадратичного слагаемого .

Сделаем замену $x=\beta-\alpha$ . Тогда $x+\alpha=\beta$ и

$x^3+3 x^2 \alpha+3 x \alpha^2+\alpha^3=\beta^3 .$

Поскольку $3 x^2 \alpha+3 x \alpha^2=3 x \alpha(+\alpha)=3 x \alpha \beta$ , а значит

$x^3+3 \alpha \beta=\beta^3-\alpha^3 .$

Далее потребуем, чтобы пара ( $\alpha, \beta$ ) была решением системы

$3 \alpha \beta=a, \quad \beta^3-\alpha^3=b,$

или равносильной ей системы

$\beta^3 \cdot\left(-\alpha^3\right)=-\frac{a^3}{27}, \quad \beta^3+\left(-\alpha^3\right)=b .$

Отсюда, учитывая положительность искомого корня:

$\beta^3=\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}, \quad-\alpha^3=\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}$ .

А сам корень можно выразить следующей формулой:

$x=\sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}$

Приведенная выкладка лишь в идейном отношении следует ходу рассуждений Кардано.

Сам он рассуждает на геометрическом языке: если куб со стороной $\beta=\alpha+x$ разрезать плоскостями, параллельными граням, на куб со стороной $\alpha$ и куб со стороной , получатся, кроме двух кубов, три прямоугольных параллелепипеда со сторонами $\alpha, \alpha, x$ и три — со сторонами $\alpha, x, x$ ; далее он использует соотношение между объемами и переходит к попарному объединению параллелепипедов разных типов. Кардано писал:

«Так как я сознавал, что тот отдел, который передал мне Тарталья, был открыт им при помощи геометрического доказательства, то я думал, что это и есть царский путь, ведущий ко всем другим отделам».

К сожалению, к этому указанию мало кто прислушался. Истинная геометрическая дорога к пониманию корней из отрицательных чисел была забыта надолго, и восстановить ее удалось лишь к началу 19-го века (а в современных учебниках она предается забвению до сих пор).

Самого Кардано ставил в тупик парадокс, который заключается в том, что для получения положительных корней уравнения нужно оперировать корнями из минус единицы.

Рассмотрим один из таких примеров (которые сам Кардано называл неприводимыми):

Решим его сначала численно с помощью Python:

Формула Кардано для уравнения вида :

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$

Для нашего уравнения :

import cmath  # Для работы с комплексными числами
import numpy as np

# Параметры уравнения
p = -21
q = 20

# Вычисляем по формуле Кардано
# Первое слагаемое под корнем
D = (q/2)**2 + (p/3)**3
print("Вычисляем дискриминант формулы Кардано:")
print(f"D = (q/2)² + (p/3)³ = ({q}/2)² + ({p}/3)³")
print(f"  = ({q/2})² + ({p/3})³")
print(f"  = { (q/2)**2 } + { (p/3)**3 }")
print(f"  = {D}\n")

# Так как D < 0, у нас появляется корень из отрицательного числа!
print("ВНИМАНИЕ: D < 0! Под квадратным корнем отрицательное число!")
print(f"√D = √({D}) = √({D})")
print("По правилам вещественной арифметики это НЕВОЗМОЖНО!\n")

# Но продолжим вычисления в комплексных числах
sqrt_D = cmath.sqrt(D)
print(f"√D (в комплексных числах) = {sqrt_D}")

# Вычисляем два кубических корня
term1 = -q/2 + sqrt_D
term2 = -q/2 - sqrt_D

print(f"\nПервое слагаемое под кубическим корнем: -q/2 + √D = {term1}")
print(f"Второе слагаемое под кубическим корнем: -q/2 - √D = {term2}\n")

# Кубические корни (в комплексных числах)
cube_root1 = term1 ** (1/3)
cube_root2 = term2 ** (1/3)

print(f"∛(первое слагаемое) = {cube_root1}")
print(f"∛(второе слагаемое) = {cube_root2}\n")

# Сумма (один из корней)
x = cube_root1 + cube_root2
print(f"x = ∛(...) + ∛(...) = {x}")

# Проверим, что это действительно корень
print(f"\nПроверка: x³ - 21x + 20 = {x**3 - 21*x + 20}")
print("(Мнимая часть практически нулевая из-за погрешностей вычислений)")

Вывод программы

Вычисляем дискриминант формулы Кардано:
D = (q/2)² + (p/3)³ = (20/2)² + (-21/3)³
  = (10.0)² + (-7.0)³
  = 100.0 + -343.0
  = -243.0

ВНИМАНИЕ: D < 0! Под квадратным корнем отрицательное число!
√D = √(-243.0) = √(-243.0)
По правилам вещественной арифметики это НЕВОЗМОЖНО!

√D (в комплексных числах) = 15.588457268119896j

Первое слагаемое под кубическим корнем: -q/2 + √D = (-10+15.588457268119896j)
Второе слагаемое под кубическим корнем: -q/2 - √D = (-10-15.588457268119896j)

∛(первое слагаемое) = (2.0000000000000004+1.7320508075688772j)
∛(второе слагаемое) = (2.0000000000000004-1.7320508075688772j)

x = ∛(...) + ∛(...) = (4.000000000000001+0j)

Проверка: x³ - 21x + 20 = (2.842170943040401e-14+0j)
(Мнимая часть практически нулевая из-за погрешностей вычислений)

Сделаем интерактивную визуализацию:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.widgets import Slider

# Создадим фигуру для интерактивной визуализации
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(15, 12))
plt.subplots_adjust(bottom=0.25)  # Место для слайдеров

# Исходные данные
p_initial = -21
q_initial = 20

# Функция для вычисления корней по формуле Кардано
def cardano_roots(p, q):
    # Дискриминант
    D = (q/2)**2 + (p/3)**3
    
    if D >= 0:
        # Вещественный случай
        A = (-q/2 + np.sqrt(D))**(1/3)
        B = (-q/2 - np.sqrt(D))**(1/3)
        return [A + B]
    else:
        # Комплексный случай (три вещественных корня)
        roots = []
        # Преобразуем в тригонометрическую форму
        r = np.sqrt(abs(p/3)**3)
        phi = np.arccos(-q/(2*r))
        
        for k in range(3):
            x = 2 * np.sqrt(-p/3) * np.cos((phi + 2*np.pi*k)/3)
            roots.append(x)
        
        return roots

# Первый график: уравнение и его корни
ax1 = axes[0, 0]
x_vals = np.linspace(-6, 6, 400)
line, = ax1.plot(x_vals, x_vals**3 + p_initial*x_vals + q_initial, 'b-', linewidth=2)
roots_scatter = ax1.scatter([], [], color='red', s=100, zorder=5)
ax1.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax1.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('y')
ax1.set_title('Уравнение: x³ + p·x + q = 0')
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Второй график: комплексная плоскость
ax2 = axes[0, 1]
ax2.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax2.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax2.set_xlabel('Вещественная часть')
ax2.set_ylabel('Мнимая часть')
ax2.set_title('Комплексные промежуточные значения')
ax2.set_xlim(-20, 20)
ax2.set_ylim(-20, 20)
A_point, = ax2.plot([], [], 'ro', markersize=10, label='A')
B_point, = ax2.plot([], [], 'bo', markersize=10, label='B')
ax2.legend()

# Третий график: дискриминант
ax3 = axes[1, 0]
disc_line, = ax3.plot([], [], 'g-', linewidth=2)
disc_point, = ax3.plot([], [], 'ro', markersize=10)
ax3.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax3.set_xlabel('Параметр p (при q=20)')
ax3.set_ylabel('Дискриминант D')
ax3.set_title('Дискриминант D = (q/2)² + (p/3)³')
ax3.grid(True, alpha=0.3)

# Четвертый график: результат
ax4 = axes[1, 1]
ax4.axis('off')
result_text = ax4.text(0.5, 0.5, '', ha='center', va='center', fontsize=14, 
                      transform=ax4.transAxes,
                      bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.5", facecolor="lightyellow"))

# Функция обновления графиков
def update(val):
    p = slider_p.val
    q = slider_q.val
    
    # Обновляем график уравнения
    y_vals = x_vals**3 + p*x_vals + q
    line.set_ydata(y_vals)
    ax1.set_ylim(min(y_vals)-10, max(y_vals)+10)
    
    # Вычисляем корни
    roots = cardano_roots(p, q)
    roots_scatter.set_offsets([[root, 0] for root in roots])
    
    # Обновляем комплексную плоскость
    D = (q/2)**2 + (p/3)**3
    if D < 0:
        A = -q/2 + 1j*np.sqrt(-D)
        B = -q/2 - 1j*np.sqrt(-D)
    else:
        A = -q/2 + np.sqrt(D)
        B = -q/2 - np.sqrt(D)
    
    A_point.set_data([A.real], [A.imag])
    B_point.set_data([B.real], [B.imag])
    
    # Обновляем график дискриминанта
    p_range = np.linspace(-30, 30, 100)
    D_range = (q/2)**2 + (p_range/3)**3
    disc_line.set_data(p_range, D_range)
    disc_point.set_data([p], [D])
    ax3.set_xlim(min(p_range), max(p_range))
    ax3.set_ylim(min(D_range)-100, max(D_range)+100)
    
    # Обновляем текст результата
    if D > 0:
        result = f"Один вещественный корень:\n"
        result += f"x ≈ {roots[0]:.4f}\n\n"
        result += f"D = {D:.2f} > 0"
        box_color = "lightblue"
    elif D == 0:
        result = f"Кратные корни\n\n"
        result += f"D = 0"
        box_color = "lightyellow"
    else:
        result = f"Три вещественных корня:\n"
        for i, root in enumerate(roots, 1):
            result += f"x{i} ≈ {root:.4f}\n"
        result += f"\nD = {D:.2f} < 0\n"
        result += f"В формуле Кардано: √({D:.2f})"
        box_color = "lightcoral"
    
    result_text.set_text(result)
    result_text.set_bbox(dict(boxstyle="round,pad=0.5", facecolor=box_color))
    
    fig.canvas.draw_idle()

# Создаем слайдеры
ax_slider_p = plt.axes([0.2, 0.1, 0.65, 0.03])
ax_slider_q = plt.axes([0.2, 0.05, 0.65, 0.03])

slider_p = Slider(ax_slider_p, 'Параметр p', -30, 30, valinit=p_initial)
slider_q = Slider(ax_slider_q, 'Параметр q', -30, 30, valinit=q_initial)

slider_p.on_changed(update)
slider_q.on_changed(update)

# Инициализация
update(None)

plt.suptitle('Интерактивная визуализация формулы Кардано\nПарадокс: отрицательный дискриминант → три вещественных корня', 
             fontsize=16, fontweight='bold', y=0.98)
plt.show()

Сам Кардано, однако, пользовался корнями из отрицательных чисел лишь как удобным практическим инструментом, не анализируя их как отдельную числовую реальность.

Глава 3. Бомбелли и алгебра «сомнительных» вещей.

Через 27 лет после публикации «Ars Magna» Кардано, итальянский математик Рафаэль Бомбелли делает следующий шаг. В своей книге «L'Algebra» (1572) он берёт те самые «бессмысленные величины» Кардано и начинает работать с ними систематически.

Бомбелли не пытается понять, что такое √(-1) — он просто устанавливает формальные правила для работы с выражениями вида $a+b \sqrt{-1}$

Italiano: L'algebra parte maggiore dell'aritmetica divisa in tre libri di Rafael Bombelli da Bologna. - Bologna : nella stamparia di Giouanni Rossi, 1572. - [55], 650, [4] p. : ill. ; 4º Источник: https://www.beic.it — **Italiano:** L'algebra parte maggiore dell'aritmetica divisa in tre libri di Rafael Bombelli da Bologna. - Bologna : nella stamparia di Giouanni Rossi, 1572. - [55], 650, [4] p. : ill. ; 4º Источник: https://www.beic.it

Бомбелли оказался первым математиком, который выяснил истинный смысл, который лежит за формулами Кардано и выражением вещественных чисел через суммы корней из отрицательных чисел. Вот что писал Бомбелли в своей Алгебре:

«По мнению многих, это была нелепая мысль, я и сам долгое время так считал. Казалось, что в основе рассуждения лежит какой-то софизм, а не истина. Я долго бился над этим, но все же доказал свою правоту»

Он рассмотрел уравнение, которое анализировал еще Кардано:

Хотя корни здесь вещественные, формула Кардано дает:

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}}$

Ему удалось показать, что

$\begin{aligned} & \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=a+b \sqrt{-1} \ & \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=a-b \sqrt{-1} \end{aligned}$

А это значит, что

Глава 4. Целый век путаницы и непонимания: Эйлер против Безу

Прошло почти 200 лет после Бомбелли, но статус √(-1) оставался неопределённым. Величайшие математики эпохи — Леонард Эйлер, Жан-ле-Рон Д'Аламбер, Этьенн Безу — не могли договориться о правилах работы с комплексными числами.

Ключевой спор разгорелся вокруг, казалось бы, простого вопроса:

Чему равно произведение корней из отрицательных чисел?

$\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}=?$

Конкретные примеры из переписки математиков XVIII века

Скрытый текст

1. Проблема логарифмов отрицательных чисел (спор Эйлера и Даламбера):

Даламбер утверждал:

Аргумент: и должно быть тоже 0 по аналогии с при

Эйлер возражал: (в современной записи)

Аргумент: , поэтому

Современное понимание: , где k ∈ ℤ (бесконечно много значений)

2. Проблема степеней мнимых чисел:

Чему равно ?

Современный ответ:

Но в XVIII веке это казалось чистой магией!

3. Парадокс: (-1)^(-1) = ?

Если следовать правилам степеней:

4. А что с ?

Это или ?

Оба ответа верны, так как

Получаем две ветви квадратного корня.

5. Главный парадокс, который смущал всех:

Рассмотрим:

И: ?

Возможные интерпретации:

a) (Безу)

b) (Эйлер)

c) Если

то произведение

(явная ошибка в вычислениях)

Глава 5. Кризис понимания: что такое число?

Прежде чем решать, являются ли выражения вида $a+b \sqrt{-1}$ числами, нужно понять: а что такое число вообще?

На протяжении истории математики понятие числа радикально менялось и расширялось.

Что делает число числом? В XIX веке математики осознали, что числа следует определять в первую очередь как отношения и структуры, за которыми можно найти тот или иной смысл.

Поле — это алгебраическая структура, в которой определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие определённым аксиомам.

Давайте проверим, удовлетворяют ли комплексные числа всем аксиомам поля.

Несмотря на то, что комплексные числа удовлетворяют всем аксиомам поля, остается одна проблема: их нельзя упорядочить так, чтобы сохранить привычные свойства порядка.

Проблема с упорядочиванием комплексных чисел.

Кризис понимания был разрешен в результата перехода математиков к изучению структур.

Изменение подхода к алгебраическим объектам.

Глава 6. Крах упорядоченного мира

Почему же несохранение порядка у комплексных чисел приводит к катастрофе?

Здесь уместно обратиться к марксистскому анализу. Карл Маркс прослеживает развитие понятий натурального числа, дифференциала, денег и товара, отмечая общие закономерности. Согласно теории философа каждое понятие проходит 7 стадий развития:

относительная форма понятия;
эквивалентная форма понятия;
случайная форма понятия:
развернутая относительная форма понятия;
особенная эквивалентная форма понятия;
полная форма понятия;
всеобщая форма понятия.

Раскрытие понятия мнимой единицы по этим стадиям будет описано в самой последней статье цикла, потому что для этого сначала требуется пройти весь путь познания целиком.

В «Капитале» Маркс описывает товар как «чувственно-сверхчувственную вещь» — объект, имеющий материальную форму, но приобретающий сверхчувственные свойства в системе обмена. Мнимая единица также идеально подходит под это описание.

Его чувственной стороной является конкретный оперативный символ (термин Маркса), к которому применяются формальные правила.

Его сверхчувственной стороной является сущность, которая за ним скрыта. Эта сущность представляет собой соотношение между математическими понятиями и операциями, структуру, которую математики должны раскрыть, чтобы понять смысл символа.

Среди описанных Марксом понятий больше всего на мнимые единицы похоже понятие денег. Бумажная банкнота сама по себе ничего не стоит, но деньги опосредуют обмен реальными товарами, становясь сверхчувственным средством накопления капитала.

Это создаёт математическое отчуждение: математики создали инструмент (i), который производит реальные результаты, но сам инструмент остаётся чуждым, непонятным, «ненастоящим» с точки зрения их собственной концепции числа. Чтобы снять это отчуждение, математики должны произвести научную революцию.

В самому деле, к концу XVIII века возникает революционная ситуация. Математическое сообщество оказывается расколотым на враждующие фракции:

Прагматики (продолжатели линии Кардано-Бомбелли) используют комплексные числа как эффективный инструмент, откладывая вопрос о его «реальности».
Фундаменталисты (линия Безу) настаивают на том, что если объект не вписывается в базовые свойства чисел (включая упорядоченность), то он не может считаться числом.
Революционеры (линия Эйлера) начинают понимать, что проблема заключается не в мнимой единице как таковой, а в самой концепции числа, требующей пересмотра.

Происходит настоящая революция: математики осознают, что требование линейного порядка — не обязательный атрибут «настоящих чисел», а лишь особенность определённых числовых систем. Числа позволяют «сосчитать мир», только вот мир этот состоит не из вещей, а из движений. За каждым числом, будь натуральное, целое, рациональное, вещественное или комплексное — на самом деле стоит не абстрактный неподвижный и неизменный предмет, а конкретный материальный процесс.

Крах попыток упорядочить комплексные числа выполнил важнейшую функцию: он подготовил почву для необходимого перехода от арифметического мышления к геометрическому, от поиска мнимой единицы на старой числовой прямой к построению для нее новой плоскости и изучению геометрических преобразований этой плоскости.

В следующей части статьи мы раскроем истинную сущность комплексных чисел, которая находится в планиметрии (геометрии на плоскости).

Заключительные иллюстрации

Марксистский анализ истории комплексных чисел

Диалектика исторического развития комплексных чисел.