Мы, наконец, узнали, насколько большим должно быть множество чисел, чтобы в нём гарантировано содержалась закономерность под названием «многочленная прогрессия»
Некоторые закономерности в математике настолько редкие, что их можно искать всю жизнь и не найти. Другие же встречаются так часто, что их, кажется, невозможно избежать.
Новое доказательство, представленное Сарой Пилюс из Оксфордского университета, показывает, что одна численная закономерность особенно важного типа, по сути, является неизбежной: она гарантированно обнаружится в любой достаточно большой коллекции чисел, вне зависимости от того, как их выбирают.
«Этим закономерностям присуща своего рода неразрушимость», — сказал Теренс Тао из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
Доказательство Пилюс касается последовательности чисел под названием «многочленные прогрессии». Их легко создавать – вы очень быстро сможете составить свою – и они касаются связи между сложением и умножением чисел.
Несколько десятилетий математики знали, что при малом размере набора (или «множества») чисел – то есть, когда в нём содержится относительно немного чисел – в нём может вообще не оказаться никаких многочленных прогрессий. Им также было известно, что при росте множества оно в конце концов переходит определённый порог, после которого в нём уже содержится так много чисел, что одна из таких последовательностей обязана там встретиться. Это похоже на миску супа с буковками из теста – чем больше у вас букв, тем больше вероятность, что из них можно складывать слова.
Но до работы Пилюс математики не знали, каков этот порог. Её доказательство даёт ответ на этот вопрос – точную формулу, определяющую, насколько большим должно быть множество, чтобы в нём гарантированно содержались определённые многочленные прогрессии.
А до этого у математиков были только смутные представления о том, что многочленные прогрессии встречаются среди целых чисел (1, 2, 3, и т.п.). Теперь они точно знают, где их искать.
В поисках закономерностей
Чтобы представить себе эти закономерности, рассмотрим одну из них, немного более простую, чем та, с которой работала Пилюс. Начнём с цифры 2 и будем добавлять тройку: 2, 5, 8, 11, 14, и т.д. Такая закономерность – начав с одного номера, добавляем другой – называется «арифметической прогрессией». Это одна из наиболее изученных и частых прогрессий в математике.
Касательно частоты появления арифметической прогрессии среди целых чисел нужно понять две вещи.
Одну из них доказал Эндре Семереди в 1975 году. Сначала, сказал он, выберите длину своей арифметической прогрессии. Это может быть закономерность с четырьмя членами (2, 5, 8, 11), или семью (14, 17, 20, 23, 26, 29, 32), или вообще с любым количеством. После этого он доказывает, что как только множество чисел достигает определённого размера (который он не смог определить), в нём обязательно найдётся арифметическая прогрессия такой длины. Таким образом он укрепил идею о том, что в достаточно больших множествах чисел где-то обязательно найдётся закономерность.
«Семереди, по сути, сказал, что полный беспорядок невозможен. Какое бы множество вы ни взяли, в него всегда сумеет затесаться какая-нибудь структура», — сказал Бен Грин из Оксфорда.
Однако теорема Семереди ничего не говорит о том, насколько большой должна быть коллекция чисел для того, чтобы эти закономерности стали неизбежными. Он просто сказал, что для арифметической прогрессии любой выбранной длины обязательно существует множество чисел неизвестного размера, которое его содержит.
Более чем через два десятилетия после этого математики определили этот размер – доказав таким способом второй основной факт, касающихся арифметических закономерностей.
В 2001 году Тимоти Гауэрс из Кембриджского университета доказал, что если вы хотите гарантированно найти, допустим, арифметическую прогрессию из пяти членов, вам нужно множество чисел по меньшей мере определённого размера – и определил, какой это будет размер (описать точный размер сложно, в эту формулу входят огромные экспоненциальные числа).
Чтобы понять, что сделал Гауэрса, нужно понять, что имеют в виду математики, говоря о «размере» множества чисел и об идее «достаточно большого размера».
Во-первых, выберите интервал на числовой прямой, допустим, от 1 до 1000, или что-то более случайное, типа от 17 до 1016. Начало и конец интервала не имеют значения, важна только его длина. Затем определите ту долю чисел из этого интервала, которую вы хотите добавить в множество. К примеру, если вы создаёте множество из 100 чисел от 1 до 1000, то размер вашего множества составит 10% от интервала.
Доказательство Гауэрса работает вне зависимости от того, как вы выбираете числа из этого множества. Можно взять 100 первых нечётных чисел из диапазона от 1 до 1000, 100 первых чисел, заканчивающихся на 6, или даже 100 случайных чисел. И Гауэрс доказал, что вне зависимости от метода, как только множество займёт достаточно большое пространство (не обязательно 10%) в достаточно длинном интервале, в нём неизбежно появится арифметическая прогрессия из пяти членов. То же самое он доказал для арифметической прогрессии любой длины.
«После Гауэрса мы знаем, что если мне дадут арифметическую прогрессию любой длины, тогда любое подмножество» чисел какого-то определённого размера обязательно будет содержать эту прогрессию, сказала Пилюс.
Работа Пилюс похожа на достижение Гауэрса, только она сконцентрировалась на многочленных прогрессиях.
В арифметической прогрессии мы выбираем одно начальное число и добавляем к нему другое. В том виде многочленной прогрессии, который изучала Пилюс, вы выбираете начальное значение, и добавляете к нему степени другого числа. К примеру: 2, 2 + 31, 2 + 32, 2 + 33, 2 + 34. То есть, 2, 5, 11, 29, 83. В её прогрессии тоже было только по одному члену для каждой степени – это требование упрощает работу с ними.
Эти многочленные прогрессии тесно связаны с такой важной закономерностью, как геометрическая прогрессия, которая формируется возведением числа во всё большую степень: 31, 32, 33, 34,… Они естественным образом появляются во многих областях математики и физики, и восхищают математиков уже несколько тысячелетий. Геометрические прогрессии реже встречаются даже в крупных множествах чисел, однако если её немного подправить – допустим, добавив константу к каждому члену – получится многочленная прогрессия. А вот они как раз, кажется, появляются повсюду.
«Можно создавать большие множества чисел, не содержащие геометрических прогрессий. Но если дать себе немного свободы, и сдвинуть геометрическую прогрессию», создав многочленную прогрессию, то крупные множества, кажется, просто вынуждены содержать их, сказал Шон Прендивиль из Ланкастерского университета, работавший с Пилюс над многочленными прогрессиями.
В 1996 году Виталий Бергельсон и Александр Лейбман доказали, что при достижении достаточно большого размера множеством там обязательно должны появиться многочленные прогрессии – это был многочленный эквивалент работы Семереди. Однако, у математиков не было понятия о том, насколько большим должно быть «достаточно большое» множество.
Пилюс ответила на этот вопрос контринтуитивным способом – размышляя о том, какими свойствами должно обладать множество чисел, чтобы в нём не было таких закономерностей.
Борьба с закономерностями при помощи закономерностей
Пилюс хотела определить, насколько большим должно быть множество – какой процент чисел из интервала должен в нём содержаться – чтобы гарантировать, что оно будет содержать заданную многочленную прогрессию. Для этого она представила все способы, благодаря которым множество чисел может избежать появления в нём прогрессии – а потом доказала, что при превышении определённого размера не работают даже самые хитроумные из этих стратегий.
Эту задачу можно рассматривать как состязание. Допустим, кто-то просит вас создать множество, содержащее половину чисел от 1 до 1000. Вы выигрываете, если в множестве не будет первых четырёх членов многочленной прогрессии. Как бы вы подбирали числа?
Сара Пилюс из Оксфордского университета
Возможно, вы инстинктивно попытаетесь выбрать числа случайным образом. Но этот инстинкт будет ошибочным.
«Большинство множеств находятся в середине нормального распределения. Они содержат среднее количество многочленных прогрессий», — сказал Прендивиль. И это среднее значение гораздо больше требуемого от вас нулевого.
Это похоже на то, как если бы вы выбирали из всего населения планеты случайного человека, и получили такого, рост которого близок к среднему. Если ваша цель – найти более редкий экземпляр ростом более 2 м, вам нужно вести поиски более направленно.
Поэтому для выигрыша в состязании по выбору чисел вам нужен более организованный способ решать, какие числа включать в ваше множество из 500 штук. К примеру, можно заметить, что если выбирать только чётные числа, можно устранить вероятность того, что в множестве будут находиться многочленные прогрессии, содержащие нечётные числа. Прогресс! Естественно, таким способом вы увеличиваете вероятность того, что ваше множество содержит многочленные прогрессии, состоящие из чётных чисел.
Однако суть в том, что придумав структурированный способ выбора 500 чисел, можно устранить вероятность нахождения в множестве определённых многочленных прогрессий. Иначе говоря, нужно соблюдать закономерность, чтобы избежать закономерности.
Пилюс решила доказать, что при достижении определённого размера, даже очень хитроумно составленным множествам всё равно придётся включить в себя многочленные прогрессии. По сути, она хотела определить критическую точку, в которой вы, каждый раз избегая включения многочленных прогрессий одного типа, приходите к наличию многочленных прогрессий другого типа – как в случае с чётными и нечётными числами.
Для этого ей нужно было найти способ количественно оценить структуризацию множества.
Измерение структуры
До выхода работы Пилюс многие математики пытались понять, когда именно многочленные прогрессии появляется в множестве чисел. Этим занимались многие из весьма успешных математиков, но никто из них не смог достаточно сильно продвинуться на пути к выяснению размера множества, которого оно должно достичь, чтобы содержать многочленные прогрессии различной длины.
Главным препятствием для них было то, что математики не представляли, как именно можно охарактеризовать структуры, позволяющие избежать появления многочленных прогрессий. Была одна потенциальная техника для этого, но когда Пилюс начинала работать в этой области, её нельзя было применить к вопросам, касающимся многочленных прогрессий.
Эта техника появилась в работе Гауэрса от 2001 года по арифметическим прогрессиям. Гауэрс создал тест, назвав его «нормой Гаэурса», обнаруживающий структуры определённого вида в множестве чисел. Тест выдаёт одно число, определяющее количество структурности в множестве – то есть, он численно показывает, насколько далеко множество отошло от простого набора случайных чисел.
«Понятие ''множество выглядит случайным'' не является чётко определённым с математической точки зрения», — сказал Грин. Гауэрс нашёл способ количественно охарактеризовать это понятие.
Множество может быть более или менее структурированным. Множества, содержащие случайные числа, не имеют структуры, поэтому с большой вероятностью содержат числовые закономерности. У таких множеств норма Гауэрса низкая. Множества, содержащие только нечётные числа, или только числа, делящиеся на 10, имеют рудиментарную структуру. Легко доказать, что при превышении определённого размера в множествах такой простой структуры также появятся различные закономерности.
Тяжелее всего работать с множествами очень сложных структур. Они могут выглядеть случайными, однако при этом быть построенными по какому-то очень хитрому правилу. Их норма Гауэрса высока, и они дают наилучшие шансы систематически избегать закономерностей при росте размера множества.
Поскольку Гауэрс использовал эти техники для поисков ответы на вопросы, связанные с арифметическими прогрессиями, их нельзя было применить к вопросам, касающимся многочленных прогрессий. Арифметические прогрессии имеют равные промежутки, а числа в многочленных прогрессиях очень активно скачут. Нормы Гауэрса были полезными для изучения многочленных прогрессий так же, как триммер для травы для очистки старой краски с дома: идея похожая, хотя для этой работы и не совсем подходит.
В новом доказательстве Пилюс использовала базовую идею нормы Гауэрса для создания нового способа анализа структур, связанных с многочленными прогрессиями. Она использовала технику «понижения градуса» для доказательства того, что при разбирательствах с интересующими её многочленными прогрессиями стоит беспокоиться только о простых структурах с низкой нормой Гауэрса. Дело в том, что многочленные прогрессии настолько сильно меняются при переходе от одного члена к другому, что они неизбежно прорываются через менее прочные числовые препятствия – как слон, продирающийся через витрины наружу из посудной лавки.
Формулу Пилюс тяжело описать простыми терминами. В ней участвует двойной логарифм длины изначального интервала, из которого вы выбираете числа для своего множества. Полученный ею минимальный размер не обязательно будет самым малым из всех возможных – в будущих работах может обнаружиться, что истинный порог находится ещё ниже. Но до появления её доказательства у математиков вообще не было количественного понимания появления гарантии наличия многочленных прогрессий.
«Она стала первым человеком, показавшим, насколько большим должен быть размер множества», — сказал Прендивиль.
Доказательство Пилюс количественно отвечает на один вопрос, связанный с многочленными прогрессиями. Теперь математики используют его в надежде получить ответ на другой вопрос – касательно того, когда многочленные прогрессии появляются в множествах, целиком состоящих из простых чисел, наиболее важных чисел в математике, упорно сопротивляющихся каким бы то ни было последовательностям. До появления этого доказательства у математиков не было представления о том, как подойти к этому вопросу.
«Есть надежда, что некоторые из аргументов моей работы можно будет применить в области простых чисел», — сказала Пилюс.
