Неклассические арифметики: шифруем или нет?

Пост «Свежие идеи в математике: неклассические арифметики и разнообразия» предложил читателям мысль использования наборов числовых алгебраических операций — арифметик, функций/уравнений на их основе, теперь называемых функциями/уравнениями разнообразия, и того, что является множествами/последовательностями значений функций разнообразия и множествами решений обозначенных уравнений — разнообразий. Конкретную неклассическую арифметику можно найти в препринте «Арифметика DR+», а неформально познакомиться с ней можно на видеопримерах.

Далее, КА – сокращение для классической арифметики, НКА – для неклассической, -их.

Одним из заявленных преимуществ идеи была возможность переноса (переиспользования) привычных конструкций классической арифметики на неклассические с целью экономии мышления. Здесь мы обозначим один теоретический пример, начинающийся с вопросов: "В данной арифметике A существует аналог простого числа относительно ее умножения или нет? Арифметика остатков в A существует? RSA-алгоритм реализуется в A?"

Очертим пунктирно интересующую нас арифметику A следующим образом: ее умножение — это алгоритм, принимающий на вход числовые операнды, конечную таблицу умножения i и конечную таблицу сложения j для цифр, наподобие классических операций. Это математически корректно утверждать, что в A столько умножений, сколько возможно пар «таблица умножения – таблица сложения». Аналогично со сложениями, вычитаниями, делениями.

Итак, у нас есть множество умножений, причем оно колоссально. Как только арифметика А такова, что в ней имеет смысл говорить о простых (относительно данного умножения) числах, то мы имеем следующее «простое запутывание взломщика»: если он не знает операцию умножения, т. е. не знает таблицы умножения и сложения, то неизвестно как факторизуется данное число. В самом деле, в одном умножении оно факторизуется на простые a, b, в другом — на простые c, d, e, f, в третьем оно само является простым.

Итак, RSA, реализованный в наборе О_t операций арифметики А, будет работать с секретными таблицами и будет иметь публичный ключ. Закрытость таблиц операций расшифровки влечет необходимость закрытости их и для зашифровки, поскольку, в отличие от RSA с классической арифметикой, сообщение Боба расшифруется Алисой, если им обоим известны операции: публичный ключ Алисы известен всем, им может зашифровывать любой, но какая таблица у получателя неизвестно. С другой стороны, по тем же причинам что в RSA, у нас нет необходимости менять таблицы в новом сеансе шифрования.

Предположим, RSA реализуется в О_t . Разумно предположить, что, при одинаково «длинных» числах, RSA, снабженный О_t, обладает большей криптоустойчивостью из-за секретности таблиц, нежели снабженный классической. Однако А может быть медленнее в машинном смысле. Тогда можно попробовать работать с более короткими числами. Это может несколько понизить стойкость, но, тем не менее, сохранить ее большей нежели RSA с КА. Или можно упростить алгоритм шифрования, оставаясь все равно в интервале высокой надежности.

P. S. Автор не является специалистом по шифрованию. Препринт «Арифметика DR+» не содержит по состоянию на 25 февраля 2022 года никаких подробностей по заданной теме.