В продолжение статьи Переворачивающиеся при умножении числа, которую я написал в 2024 году, представляю небольшую статью-обновление.

Переворачивающимися при умножении числами я назвал такие числа a и b с одинаковым количеством цифр, что выполняется равенство:

a ∙ b = concat(reverse(b), reverse(a)),

где операция reverse записывает разряды числа в обратном порядке, а операция concat соединяет два числа в одно. Например, выполняются такие равенства:

218252 ∙ 837281 = 182738 252812
43275098 ∙ 77535533 = 33553577 89057234
47208027 ∙ 56843862 = 26834865 72080274
и т. д.

Алгоритмы нахождения переворачивающихся чисел приведены в оригинальной статье и комментариях к ней.

В данной статье я привожу (немного расширенный) список известных переворачивающихся чисел для разных оснований счисления и изучаю особенности найденных пар.

В продолжение части 1 привожу анализ заполнений квадрата со стороной 45 квадратиками размера от 1 до 9 (1x1 - 1 шт., 2x2 - 2 шт., 3x3 - 3 шт., ..., 9x9 - 9 шт.).

Начнём с простого. Несложно показать, что квадратик размера 1 не может стоять у границы и даже на расстоянии 1 от границы. Этот факт я учитывал при поиске вариантов, чтобы немного сократить перебор.

Если выстроить квадратики размера 9 вдоль двух соседних «стенок», то мы сведём задачу поиска заполнения к задаче для . Таким образом получается, что около 4% заполнений для получаются напрямую из заполнений для (у нас есть 4 способа выбрать 2 соседние «стенки»).

1-го января из сообщества Незадача дня я узнал про интересные равенства относительно числа 2025 и про задачу, которую на их основе можно сформулировать.

Равенства следующие:

Некоторые, возможно, ещё помнят, что в углублённой школьной (или вузовской) программе встречалось равенство . Собственно, оно тут и применяется. Кстати, согласно Википедии, это равенство называется тождеством Никомаха, древнегреческого математика (около 60-120 гг. н.э.).

На основе этих равенств можно сформулировать задачу:

Сколько существует способов расположить 1 квадратик со стороной 1, 2 квадратика со стороной 2, 3 квадратика со стороной 3, … , 8 квадратиков со стороной 8, 9 квадратиков со стороной 9 в квадрате со стороной 45, чтобы они не пересекались?

Здравствуйте!

Расскажу о серии задач, которая случайно возникла в процессе решения другой задачи. Мне на глаза попалось равенство:

81 * 27 = 2187

– Интересно, – подумал я. – А бывают ли ещё такие числа, чтобы цифры слева и справа повторялись?