Да, если доказать сначала в общем виде свойства пределов арифметических операций. Но эти доказательства тоже надо как-то сделать, и тут получается, что проще сделать это по Гейне.
Особенно анализируя конкретные множество, список, словарь (например, в питоне), и вообще, можно ли вывести "Идеальный всеохватывающий самодостаточный" набор структур данных для языка программирования?
Можно (сопоставить философов и всевозможные структуры данных), но тогда мы уйдем в сторону от той линии, которая ведет к решению проблемы непрерывности и введению понятия множества.
Например, ведь тогда там появится процессуальная онтология, а это как минимум Уайтхед и Делез. Или, к примеру, функциональное программирование - а это Фреге уже. То есть сильно за пределы обозначенной темы выходит.
Я в данном случае рассмотрел в статье лишь самый минимум. Аристотель - мимо него никак, там база для дальнейшего, Гегель - потому что его модель всеобщего-особенного-единичного очень близка к теории множеств (но есть некоторые отличия), Спиноза - потому что на него опирался Кантор. Ну и сам Кантор, который теорию множеств придумал.
Я думаю через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных.
При этом надо сказать, что Коши был в русле антигегельянского движения (поэтому и опирался на Спинозу), а у Гегеля были довольно противоположные изложенному здесь взгляды на математику (он сам анализ выводил из алгебры, был против геометрического подхода).
У Аристотеля я читал в его книге "Физика" вот эти все рассуждения про непрерывность. Там он их выводит, анализируя апории Зенона, так что это всё еще от Зенона идет.
А полный исторический экскурс требует много кого еще вспомнить, например схоластов.
Если игнорировать доказательства, то можно упустить неприменимость тех или иных математических методов. Насчет счетности и несчетности, непрерывности - это всё сильно нужно в первую очередь для равномерной непрерывности и сходимости на практике, которая как раз определяет, можно ли почленно ряд дифференцировать/интегрировать, можно ли дифференцировать по параметру интеграл и тому подобное.
В вашем контрпримере две точки сгущения. Вторая - бесконечность.
Если добавить "у любой ее подпоследовательности" - это ничего не меняет. Ваш контрпример тогда превращается в то, что есть подпоследовательность 1, 2, 3, ...
Вопрос в том, где находится бесконечное количество членов последовательности.
Сейчас у многих студентов МФТИ есть с этим проблемы.
Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.
Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.
Однако, в книжке советского академика 70х годов, мне приходилось читать следующее:
Но перед тем, как поставить в зачетной книжке студенту высшую отметку, профессор решил почему-то задать вопрос о самом понятии интеграла. К своему удивлению, профессор не получил правильного ответа. Еще более тяжелым оказался случай с определением дифференциала. Студент явно и безнадежно «плавал».
«Как же это можно? — недоумевал профессор. — Вы прекрасно интегрируете и дифференцируете, но не имеете понятия о том, что такое интеграл и дифференциал? Как это можно?»
«Профессор, — ответил расстроенный студент, — все дело в том, что мы вначале не понимаем, а потом привыкаем»/
Да и в статье Неретина, на которую в тексте ссылаюсь, описаны советские практики.
Обычно при доказательствах считают, что исходная система аксиом непротиворечива. Но в данном случае можно также сказать, что с противоположной идеей проблем нет, так как пример очень легко построить. Достаточно взять любую непрерывную на отрезке функцию.
Например, , на отрезке . Максимум в точке 2, минимум в точке 0.
"Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять. "
Почему теми же? Вообще-то нет.
И почему неформально? Это другая формализация, не менее строгая.
Тут не соглашусь, потому что анализ занимается далеко не только сходимостью.
"Без языка "эпсилон-дельта" никак не обойтись. Он пронизывает всю математику. Не всегда в виде неравенств, но всегда есть какие-то кванторы (существования, всеобщности). "
Обойтись можно, особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики, равномерной непрерывности и тому подобных, в таких случаях он становится слишком уж неуклюжим и неудобным, малопригодным для решения задач.
Например, есть теорема Кантора (непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем), через определение непрерывности по Гейне доказывается элементарно, коротко и доказательство имеет ясный геометрический смысл. А по Коши так:
Теорема Кантора.
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. 0 , что для любого найдутся такие точки и , что , но . В частности, для найдутся такие точки, обозначим их и , что
но
Из последовательности точек в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Обозначим ее предел :
Поскольку , то . Функция непрерывна в точке , поэтому
Подпоследовательность последовательности также сходится в точке , ибо
при . Поэтому
Отсюда следует, что
а это противоречит условию, что при всех выполняется неравенство
Полученное противоречие доказывает теорему.
Вот зачем так издеваться над людьми? Это же просто бессмысленно.
Огромная куча слишком длинных рассуждений, да еще и на другие теоремы ссылки.
Кроме того, в анализе имеет значение же еще равномерная сходимость, там сложность ее описания через эпсилоны и дельты еще сложнее, а по Гейне остается элементарной.
Ну в подходе Вейерштрасса и Коши, там много алгебры неравенств, и импликации на основе кванторов. Это главное препятствие для понимания студентами - абстрактность.
У меня прямо сейчас на репетиторстве студент первого курса МФТИ, который завалил коллоквиум по матанализу и его пересдачу тоже, хотя всё упорно учил. Просто понять ничего не может, несмотря на то, что он поступил в МФТИ по олимпиаде без экзаменов, выпускник сильной физмат-школы. Старается, но не получается у него. А всё из-за этих кванторов и сплошных стен текста с большим количеством слов и кванторов. Наизусть выучить всё это может - понять нет.
Только что наткнулся на хорошую видео иллюстрацию в форме мема Real Analysis vs Abstract Algebra. Сразу видно, где алгебраический подход логичен и естественен, а где нет.
Ну чтобы читать "Introduction to Linear Algebra" требуется намного более высокий начальный уровень подготовки, чем чтобы эту статью читать. Поэтому на эту книгу совсем нет никакого смысла ориентироваться, всё-таки это принципиально иной уровень сложности - там вузовская программа, а здесь лишь школьная планиметрия и алгебра.
Преимущество определения через косинус в том, что оно очень наглядное, хорошо заходит детям в 8-м классе. А через сумму координат как-то слишком абстрактно.
Да, это мой релиз от мая 2025. Я этих релизов с лета 2024го написал очень много и продолжаю писать по работе, сюда по одному в день выкладываю свои, и до выкладывания того, что пишу непосредственно, дойду где-то к февралю.
Каждый месяц пишу по 10 штук новых релизов в среднем.
Да, целиком мультивектор на мультивектор - вычислительно затратно. Нужно разбивать на подвиды и искать наиболее оптимальные представления.
В поиске оптимальных вычислений очень много нюансов.
Например, 2 комплексных числа умножить - достаточно 3 умножения вещественных использовать вместо 4, это серьезный выигрыш в производительности.
Я имею в виду
А еще оптимальность формул зависит от таких мелочей, например, как использование битового сдвига для умножения на степень двойки, а также того, числа там целые или вещественные используются.
Да, если доказать сначала в общем виде свойства пределов арифметических операций. Но эти доказательства тоже надо как-то сделать, и тут получается, что проще сделать это по Гейне.
Можно (сопоставить философов и всевозможные структуры данных), но тогда мы уйдем в сторону от той линии, которая ведет к решению проблемы непрерывности и введению понятия множества.
Например, ведь тогда там появится процессуальная онтология, а это как минимум Уайтхед и Делез. Или, к примеру, функциональное программирование - а это Фреге уже. То есть сильно за пределы обозначенной темы выходит.
Я в данном случае рассмотрел в статье лишь самый минимум. Аристотель - мимо него никак, там база для дальнейшего, Гегель - потому что его модель всеобщего-особенного-единичного очень близка к теории множеств (но есть некоторые отличия), Спиноза - потому что на него опирался Кантор. Ну и сам Кантор, который теорию множеств придумал.
Я думаю через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных.
При этом надо сказать, что Коши был в русле антигегельянского движения (поэтому и опирался на Спинозу), а у Гегеля были довольно противоположные изложенному здесь взгляды на математику (он сам анализ выводил из алгебры, был против геометрического подхода).
У Аристотеля я читал в его книге "Физика" вот эти все рассуждения про непрерывность. Там он их выводит, анализируя апории Зенона, так что это всё еще от Зенона идет.
А полный исторический экскурс требует много кого еще вспомнить, например схоластов.
Допишу тогда "сходящаяся к конечному пределу ..."
Я в паре мест дописал про точку бесконечность отдельно.
Короче говоря, надо дописать в статью, что числовую прямую дополняем точкой бесконечность. Тогда всё будет нормально.
Так геометрия тоже должна быть строгой.
Если игнорировать доказательства, то можно упустить неприменимость тех или иных математических методов. Насчет счетности и несчетности, непрерывности - это всё сильно нужно в первую очередь для равномерной непрерывности и сходимости на практике, которая как раз определяет, можно ли почленно ряд дифференцировать/интегрировать, можно ли дифференцировать по параметру интеграл и тому подобное.
В вашем контрпримере две точки сгущения. Вторая - бесконечность.
Если добавить "у любой ее подпоследовательности" - это ничего не меняет. Ваш контрпример тогда превращается в то, что есть подпоследовательность 1, 2, 3, ...
Вопрос в том, где находится бесконечное количество членов последовательности.
Сейчас у многих студентов МФТИ есть с этим проблемы.
Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.
Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.
Однако, в книжке советского академика 70х годов, мне приходилось читать следующее:
Да и в статье Неретина, на которую в тексте ссылаюсь, описаны советские практики.
У него на сайте про это много Mathematical education тут.
Размер пустого множества равен нулю.
А этот вопрос я предвидел и в тексте ответ на него сразу написал. Вот тут
Обычно при доказательствах считают, что исходная система аксиом непротиворечива. Но в данном случае можно также сказать, что с противоположной идеей проблем нет, так как пример очень легко построить. Достаточно взять любую непрерывную на отрезке функцию.
Например,
, на отрезке ![[-1,2]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/430/763/069/4307630693a66817e49ea8ca5f4ee72c.svg)
. Максимум в точке 2, минимум в точке 0.
"Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять. "
Почему теми же? Вообще-то нет.
И почему неформально? Это другая формализация, не менее строгая.
Тут не соглашусь, потому что анализ занимается далеко не только сходимостью.
Обойтись можно, особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики, равномерной непрерывности и тому подобных, в таких случаях он становится слишком уж неуклюжим и неудобным, малопригодным для решения задач.
Например, есть теорема Кантора (непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем), через определение непрерывности по Гейне доказывается элементарно, коротко и доказательство имеет ясный геометрический смысл. А по Коши так:
но
Из последовательности точек
в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность 
. Обозначим ее предел 
:
Поскольку
, то 
. Функция 
непрерывна в точке 
, поэтому
Подпоследовательность
последовательности 
также сходится в точке 
, ибо
при
. Поэтому
Отсюда следует, что
а это противоречит условию, что при всех
выполняется неравенство
Полученное противоречие доказывает теорему.
Вот зачем так издеваться над людьми? Это же просто бессмысленно.
Огромная куча слишком длинных рассуждений, да еще и на другие теоремы ссылки.
Кроме того, в анализе имеет значение же еще равномерная сходимость, там сложность ее описания через эпсилоны и дельты еще сложнее, а по Гейне остается элементарной.
Ну в подходе Вейерштрасса и Коши, там много алгебры неравенств, и импликации на основе кванторов. Это главное препятствие для понимания студентами - абстрактность.
У меня прямо сейчас на репетиторстве студент первого курса МФТИ, который завалил коллоквиум по матанализу и его пересдачу тоже, хотя всё упорно учил. Просто понять ничего не может, несмотря на то, что он поступил в МФТИ по олимпиаде без экзаменов, выпускник сильной физмат-школы. Старается, но не получается у него. А всё из-за этих кванторов и сплошных стен текста с большим количеством слов и кванторов. Наизусть выучить всё это может - понять нет.
Только что наткнулся на хорошую видео иллюстрацию в форме мема Real Analysis vs Abstract Algebra. Сразу видно, где алгебраический подход логичен и естественен, а где нет.
Ну чтобы читать "Introduction to Linear Algebra" требуется намного более высокий начальный уровень подготовки, чем чтобы эту статью читать. Поэтому на эту книгу совсем нет никакого смысла ориентироваться, всё-таки это принципиально иной уровень сложности - там вузовская программа, а здесь лишь школьная планиметрия и алгебра.
Преимущество определения через косинус в том, что оно очень наглядное, хорошо заходит детям в 8-м классе. А через сумму координат как-то слишком абстрактно.
Да, это мой релиз от мая 2025. Я этих релизов с лета 2024го написал очень много и продолжаю писать по работе, сюда по одному в день выкладываю свои, и до выкладывания того, что пишу непосредственно, дойду где-то к февралю.
Каждый месяц пишу по 10 штук новых релизов в среднем.
Параллельная, но я собираюсь с ними впервые связаться в ближайшие пару недель для одной совместной активности внутри ВШЭ.
Так что была параллельная, но в этом месяце начнем пересекаться.
Да, целиком мультивектор на мультивектор - вычислительно затратно. Нужно разбивать на подвиды и искать наиболее оптимальные представления.
В поиске оптимальных вычислений очень много нюансов.
Например, 2 комплексных числа умножить - достаточно 3 умножения вещественных использовать вместо 4, это серьезный выигрыш в производительности.
Я имею в виду
А еще оптимальность формул зависит от таких мелочей, например, как использование битового сдвига для умножения на степень двойки, а также того, числа там целые или вещественные используются.