В самом начале статьи. Вы в комментариях почему-то упорно пытаетесь очень простые и наглядные вещи выражать через абстрактные и сложные. А суть ведь в том, что геометрическая алгебра - это очень просто, намного проще абстракций линейной алгебры.
Умножение двух любых разных базисных векторов антисимметрично, умножение на себя дает квадрат длины, эта операция определена так, что она обратимая и линейная. При этом все действия имеют очень наглядный геометрический смысл и тут расписано это с картинками. Всё!
Не нужно никаких многомерных пространств, матриц, тензоров и прочих куда более сложных вещей. Всё, что вы тут упоминаете - намного более сложный материал для восприятия, чем тот, что я тут популярно объяснил.
Это как пойти в школу и 7-классникам школьную алгебру через квантовую механику объяснять - вот что вы предлагаете.
У меня дано универсальное правило умножения векторов, из которого далее следует, как построить умножение любых объектов и в любой размерности пространства. А эрмитовы матрицы задают правила умножения бивекторов, причем только в 3D (в большей размерности так уже не работает).
Тут еще спрашивают "что объект этого действия". А ведь важно то, что объектом этого действия является любой другой объект геом.алгебры, а также само пространство целиком.
То, что вы назвали "векторно-скалярным произведением", чаще называют "смешанным произведением". В геометрической алгебре оно получается элементарно: нужно взять внешнее произведение от всех трех векторов.
Да, но и она имеет просто непосредственный смысл. Каждый мультивектор - это оператор геометрического преобразования пространства, умножение их - композиция, а композиция операторов вообще-то ассоциативна.
Да нет, это материал первого курса первого семестра по линейной алгебре.
Матрица Грамма - это симметричная положительно определенная матрица, состоящая из попарных скалярных произведений каких-то векторов.
Тут X - это разные векторы. Если они комплексные, то имеется в виду умножение комплексно сопряженного на исходный вектор.
Поскольку правило умножения матриц - это "строка на столбец", то эти Х буквально являются столбцами исходной матрицы.
Это всё просто обобщение взятия квадрата модуля числа. Мы хотим, чтобы произведение объекта на "себя" (в правильном смысле "себя") раскрывало его фундаментальные геометрические свойства. Для набора векторов эти свойства — это все их длины и все углы между ними, которые хранятся в матрице Грама.
"С моей точки зрения это можно даказать, лишь приведя конструктивный алгоритм, который из двух массивов, состоящих из 4 вещественных чисел, делает один, такой же длины. "
А какое отношение этот алгоритм имеет к геометрической алгебре?
Если вы имеете в виду умножение спиноров в 3D (вектор + скаляр), то вообще-то произведение двух спиноров в общем случае дает сумму спинора с ротором. То есть два массива из 4 чисел дают массив из 7 чисел.
Или вы про 2D. Тогда всё просто - таким алгоритмом является алгоритм умножения матриц. Геометрическая алгебра в 2D в качестве матричного представления имеет все возможные матрицы размера 2 на 2, состоящие из вещественных чисел. Устроено это очень просто, вот так:
Ассоциативность следует из того, что смысл умножения тут - это композиция операторов преобразования пространства.
Впрочем, она же следует из базовых правил. Ассоциативность есть в правилах на уровне умножения отдельных векторов, следовательно с любыми комбинациями тоже работает - так как все эти комбинации есть просто формальные многочлены от этих векторов..
Использовать матричные представления, для 3D как раз матрицы Паули отлично подойдут
Использовать символьные вычисления (правила преобразования символов здесь в статье уже заданы все, их достаточно).
Задать базис в пространстве мультивекторов и на нем определить все операции
Последний третий способ самый сложный, но если фиксировать размерность пространства, то почему бы и нет
При этом, видимо, проще всего написать программу, которая эти операции автоматически определяет сама (например, через матричное представление), хранит в виде таблицы и потом использует. Проще говоря, такая программа должна будет:
Сгенерировать весь базис в лексикографическом порядке и пронумеровать
Для каждого базисного мультивектора написать матричное представление
Впрочем, возможно, проще сделать иначе. Например, строить эту таблицу с постепенным повышением размерности. Думаю, там можно просто рекуррентную формулу вывести и всё. Могу написать об этом статью.
С кватернионами проблема в том, что непонятно, почему они такие, откуда все эти правила. А здесь всё понятно - вот есть отражения, их композиция поворот и т.п.
Все формулы из понятных базовых правил расписываются.
У кватернионов же сразу не очень понятные формулы.
Ну и да, круто то, что нет никакой привязки к размерности пространства.
Нет тут никакого e0.
"Чему же они равны (покомпонентно) ?"
Это очень простой вопрос. Вот ответ:
e1 = e1
e2 = e2
e1*e2 = e12
В самом начале статьи. Вы в комментариях почему-то упорно пытаетесь очень простые и наглядные вещи выражать через абстрактные и сложные. А суть ведь в том, что геометрическая алгебра - это очень просто, намного проще абстракций линейной алгебры.
Умножение двух любых разных базисных векторов антисимметрично, умножение на себя дает квадрат длины, эта операция определена так, что она обратимая и линейная. При этом все действия имеют очень наглядный геометрический смысл и тут расписано это с картинками. Всё!
Не нужно никаких многомерных пространств, матриц, тензоров и прочих куда более сложных вещей. Всё, что вы тут упоминаете - намного более сложный материал для восприятия, чем тот, что я тут популярно объяснил.
Это как пойти в школу и 7-классникам школьную алгебру через квантовую механику объяснять - вот что вы предлагаете.
Если я так буду писать, то почти никто ничего не поймет, жанр статьи тут - популярная. Написано так, чтобы детям было понятно
"Так что же объект действия? Похоже, что другой вектор. Тогда получается, мы действуем над действиями? Хмм... "
А что вас тут смущает? Именно это и описано. Но действовать можно не только на векторы.
Сразу же как объект действия используется другой вектор.
У меня дано универсальное правило умножения векторов, из которого далее следует, как построить умножение любых объектов и в любой размерности пространства. А эрмитовы матрицы задают правила умножения бивекторов, причем только в 3D (в большей размерности так уже не работает).
Да, это всё бивекторы.
Так цель как раз в том, чтобы популярно и понятно изложить, а не строго и формально.
Последовательность и логика введения объектов тут как раз в центре всего.
"И тут он вводит вектара как операторы, но их произведение - это уже скаляр, совсем другого вида оператор. На этом читать перестал. "
Произведение вектора на вектор - это сумма скаляра и бивектора. Это тоже оператор.
Как раз я тут подробно и анализирую, что из себя он представляет.
Их произведение - это композиция двух операторов как раз.
А матричное представление алгебры Клиффорда в 3D - это все комплексные матрицы 2 на 2, не только эрмитовые.
Эрмитовые являются представлением ее четной подалгебры.
Тут еще спрашивают "что объект этого действия". А ведь важно то, что объектом этого действия является любой другой объект геом.алгебры, а также само пространство целиком.
То, что вы назвали "векторно-скалярным произведением", чаще называют "смешанным произведением". В геометрической алгебре оно получается элементарно: нужно взять внешнее произведение от всех трех векторов.
Нет, это тот же самый скаляр.
Полный базис - это 8 матриц. Матрицы Паули, единичная матрица, и все они, умноженные на мнимую единицу.
Кватернионы - это четная подалгебра, как раз именно в геометрической алгебре они получаются очень просто и естественно.
Да, но и она имеет просто непосредственный смысл. Каждый мультивектор - это оператор геометрического преобразования пространства, умножение их - композиция, а композиция операторов вообще-то ассоциативна.
Да нет, это материал первого курса первого семестра по линейной алгебре.
Матрица Грамма - это симметричная положительно определенная матрица, состоящая из попарных скалярных произведений каких-то векторов.
Тут X - это разные векторы. Если они комплексные, то имеется в виду умножение комплексно сопряженного на исходный вектор.
Поскольку правило умножения матриц - это "строка на столбец", то эти Х буквально являются столбцами исходной матрицы.
Это всё просто обобщение взятия квадрата модуля числа. Мы хотим, чтобы произведение объекта на "себя" (в правильном смысле "себя") раскрывало его фундаментальные геометрические свойства. Для набора векторов эти свойства — это все их длины и все углы между ними, которые хранятся в матрице Грама.
"С моей точки зрения это можно даказать, лишь приведя конструктивный алгоритм, который из двух массивов, состоящих из 4 вещественных чисел, делает один, такой же длины. "
А какое отношение этот алгоритм имеет к геометрической алгебре?
Если вы имеете в виду умножение спиноров в 3D (вектор + скаляр), то вообще-то произведение двух спиноров в общем случае дает сумму спинора с ротором. То есть два массива из 4 чисел дают массив из 7 чисел.
Или вы про 2D. Тогда всё просто - таким алгоритмом является алгоритм умножения матриц. Геометрическая алгебра в 2D в качестве матричного представления имеет все возможные матрицы размера 2 на 2, состоящие из вещественных чисел. Устроено это очень просто, вот так:
Ассоциативность следует из того, что смысл умножения тут - это композиция операторов преобразования пространства.
Впрочем, она же следует из базовых правил. Ассоциативность есть в правилах на уровне умножения отдельных векторов, следовательно с любыми комбинациями тоже работает - так как все эти комбинации есть просто формальные многочлены от этих векторов..
Ну тут есть 3 основных способа
Использовать матричные представления, для 3D как раз матрицы Паули отлично подойдут
Использовать символьные вычисления (правила преобразования символов здесь в статье уже заданы все, их достаточно).
Задать базис в пространстве мультивекторов и на нем определить все операции
Последний третий способ самый сложный, но если фиксировать размерность пространства, то почему бы и нет
При этом, видимо, проще всего написать программу, которая эти операции автоматически определяет сама (например, через матричное представление), хранит в виде таблицы и потом использует. Проще говоря, такая программа должна будет:
Сгенерировать весь базис в лексикографическом порядке и пронумеровать
Для каждого базисного мультивектора написать матричное представление
Сгенерировать таблицу умножения базисных мультивекторов
Впрочем, возможно, проще сделать иначе. Например, строить эту таблицу с постепенным повышением размерности. Думаю, там можно просто рекуррентную формулу вывести и всё. Могу написать об этом статью.
Ассоциативность есть с самого начала, она никуда не девалась.
С кватернионами проблема в том, что непонятно, почему они такие, откуда все эти правила. А здесь всё понятно - вот есть отражения, их композиция поворот и т.п.
Все формулы из понятных базовых правил расписываются.
У кватернионов же сразу не очень понятные формулы.
Ну и да, круто то, что нет никакой привязки к размерности пространства.