Я так понимаю, ваша главная проблема с пониманием в том, что вы считаете, что сложение и умножение - это некоторые функции от двух аргументов, которые отображают их в какое-то другое третье пространство.
Но в математике то это не так. Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.
Ну я могу написать это в начало статьи, чтобы было понятнее.
"Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано. "
То, что написано в первых двух пунктах, работает для пространства с любым количеством измерений. А в третьем пункте уже написано, что дальше мы работаем с 3D.
"Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Это не так, в тексте это уже предусмотрено. Сумма скаляра с бивектором при умножении на вектор дает сумму вектора с тривектором, потому что вектор умножить на скаляр дает вектор, вектор умножить на бивектор дает тривектор. Если интересно, как выразить это через обычные векторные операции, то будет вот так.
Можете через определения, данные в статье, сами это вывести.
". Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия. "
"Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром. "
Бивектор со скаляром складывается формально. В тексте написано, что такое бивектор - это просто упорядоченная пара векторов (там даже точнее сформулировано - площадка, мерой которой является площадь и ориентация, потому что две разные площадки с одинаковой площадью и ориентацией в пространстве будут равны между собой).
" Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.
"И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "
Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.
Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.
Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.
Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.
Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.
В кватернионной форме вся система уравнений Максвелла выглядит вот так
Компоненты кватерниона тока являются плотностями заряда и тока :
где черта над кватернионом - это его сопряжение (смена знака в векторной части). Аналогично определяется кватернион производной:
4 -вектор производной с верхним индексом имеет компоненты .
Так как с любым 4-вектором мы связываем кватернион , а пространственные компоненты 4 -вектора содержат знак минус, он появляется и в векторной части кватерниона производной. Норма кватерниона производной равна оператору Д'Аламбера:
Наконец, третья величина является кватернионом напряженности электромагнитного поля:
Он не имеет скалярной части, а его векторная часть комплексна:
Градиент пространства-времени, написанный слева, как раз и описывает лоренц-инвариантность. Ну в уравнениях Максвелла самих он не столь очевиден, это надо еще его выводить, ротор от ротора вычислять, одни уравнения в другие подставлять.
Да, в этой записи лоренц-инвариантность намного очевиднее.
Вы пишите
"из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла"
Так в том то и дело, что в этой форме записи через геометрическую алгебру все 4 уравнения Максвелла превращаются в одно волновое уравнение на мультивектор.
А в записи, принятой в современных учебниках, связь между волновым уравнением и уравнениями Максвелла совершенно не очевидна.
У Максвелла электромагнитное поле - это комплексный векторный кватернион. Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор). Никакого скаляра там нет.
Кватернион - это сумма скаляр + бивектор.
Векторный кватернион - это без скаляра, просто бивектор.
Ну тут дело в том, что весь необходимый материал для понимания формул в этой статье есть. Геометрическое произведение определено данными формулами полностью. Другое дело, что для полного понимания нужно конечно дать полноценное введение в геометрическую алгебру, но это нужно отдельную статью писать.
Сам комментарий был связан с непониманием как они складываются, но никакого ответа за этим нет - это формальная сумма. То есть они никак не складываются в том смысле, в котором спрашивается.
В данном конкретном случае, видимо, стоило написать о том, что суммы бывают формальные. В ближайшее время я отредактирую статью.
Тут ведь вся суть во введенном градиенте пространства-времени, смысл его в том, что мультивектор электромагнитного поля подчиняется волновому уравнению, а скорость света - предельная скорость распространения волны.
Но тогда в такой интерпретации нет фундаментально никакого пространства Минковского. Я всё строил в евклидовом 3-мерном пространстве, никакого 4-мерного пространства-времени не вводил, а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения.
В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского. Преимущество над тензорной в том, что тензорная на координаты завязана, а моя форма является независимой от выбранной системы координат (то есть геометрические величины я сразу могу при необходимости определять в любой версии координат, форма уравнений от этого не меняется).
Кватернионная форма Максвелла, хотя эквивалентна моей, ближе к современным формам записи, чем моя, потому что кватернион и 4-вектор тут - это одно и то же.
Чтобы в моей записи получить Лоренц-инвариантность, нужно расписать применение ротора
Но похоже да, вариант, который Максвелл нашел изначально, всё же лучше с точки зрения того, чтобы описывать это все сразу в пространстве Минковского.
Я уже соорудил как раз вчера, и именно из-за этого тут решил написать аналогично тему гораздо попроще. Но там не настолько красивое вышло, и очень странное (очень сильно напоминает квантовую механику).
Надо там повозиться ещё. Я думаю в ноябре дать это повозиться студентам в ВШЭ на мероприятии под названием "математический воркшоп". Оно будет ориентировочно 15 ноября, участвовать могут не только студенты ВШЭ.
Здесь размещу в ноябре объявление, в хаб "я парюсь", наверное. С рассказом о прошлом воркшопе.
Во-первых, приблизительно таким образом были созданы сами уравнения Максвелла. Правда, Максвелл записал их в виде "комплексных кватернионов", но такая запись более-менее эквивалентна тому, что написана здесь. Кватернионы - тоже элементы алгебры Клиффорда (они соответствуют сумме скаляра и бивектора), и его запись получается из этой умножением на тривектор или мнимую единицу (у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая, а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор, а магнитное как вектор, а здесь всё сделано ровно наоборот - и способ, сделанный здесь, более правильный).
Почитать об этом можно в работе самого Максвелла J.C. Maxwell. A treatise on electrisity and magnetism. v.2 p. 257(618) "Quaternion expressions for electromagnetic equations", а также тут On the Notation of Maxwell's Field Equations .
Этот алгоритм придуман без геометрической алгебры, но является частным случаем ее реализации. Геометрическая алгебра позволяет писать координатно-независимые вычислительные схемы на произвольных сетках, в которой скаляры соответствуют вершинам, векторы ребрам, а бивекторы - граням. FDTD можно вывести как частный случай реализации такого подхода ГА к моделированию, примененного к обычной декартовой сетке в 3D (в схеме Йи как раз векторы напряженности поля соответствуют ребрам кубиков, а векторы магнитного поля - их граням).
В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.
На основе Ваших комментариев вписал в статью вот это введение, которое должно покрыть все вопросы, которые Вы задали.
Я так понимаю, ваша главная проблема с пониманием в том, что вы считаете, что сложение и умножение - это некоторые функции от двух аргументов, которые отображают их в какое-то другое третье пространство.
Но в математике то это не так. Сложение и умножение - это просто операции, заданные аксиомами сложения и умножения.
Ну я могу написать это в начало статьи, чтобы было понятнее.
"Тут же вопрос: сколько измерений, над каким полем? Не сказано. "
То, что написано в первых двух пунктах, работает для пространства с любым количеством измерений. А в третьем пункте уже написано, что дальше мы работаем с 3D.
" Дальше этот псевдоскаляр
, кем бы он ни был, то ли умножается на 
, то ли работает как функция с аргументом. "
Он просто умножается. Не надо ничего лишнего додумывать.
"Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Это не так, в тексте это уже предусмотрено. Сумма скаляра с бивектором при умножении на вектор дает сумму вектора с тривектором, потому что вектор умножить на скаляр дает вектор, вектор умножить на бивектор дает тривектор. Если интересно, как выразить это через обычные векторные операции, то будет вот так.
Можете через определения, данные в статье, сами это вывести.
". Предположил для себя, что скаляр и вектор тензорно домножаются на единичный вектор соответствующего партнёра и уже в результирующем 4-мерном пространстве оба суммируются. Но верна ли эта картинка — без понятия. "
Эта картинка абсолютно неверна.
"Здравствуй ещё один неизвестный термин, а главное, это по-прежнему не объясняет, каким образом этот бивектор складывается со скаляром. "
Бивектор со скаляром складывается формально. В тексте написано, что такое бивектор - это просто упорядоченная пара векторов (там даже точнее сформулировано - площадка, мерой которой является площадь и ориентация, потому что две разные площадки с одинаковой площадью и ориентацией в пространстве будут равны между собой).
" Выглядит как введённое выше "геометрическое произведение", но применённое к трём векторам. Но как? Ведь первое произведение вернёт "сумму скаляра с бивектором", и уже эту дурь надо будет умножать на третий вектор. А такой операции у нас не предусмотрено. "
Предусмотрено. Там даже всё написано
e1*e2 = e12 - это бивектор
e1*e2*e3 = e123 - это псевдоскаляр (тривектор).
Никаких других определений вообще-то и нет.
" Далее вводится "псевдоскаляр"
. Что это вообще такое? Почему "скаляр" и почему "псевдо"? "
Скаляр - потому что он не связан ни с какими направлениями в пространстве. А псевдо - потому что его квадрат равен минус единице.
Но вообще это несущественный вопрос, в данном случае псевдоскаляр - это просто общепринятое название мультивектора максимального ранга.
Это просто вопрос о названии, а не об определении.
Мы имеем дело с трехмерным пространством. Там же написано - скаляры, векторы, бивекторы и псевдоскаляры, больше ничего.
в какое-то другое пространство. Но в какое? Как устроена эта операция, какие у неё свойства? "
"И тут же вопрос: каким макаром мы умудряемся складывать скаляр с вектором? Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из
Можно. Это формальная сумма, она никуда не действует.
Видите, в чем проблема. Даже после того, как я написал вам, что это формальная сумма и ответа, который вы ищете, просто нет, вы по-прежнему отказываетесь его принимать. А никакого другого ответа на ваш вопрос просто и нет. Эта операция никуда не действует, а свойства у нее точно такие же, как у обычного сложения.
Возможно, было бы понятнее, если бы я в статье сразу написал, что операция сложения эта никуда не действует (то есть сумма вектора и бивектора, это просто вектор плюс бивектор, и никакого другого смысла за этим нет), а ее свойства полностью совпадают со свойствами обычного сложения.
В мою форму записи не встроено отсутствие монополей.
В правой части уравнения есть скаляр заряда и вектор тока.
Монополи сюда можно ввести как тривектор в правой части.
Кроме того, там еще может быть бивектор - видимо, это монопольный ток (аналогичный току движения зарядов).
Так что никакого запрета на монополи самого по себе тут нет.
Физический смысл в том, что электромагнитное поле представляет из себя мультивектор, а уравнения Максвелла - это обычное волновое уравнение для мультивектора.
Все известные со школьного курса законы электромагнетизма - это уравнения на разные отдельные части мультивектора.
Напишу развернутый ответ на основе relworld_08.pdf .
В кватернионной форме вся система уравнений Максвелла выглядит вот так
Компоненты кватерниона тока
являются плотностями заряда 
и тока 
:
где черта над кватернионом - это его сопряжение (смена знака в векторной части). Аналогично определяется кватернион производной:
4 -вектор производной с верхним индексом имеет компоненты
.
Так как с любым 4-вектором
мы связываем кватернион 
, а пространственные компоненты 4 -вектора 
содержат знак минус, он появляется и в векторной части кватерниона производной. Норма кватерниона производной равна оператору Д'Аламбера:
Наконец, третья величина является кватернионом напряженности электромагнитного поля:
Он не имеет скалярной части, а его векторная часть комплексна:
Вот это и есть волновое уравнение
Градиент пространства-времени, написанный слева, как раз и описывает лоренц-инвариантность. Ну в уравнениях Максвелла самих он не столь очевиден, это надо еще его выводить, ротор от ротора вычислять, одни уравнения в другие подставлять.
Да, в этой записи лоренц-инвариантность намного очевиднее.
Вы пишите
"из релятивистской инвариантности волнового уравнения не следует релятивистская инвариантность уравнений Максвелла"
Так в том то и дело, что в этой форме записи через геометрическую алгебру все 4 уравнения Максвелла превращаются в одно волновое уравнение на мультивектор.
А в записи, принятой в современных учебниках, связь между волновым уравнением и уравнениями Максвелла совершенно не очевидна.
У Максвелла электромагнитное поле - это комплексный векторный кватернион. Имеется в виду, что его вещественная часть - это векторный кватернион (бивектор) и мнимая тоже векторный кватернион (бивектор). Никакого скаляра там нет.
Кватернион - это сумма скаляр + бивектор.
Векторный кватернион - это без скаляра, просто бивектор.
Ну тут дело в том, что весь необходимый материал для понимания формул в этой статье есть. Геометрическое произведение определено данными формулами полностью. Другое дело, что для полного понимания нужно конечно дать полноценное введение в геометрическую алгебру, но это нужно отдельную статью писать.
Сам комментарий был связан с непониманием как они складываются, но никакого ответа за этим нет - это формальная сумма. То есть они никак не складываются в том смысле, в котором спрашивается.
В данном конкретном случае, видимо, стоило написать о том, что суммы бывают формальные. В ближайшее время я отредактирую статью.
Тут ведь вся суть во введенном градиенте пространства-времени, смысл его в том, что мультивектор электромагнитного поля подчиняется волновому уравнению, а скорость света - предельная скорость распространения волны.
Но тогда в такой интерпретации нет фундаментально никакого пространства Минковского. Я всё строил в евклидовом 3-мерном пространстве, никакого 4-мерного пространства-времени не вводил, а Лоренц-инвариантность тут возникает из-за волнового уравнения.
В мою форму записи сразу встроена метрика Минковского. Преимущество над тензорной в том, что тензорная на координаты завязана, а моя форма является независимой от выбранной системы координат (то есть геометрические величины я сразу могу при необходимости определять в любой версии координат, форма уравнений от этого не меняется).
Кватернионная форма Максвелла, хотя эквивалентна моей, ближе к современным формам записи, чем моя, потому что кватернион и 4-вектор тут - это одно и то же.
Чтобы в моей записи получить Лоренц-инвариантность, нужно расписать применение ротора
Но похоже да, вариант, который Максвелл нашел изначально, всё же лучше с точки зрения того, чтобы описывать это все сразу в пространстве Минковского.
У него же там
(оператор-вектор)(поле-бивектор) = (источник-вектор)
У бивектора квадрат, собственно, такой же как в пространстве Минковского.
Надо написать отдельную статью про это.
Я уже соорудил как раз вчера, и именно из-за этого тут решил написать аналогично тему гораздо попроще. Но там не настолько красивое вышло, и очень странное (очень сильно напоминает квантовую механику).
Надо там повозиться ещё. Я думаю в ноябре дать это повозиться студентам в ВШЭ на мероприятии под названием "математический воркшоп". Оно будет ориентировочно 15 ноября, участвовать могут не только студенты ВШЭ.
Здесь размещу в ноябре объявление, в хаб "я парюсь", наверное. С рассказом о прошлом воркшопе.
Во-первых, приблизительно таким образом были созданы сами уравнения Максвелла. Правда, Максвелл записал их в виде "комплексных кватернионов", но такая запись более-менее эквивалентна тому, что написана здесь. Кватернионы - тоже элементы алгебры Клиффорда (они соответствуют сумме скаляра и бивектора), и его запись получается из этой умножением на тривектор или мнимую единицу (у Максвелла электрическое поле вещественная часть кватерниона, магнитное - мнимая, а это собственно означает, что он электрическое поле определил как бивектор, а магнитное как вектор, а здесь всё сделано ровно наоборот - и способ, сделанный здесь, более правильный).
Почитать об этом можно в работе самого Максвелла J.C. Maxwell. A treatise on electrisity and magnetism. v.2 p. 257(618) "Quaternion expressions for electromagnetic equations", а также тут On the Notation of Maxwell's Field Equations .
Во-вторых, можно применять в численных методах. Очень популярным является алгоритм FDTD Метод конечных разностей во временной области — Википедия .
Этот алгоритм придуман без геометрической алгебры, но является частным случаем ее реализации. Геометрическая алгебра позволяет писать координатно-независимые вычислительные схемы на произвольных сетках, в которой скаляры соответствуют вершинам, векторы ребрам, а бивекторы - граням. FDTD можно вывести как частный случай реализации такого подхода ГА к моделированию, примененного к обычной декартовой сетке в 3D (в схеме Йи как раз векторы напряженности поля соответствуют ребрам кубиков, а векторы магнитного поля - их граням).
В-третьих, есть вопрос педагогический. То, что здесь в статье описано, гораздо понятнее, чем то изложение уравнений Максвелла, которое обычно используется в учебниках.