vened Feb 21 at 19:29

Решаем уравнение Бомбелли, или Почему квадратных корней из отрицательных чисел не бывает

Medium

17 min

21K

Mathematics * Popular science

FAQ

+43

Comments 22

sailor_V Feb 21 at 20:31

Зарегалась на Хабре чтобы только сказать спасибо за статью. Это супер круто.

Dhwtj Feb 21 at 21:40

~~Так кто же всё-таки убил Лору Палмер?~~

Так что же такое мнимая единица? В терминах действительных чисел это не объяснить

Ввели абстрактный символ i и задали для него правило редукции i^2 = -1. Есть i, -i. Какой из них мы вводили? И как их различить? Никак. Без волевого решения никак. Значит i это тот который i^2 = -1 и... вот этот (тыкает пальцем в один из двух вариантов)

dr_coungrations Feb 22 at 11:05

Поздравляю! Вы открыли для себя сопряжение — и почти открыли тот факт, что оно является автоморфизмом поля комплексных чисел

murkin-kot Feb 22 at 11:09

В терминах действительных чисел это не объяснить

А зачем?

Если вам надо решать уравнения со степенями - вы сами придёте к комплексным числам. А если не надо, то не придёте, да. Но только лишь потому что не надо. Хотя когда "не надо" то тоже хочется понять, но тут всё просто - надо отказаться от "не надо", тогда поймёте.

Смысл в возможности получить пользу там, где надо. Когда "не надо" пользы нет. Отсюда и ваш вопрос. Почувствовать вкус можно попробовав. А если не пробовать, то и 1000 объяснений не дадут почувствовать вкус.

Так что надо ботать, да. Ну если понять охота, разумеется.

sci_nov Feb 22 at 05:51

Для тех кто в школе)

AndreyDmitriev Feb 22 at 09:21

То есть, в обозначениях Бомбелли, уравнение выглядит так: «1 U3 à 15 U1 p.4»

Нашё в интернет архиве, как оно выглядит в оригинале. Вот, на стр.294:

https://archive.org/details/lalgebra00bomb/page/294/mode/2up

finkrer Feb 22 at 22:08

Круто, что в интернет архиве сохранился оригинальный пост из блога Бомбелли.

Tsimur_S Feb 23 at 13:07

И даже скрины переписки:

Скрин

kay_kay Feb 22 at 15:59

Статья написана весьма запутанно и неоправданно сложным языком для такого материала.

finkrer Feb 22 at 22:07

А мне нравится. Человеку было интересно и он поделился историей и своими мыслями. Если хочется максимально не запутанно, можно побеседовать с любой frontier моделью, они отлично понимают и объясняют математику. Но вряд ли я бы пошел спрашивать ChatGPT про кубические уравнения. А тут вот кто-то взял и сам написал, посмотрел, быть может, не самого Бомбелли, но парня, который читал Бомбелли. И уже интересно.

Melirius Feb 22 at 16:24

Есть некоторое лукавство: вы ничтоже сумняшеся приравниваете действительное число и оно же плюс 0i. А ранее сами говорите, что так нельзя :)

antipooh Feb 23 at 05:17

А у меня вопрос возник, что за задачи такие в 16 веке приводили к кубическим уравнениям? Да и квадратным тоже.

Naf2000 Feb 23 at 06:14

Понятно, что это делалось не так часто, как собственно и сегодня. Ладно из головы. Строим цилиндрическое зернохранилище. По местным канонам высота должна равняться диаметру плюс две меры длины. Какие у него параметры, чтобы ёмкость составила 100 у.е.?

gres_84 Feb 23 at 12:37

Математические турниры.

Naf2000 Feb 23 at 11:48

Хочу обратить на один момент

в (1),(2), исходя из структуры получившейся формулы, выписываем соотношения ...

Вот не следуют сами по себе эти соотношения. Переменные и имеют одну степень свободы (одна уже занята под ). Потребуем от них выполнения равенства . Другими словами, из множества пар $\{(u,v):u+v=x\}$ выберем такую, что $u^3+v^3=q \tag{*}$

Тогда сразу и автоматически следует , просто поделив оставшиеся на (случай неинтересен).

А с чего мы решили, что среди всего множества пар найдется, удовлетворяющая условию (*)? И вот тут и приходим к комплексным числам - среди вещественных пар такое может и не найтись, а среди комплексных обязательно найдется, ведь многочлен обязательно имеет корень по основной теореме алгебры.

Отступление. Очень понравился метод в ролике Бориса Трушина. Там ищется корень в виде $x=u+\frac{k}{u}$ , подбирая коэффициент так, чтобы "утроенные произведения" сократились.

В терминах данной задачи
$\left( u+\frac{k}{u} \right)^3=p\left( u+\frac{k}{u} \right)+q$
$u^3+3ku+3\frac{k^2}{u}+\frac{k^3}{u^3}=pu+\frac{pk}{u}+q$

В данном случае выбираем $k=\frac{p}{3}$

После чего получаем:

$u^3+\frac{k^3}{u^3}=q$ и умножив на переходим также к квадратному уравнению относительно :
Ну и далее аналогично классическому подходу.

snakers4 Feb 24 at 08:57

Тоже обратил на это внимание. На этом моменте потерял нить повествования. Наверное такое лучше делать в виде видео по типу 3B1B.

REST12 Feb 23 at 11:52

Статья блестяще показывает главное: новые математические объекты рождаются не от хорошей жизни, а от необходимости. Бомбелли ввёл мнимую единицу не потому, что ему захотелось "расширить числа", а потому, что без неё формула Кардано переставала работать для уравнений с тремя действительными корнями.

Для меня это прямой аналог того, что происходит в моей теории трёх проекций дзета-функции. Там тоже приходится вводить новые понятия — анти-нули, параметр синхронизации ρ(t), гипотезу H — потому что без них структура критической прямой рассыпается.

Бомбелли нашёл ключ к уравнению x³ = 15x + 4. Я надеюсь, что Z₃-симметрия станет таким же ключом к гипотезе Римана.

История повторяется: сначала спасаем формулу, потом понимаем, что спасли не формулу, а реальность. кому интересно https://zenodo.org/records/18731627

BeL0wZeR0 Feb 23 at 11:52

Спасибо за статью! Не могли бы вы уточнить: при использовании формулы Кардано как именно выбирается «правильная» пара кубических корней из девяти возможных комбинаций, чтобы гарантированно получить действительные корни уравнения?

vened Feb 23 at 14:36

Собственно, в статье про это написано: нужно выбрать $u + v, \quad \zeta {u} + \zeta^{2}{v}, \quad \zeta^{2} {u} + \zeta {v}$ .

nmrulin Feb 24 at 18:25

По моему в статье простое пытаются обьяснить слодным языком вводя не относящиеся к данному уравнению конструкции, что i не рано корню из минус 1 или что число 1+0i не децствительное.

Долго рассказывается о выводе формулы Кардано, хотя в Википедии можно видеть, что сам вывод пару строк буквально занимает.

Первый корень кстати просто находится т.к. если убрать 4 наконце получаем корень из 15, близко к 4.

314159abc Feb 24 at 20:27

Да не, вы просто, вероятно, не целевая аудитория. Я в 11 классе, про мнимые числа слышал только что это "корень из -1" (что, видимо, неправда). По ходу чтения статьи разобрался. Единственный момент хотелось бы подробнее - почему появляется 9 решений, из которых только 3 нужные. Как я понял, когда мы uv в куб возводим, количество решений автоматически утраивается на поле комплексных чисел. Это странно, потому что в действительных числах возведение обеих частей уравнения в нечетную степень - это равносильный переход.

nmrulin Feb 25 at 15:22

Почему не правда, что "корень из -1". Правда, но с некоторыми оговорками, которые почти никому не пригодятся. Собственно авто поэтому загадочно пишет про некое "заблуждение", без доказательств. Есть у него правда и удачные места в виде трёх корней из единицы , что действительно так, но в рамках этой статьи это опять скорее запутывает.

Есть у него и совсем спорные вещи, например в отличие от него Википедия говори - Всякое комплексное число z=a+bi состоит из двух компонентов и далее Если b=0, то z является вещественным числом. Вместо a+0i обычно пишут просто a.