Comments 6
Опус про ПЧМ в первую очередь должен отправляться на https://www.mersenneforum.org, автор там обычно аргументированно и оперативно получает за воротник и идёт думать дальше :)
1) A(n) = 2n²-1. Утверждается: A(A(n) + n) ⁝ A(n). Проверяем: 2*(2n² + n - 1)² - 1 = 8n⁴ + 8n³ - 6n² - 4n + 1 = (2n² - 1)*(4n² + 4n - 1) = (2n² - 1) * ((2n+1)² - 2)
2) Утверждается: A(k*A(n) + n) ⁝ A(n). Проверяем: 2*(2kn² + n - k)² - 1 = 8k²n⁴ + 8kn³ - (8k²-2)n² - 4kn + (2k² - 1) = (2n² - 1)((2kn+1)² - 2k²). Аналогично, A(k*A(n) - n) ⁝ A(n).
Все делители составных чисел ряда А(а), тоже определяют составные числа, делящиеся на данные делители. Например для не явного делителя 23 числа А(9) = 161 = 7*23, будут образовываться числа А(23–9) = А(14) = 391 = 27*23, А(23+23-9) = А(37) = 2737 = 7*17*23, аналогично А(23+9) = А(32) = 2047 = 23*89, которые делятся на 23.
Общий вид: A(kx ± y) = 2(kx)² ± 4kxy + 2y² - 1 = A(y) [mod x]. Соответственно, да, для любого x - делителя A(y), A(kx ± y) делится на x.
Для удобства обозначения делителей предлагаю ввести уровни, где делители начального (нулевого) уровня будут числами ряда А(а) — явные делители, то есть. А(а) = 7(2), 17(3). Делители начального уровня, в свою очередь образуют делители (скрытые) первого уровня А₁(s₁), где s₁ — идентификатор, в котором образуется делитель, А₁ — значение делителя, например А₁(s₁) = 41(12), 23(9). В свою очередь делители первого уровня образуют делители второго уровня А₂(s₂), где s₂ — идентификатор, в котором образуется делитель, А₂ — значение делителя, например А₂(s₂) = 89(32) и так далее
Для s₁ = k*A(n) + n, А₁(s₁) = (2kn+1)² - 2k². Обращаю внимание что А₁() - не функция: А₁(37) - то ли 391 (37 = 5*A(2) + 2), то ли 161 (37 = 2*A(3) + 3).
Теперь можно ввести математическое доказательство распределения простых и составных чисел в ряду А(а) = 2(а^2) — 1 с применением нового алгоритма (предлагаю назвать «решето Вдовина») выявления составных чисел с идентификатором sn+1 = kn*Аn ± sn, где n — уровень делителя, sn+1 — идентификатор составного числа образующийся от делителя n‑го уровня, sn — идентификатор в котором образуется делитель, Аn — делитель n‑го уровня, kn — количество повторов для каждого делителя (данные коэффициенты не связаны между уровнями, для каждого уровня и делителя они свои). По аналогии с решетом Эратосфена оставшиеся идентификаторы будут соответствовать простым числам.
Решето дырявое: скажем, в нём никогда не получатся s кратные 5, 11 или 19 (доказывается анализом вычетов (2kn+1)² - 2k² по соответствующему модулю). Соответственно, оно не сможет вынести суждения о простоте, скажем, числа 55. Общее семейство "невозможных" простых не очевидно.
Спасибо за развернутый комментарий, я внес изменения по обозначению делителей и идентификатора.
Возможно я слишком много применял формулу s = kА+s, но это часть формулы. s кратные 5, 11 или 19 получаются через формулу s = kА-а, например 5 = А(2)-2=7-2.
s кратные 5, 11 или 19 получаются через формулу s = kА-а, например 5 = А(2)-2=7-2.
Где доказательство того, что для всякого простого p, p является делителем либо ((2kn+1)² - 2k²) либо ((2kn-1)² - 2k²)? Оно не выглядит тривиальным.
(Вообще, плохо описано никак не описано собственно "решето" - я начинаю с 2, получаю два бесконечных ряда для s₁ - {23, 73, 147, ...}, {7, 41, 103, ...} - и что дальше?)
Спасибо за прекрасную идею, не задумывался, что делители обязательно будут простые и находиться через ((2kn+1)² - 2k²) либо ((2kn-1)² - 2k²) и через формулы делителей других уровней, надо обязательно обмозговать.
Совершено правы, что сжато описано решето, но я ставил задачу понять почему числа Мерсенна бывают простыми, а другие составные. Спасибо за комментарий, я обязательно распишу работу решето и его свойства.
Распределение чисел Мерсенна