Comments 26
например, бесконечность целых чисел больше, чем бесконечность чётных чисел
Сомневаюсь.
если считать историю с шарами и вазой истиной, то по аналогии, наоборот, бесконечность чётных чисел меньше, чем бесконечность целых. (ибо в вазу мы кладем всегда больше шаров, чем вынимаем, но в бесконечности они куда-то все делись)
История с шарами как раз говорит о том, что количество шаров, которые вы кладёте в вазу равно количеству шаров, которые вы оттуда вынимаете.
И чтоб два раза не писать: посчитать по порядку можно что все целые числа, что все чётные. Поэтому эти множества одинаковой мощности (алеф-ноль, если интересно).
Правильно сомневаетесь - мощность этих множеств одинаковая.
Они имеют одинаковый размер, но плотность у целых больше. Короче говоря зависит от критериям оценки.
В математике в бесконечных множествах не работают те же самы понятия "больше", "меньше" что и в конечных. Для бесконечных множеств рассматривается понятие биекции (взаимно однозначное отображение на) и если множества биективны, то они равномощны. Целые числа биективны четным числам, биективны нечетным числам. Целые числа биективны любому своему бесконечному подмножеству. Но нет биекции между действительными и целыми числами.
А давайте возьмем за точку отсчета не черепаху, а Ахиллеса. Вот он пробежал 10 м, а черепаха проползла метр. Вот снова 10 м и метр... Ясно, что Ахиллес догонит и обгонит черепаху.
Если взять за точку отсчёта Ахиллеса, то он будет неподвижен. А черепаха будет делать вид, что шагает вперёд, но фактически будет отодвигаться назад на 9 метров за каждый упомянутый вами промежуток времени.
С ахиллесом и черепахой нет никакого парадокса, вывод "ахиллес никогда не догонит черепаху" делают люди, которые не умеют складывать бесконечные ряды. Этот ряд сходится к числу, которое (вот ведь неожиданность) совпадает с временем из формулы вычитания скоростей.
О, жиза про страх бесконечности в детстве
Проблема "парадокса" с черепахой в подмене понятия "никогда". Ахиллес догонит черепаху в конкретный момент времени, а то что мы замедляем отсчёт времени (каждая итерация "он добежал до предыдущего местонахождения черепахи" короче предыдущей) это уже наша личная проблема, а не парадокс. Мы можем время вообще остановить и тоже сказать "никогда не догонит", к реальности эти игры отношения не имеют )
Парадокс существует при условии, что расстояние и время бесконечно делимы, в этом случае действительно Ахиллес никогда не догонит черепаху. Но они не делимы бесконечно, поэтому парадокса нет.
Расстояние и время -- сущности континуума. Они делимы безгранично. Но бесконечно большая сумма бесконечно малых даёт конечную величину. Вот тут и возникает типа парадокс.
Спасибо Ньютону и Лейбницу, что выдернули нас из этого ада.
Время имеет конечную делимую величину нише которого она смысла не имеет. Эта величина планковская. Тоже самое касается длины. Планковская длина это минимальное расстояние меньше которого не чего физического смысла не имеет.
Скорее в "оставим определение читателю", чем в "подмене". Поскольку существуют разные "естественные" определения, постольку есть пространство, куда можно впихнуть неразрешимый парадокс.
Пример. Вот есть гладкая выпуклая функция с единственным максимумом на данном интервале, пусть даже заданная аналитически. Вот есть некий "быстрый" алгоритм с экспоненциально сжимающими отображениями. Очевидное утверждение: алгоритм никогда не выдаст точное значение максимума. А почему? Ведь полная сумма приращений, как очевидно любому мало-мальски грамотному человеку, конечна.
Инженерный вариант той же задачи: стыковка без удара.
Конечно, всегда можно сказать, что в реальной жизни у нас всегда есть допуски, представление о точности и всякое такое. Но точно так же и парадокс Ахиллеса с черепахой рассыпается при введении представления о точности без всяких суммирований рядов.
И т.д.
Таким образом парадоксы Зенона оказываются любопытными конструкциями, над которыми поучительно поразмышлять. Разумеется, к тому же Ахиллесу с черепахой вольно относиться как "идиоты философы не знают сумму геометрической прогрессии", тут, что говорится, хозяин-барин.
ну, хотя бы видно, что не ИИ текст писал… и это не комплимент автору
Есть пустая ваза и бесконечный запас шаров с номерами 1, 2, 3, …
и в конце минуты в вазе будет 0 шаров!
Почему нельзя рассуждать следующим образом? Каждый раз мы добавляем в вазу по 9 шаров и делаем это бесконечное количество раз. Вывод (вполне согласующийся с интуицией): в конце минуты в чаше будет бесконечное количество шаров. Где ошибка?
ошибка в том, что не надо спорить с математиками, они утащат вас на свой уровень и там легко докажут, что вы бестолочь. <<Приходит Иван к Абраму просить в долг рубль, Абрам ему и говорит: ‘Хорошо, я дам тебе рубль, но ты должен что-то под залог оставить’ ‘Да нет у меня ничего, что оставить-то?’ ‘Да хотя бы топор’ ‘Ладно, бери’ ‘Слушай’-говорит Абрам-‘мне ведь невыгодно тебе просто так рубль давать, давай, ты мне через год два рубля отдашь?’ ‘Хорошо’-отвечает Иван. Взял он рубль, собирается уходить. Абрам его останавливает:‘Да, но ведь тебе сложно будет через год мне два рубля отдавать, ты мне сейчас рубль сразу отдай, тогда через год тебе будет легче’ И правда, подумал Иван и отдал обратно рубль Абраму. Выходит он от Абрама и думает:'Интересно, топора нет, рубля нет и еще рубль остался должен, и вроде все правильно!!!>>
Задача Ахилеса и прочие имеет вполне нормальное физическое решение. Время невозможно делить бесконечно и расстояние тоже. Есть физический предел называемый планковский ниже которого смысла времени и длинны нет. Так что как только Ахиллес достигнет этого предела он догонит черепаху. Кстати он достигнет по длине а не по времени. То есть в определенный момент они будут на физически одинаковом расстоянии даже если математически оно разное. С вазой тоже самое количество шариков будет огромно но конечно. Не процесса который может произойти быстрее планковский величины и рассуждать об этом бессмысленно.
Если вы плохо понимаете бесконечности — добро пожаловать в сингулярность