Comments 63
Как подметил ультраинфинитист Дойч, ультрафинитисты официально отвергают закон исключённого третьего. В принципе, это всё, что нужно знать об ультрафинитизме.
Ну вообще верно. Если ничто не бесконечно, то некоторые высказывания просто невозможно проверить, и они закономерно считаются неизвестными.
Я думаю, что глупо отвергать бесконечность, она даёт очень хорошие модели, которые работают во многих сферах.
Но при этом, я думаю, что математика без бесконечности в конечном итоге должна быть изучена. Хотя эта модель и более сложна.
Скорее всего в небесконечной математике будет какое-то понятие типа, которое определяет множество допустимых значений. Условно если там гранулярность пространства действительно равна планковской длине, сверху тоже будет действительно ограничено, то расстояние будет иметь конечное множество значений.
Для него можно будет использовать классическую математику, и она будет работать с небольшой погрешностью, но будет и своя математика, где деление планковской длины на что-то не будет определено (как и деление на ноль). Очень интересно, как такое может работать. Возможно, как раз, поэтому закон исключённого третьего и отвергается. Ибо будет при попытке поделить планковскую длину какой-нибудь NaN, говорящий, что результат неопределён. Хотя может будет 0, не знаю.
Вообще кстати для меня странно, что NaN нет в действительных числах в существующей теории, вместо этого математики приходят к ошибкам. Ведь логично иметь NaN, любое действие над которым тоже равно NaN.
Хотя может быть занятная альтернатива вида NaN с памятью, которая содержит историю предыдущих действийи позволяет обращать NaN в результат обратным действием. Правда не совсем понятно, как быть с 1 / 0 * 0 против 1 * 0 / 0, тогда каждое число должно быть с памятью.
Короче не знаю, есть ли у этого реально практический результат, но думать об этом достаточно интересно.
Вообще кстати для меня странно, что NaN нет в действительных числах в существующей теории
NaN это "Not a Number", что может быть странного в том, что "не число" не входит в множество действительных чисел?
Бесконечность тоже не число, но этой не мешает ей быть использованной. Но в целом сослался на NaN как на концепт, в том же SQL практически так же работает NULL.
так она и не входит в множества, в частности, действительных чисел.
Бесконечность измеряется в контексте пределов, мощности множеств - не в прямом смысле "вот мы и дошли до бесконечности", а в ассимптотическом стремлении к ней
Я и не утверждал, что входит. Моя изначальная формулировка не совсем точна была, я имел ввиду, что для меня странно, что по итогу базовой для нас является именно работа с множеством действительных чисел, а не с колесом. Точнее я бы сказал с колесом без бесконечности.
Я, к сожалению, недостаточно хорошо в математике, чтобы безошибочно оперировать терминами, но надеюсь теперь моя мысль понятна.
Математикам просто не нужно возиться с парсингом кривых данных, вот они и живут в своем идеальном мире. Нам бы их проблемы с делением на ноль
закон исключённого третьего
Оппонент в майке - гавайке: моя майка белая или чёрная? Допустим только один ответ.
Ты такой: ну, она больше похожа на белую чем на чёрную. Белая!
Оппонент: вот идиот!
Скрытый текст
Правильный вопрос: "белая или не белая?"
Ну всякие 0.99... = 1 реально похожи на шарлатанство, если ты никогда не сможешь сделать эти бесконечные операции в доказательстве
Тут даже бесконечности нет, это просто 9/9. Стыдно должно быть такие утверждения делать.
Ну почему, в форме записи бесконечность же есть, а именно бесконечное количество девяток. В небесконечной математике результат 1/9 * 9 по идее не будет равен 1, т.к. единиц в 1/9 и после умножения - девяток, будет конечное число.
Это из той же серии, что и парадоксы «наименьшее число, требующее для описания не менее десяти слов». Кстати, число Скьюза, про которое речь в статье, тоже оттуда же. Фишка в том, что разные способы записи числа вычислительно неэквивалентны. (В парадоксе Берри они вообще неявно тянут грамматику). Когда я первый раз об этом подумал, мне показалось, что один из способов (циферный) имеет приоритет. Как же, как же: такая очевидность, что тянет на «готовый ответ», в то время как словесная формулировка или π(n) < Li(n) похожи на «имплементацию функции».
Но потом я вспомнил, что пишет тот же Дойч: что вычислимое и невычислимое в математике определяется законами физики, потому что вычисление — физический поцесс. Для нас записать это число возможно порождающей функцией (т.е., как 0.9(9)), причём она выглядит «очень просто» и «очевидно». В другой Вселенной с другими законами вы бы так не смогли, зато смогли бы «просто» перечислить цифры. Поэтому сейчас я думаю, что разные способы записи числа не только вычислительно неэквивалентны, но и математически (не физически) равноправны!
Та же 1/3 в 60-ричной системе исчисления - конечная дробь - 0,[20] . А 1/9 - в 360-ричной - 0,[40]. Но при этом в 60-ричной 1 = 0,[59] [59][59][59][59]…, в 360-ричной 1 = 0,[359][359][359][359]…
Т.е. тут дело не в физике и законах вселенной, а в “баге” математической записи. 0,(9) - это как бы запись немножечко “из другой оперы”, с привлечением “допольнительного” неявного пласта аксиом и предположений. Если у вас с этим проблемы пишите “неоконченные операции”: 1/9 и всё - никаких бесконечностей! Долой глючную позиционную запись! :)
В математике так сполошь и рядом происходит - никто не разбирает математические высказывания до базовых аксиом и не сверяет их прямым сравнеием на совместимость или на нерасширение (ибо сильно муторно и не понятно зачем). Поэтому зачастую получется очередное “доказательство что 2х2=5”, которое коллеги-математики с ехидной улыбкой превосходства разносят в следующей статье: “при переходе от формулы 3.5. к формуле 13.15 у вас закралась ошибка”.
Я согласен с багом нотации.
Но ведь есть ещё иррациональные числа, которые всё равно требуют бесконечное количество знаков в любой системе счисления не кратной им.
В какой-то конечной математике они обязаны будут исчезнуть.
Мне ещё интересно, возможна ли ситуация, где иррациональное число в какой-то другой иррациональной позиционной системе счисления получает периодическую запись.
А в конечной математике периодическая запись будет подразумевать конечное количество повторений. Но скорее всего в общем случае такую запись нельзя будет использовать, потому что периодическим может быть хвост, который не кратен по длине максимальной длине дробной части.
Может конечная математика действительно убирает многие баги?)
Всякие 1/3 удобно, конечно, но не вычисляемо. Те же трюки с 9x = 9.99.. - 0.99...
Можно подождать пока вычтите, умножите или разделите что-то. А так авансом числа равны, которые не равны.
То что ваш ПК не может отобразить это число в его десятичной записи, не означает что оно не вычисляемо.
То, что вы не можете записать его в десятичной системе исчисления в виде числа с конечным числом знаков, не означает, что 1/3 не вычислемо. Потому что в 12-ричной системе счисления:
1/3 = 0.4
Вот вам и конечная запись и никаких бесконечностей
Всякие 1/3 удобно, конечно, но не вычисляемо.
Точнее, нет способа перевести это в число в десятичной системе счисления или число в двоичной системе счисления без потери точности (применяемой на современных компьютерах).
Но для выполнения вычислений не обязательно выполнять такой перевод. Да, это удобно с учетом текущей конфигурации процессоров, но это не единственный способ вычислений. Вполне рабочая идея - оставить запись чисел как дробь двух целых чисел или дробь множителей числителя и множителей знаменателя. Есть реализации такого способа исчисления (гуглить вычисления без потери точности), включая матричные вычисления. Когда углубляешься в тему, идея отказа от бесконечности начинает казаться не только вполне здравой, но и чрезвычайно полезной. Ведь такая теория, будучи разработанной, решила бы проблему учета ограниченности существующих вычислителей в современных компьютерах (забудем про квантовые вычисления).
Ведь любые способы вычислений имеют как ограничения сверху, так и ограничения "снизу" (т.е. в минимальном кванте числа). Это касается как "традиционных" способов представления числа (int.MaxValue, double.MaxValue, double.Epsilon и т.д.), так и систем без потери точности (только тут ограничения связаны с объемом доступной памяти и временем, доступным на вычисления).
вы сейчас прям олицетворяете парадокс "ахиллес и черепаха". Когда сами себе создали проблему (в виде бесконечного приближения к числу) на ровном месте.
Пусть у нас есть цепь вложений 
. Какому наименьшему множеству принадлежит 0.99..? А теперь тот же вопрос, но на множестве действительных чисел введена дискретная топология.
Реальные физические системы зачастую проще всего понять моделируя их как бесконечные, а конечность, если нужно, рассматривать как поправку. Нвпример, в конечных системах не бывает фазовых переходов.
Их проще смоделировать понятным образом, используя бесконечность, я бы так сказал. Но мы на самом деле пока не знаем насколько велика погрешность измерений, если мир небесконечен.
Но при этом скорость считается конечной в этом мире и это уже проявило себя в физике. Возможно, если найти область определения у каждой из величин, по итогу можно будет получить более точные уравнения.
И очень любопытно, что в квантовой механике в таком случае изменится.
кажется, в квантовой физике как раз с этой проблемой столкнулись
Цейлбергер прав в одном - бесконечность мы нигде реально не наблюдаем. но есть вопрос - где именно проходит граница "достаточно большого числа"? гугол - ещё число или уже нет? а число Грэма, Райо или TREE(3)? пока не ответили - это не математика, а философия
Да мы и конечность реально не наблюдаем. Это все разной степени абстракции сознания. Важны из них те, которые систематически работают.
Очевидно зависит от задачи. Есть задачи (например в теорвере), где и 1 - “очень большое число”
а еще мы не наблюдаем комплексные числа, отрицательные числа, ноль...
А если речь о землекопах - то и дроби только в травмпункте наблюдать можно.
Математика не эквивалентна реальности. Математика это фреймворк для описания реальности - словами из букв. Она позволяет сгенерировать столько разных слов, сколько вам необходимо. Ну а поскольку мы не знаем какое именно количество слов необходимо чтобы описать все разнообразие реального мира, то правила позволяют генерировать их бесконечно. Конечная математика будет таким же генератором, просто с ограничением. Только как заранее понять, где этот предел?
Статья про математику без единой формулы - все что вам нужно знать об этом тексте
Ещё можно отказаться от отрицательных целых чисел, они же ведь не натуральные! Не существует ведь минус пять яблок. Их никто никогда не видел.
градусники придется менять. лучше не надо.
Давайте тогда и от мнимых чисел откажемся, раз никто квадратный корень из минус яблока в руках не держал. Электрикам только не говорите, а то расстроятся)
Более интересно было бы отказатся от актуальной бесконечности.
Смешались в кучу кони, люди…
Математика без «назови термин» вполне может быть. Сиди, конструируй, выводи разное . Как и с «придумай конструкцию».
подойдет ли такая математика до чего то практического - вопрос открытый. Как гласит байка - логарифмы были игрой ума, пока на них не наткнулись астрономы.
Эти математики даже не могут додуматься до простой мысли - что им не хватает понятия степени существования числа. В обычной математике отрезок можно делить бесконечно на всё более мелкие бесконечно малые части. В физической реальности делить отрезок можно только до планковских единиц длины, причём граница не резкая, а постепенная: при уменьшении расстояния постепенно становится всё больше хаоса. Это значит вот что. Человек привык обращаться с понятием существования как с бинарным понятием: нечто либо существует, либо не существует. Нужно переопределить это понятие, чтобы между существованием и несуществованием был плавный непрерывный градиент значений. Тогда эти математики смогут делить отрезок так, чтобы его деление продолжалось только до квантовых пределов, а не до бесконечности, поскольку с уменьшением длины отрезка степень его существования будет уменьшаться. Единственно, нужен будет математический гений, который додумается, как сформулировать математические правила операций с числами с учётом степени их существования. Только таким образом этим математикам, возможно, удастся построить оригинальный вариант математики без бесконечностей, а заодно и более точно соответствующий физической квантовой реальности.
В физической реальности делить отрезок
В физической реальности не бывает отрезков. Отрезок - математическая абстракция.
Особого гения тут не нужно. Возмите числа с дополнением (по типу комплексных). Т.е. пару (a, qb), где q - это полное существование. Ну и определите арифметику (можно почти как у комплексных: числа это a+qb и q*q=q).
Ну или, как используют в специализированных вычислениях, тип данных: число и точность в сигмах, с довольно сложной арифметикой.
У меня схожие мысли, можно с вами связаться ? Хочу пообщаться на эту тему.
Споткнулись на философских основах математики. Так же как есть две реальности: 1) физическая, внешняя, объективная, и 2) ментальная, субъективная (наш внутренний мир), соответственно, есть 1) математика как основа физического мира, его математические законы, и 2) математика как продукт нашего мышления, включающая и то, что не может реализоваться в нашем физическом мире. Так же как физический мир нашей Вселенной является лишь одной из реализаций возможных миров, соответственно и предлагаемая ультрафинитистами концепция является лишь одним из вариантов возможных видов математической реальности, к которой имеет доступ наше мышление.
Такое ограничение может принести большую пользу физике (в реальном мире бесконечности невозможны), но остановить прогресс в математике.
Удобная позиция у этих ребят - если число не влазит в десятичную запись, значит это не число
Давайте тогда баги, которые не можем воспроизвести локально, тоже считать несуществующими))0
Почему-то вспомнился покойный Курёхин, и его "Лекция о хроме": "вот здесь у нас получается бесконечность. Но если мы вместо бесконечности подставим семёрку..."
Числа используются для счета. Счет требует времени. Бесконечный счет требует бесконечного времени. Что если счет ограничить конечными временными рамками, например 1с. В качестве числа возьмем количество циклов некоторого периодического процесса. Т.е. один цикл в секунду - это аналог единицы, а два цикла - это два. Можно представить себе гармонический процесс определенной частоты в Герцах, который будет заменять собой аналогичное число. Нулем будет служить константа - колебание нулевой частоты. Физическая реализация потребует определенных затрат энергии - чем больше число, тем больше энерги требуется. Лимит наличной энергии определит самое большое исчислимое число в таком калькуляторе. Операция сложения здесь будет обратимой - из суммы всегда можно выделить слагаемые.
ну пусть смоделируют бесконечность на компьютере тогда и поверим что она существует...
про сверхбольшие числа это другое, там реально есть какая-то комбинаторика где это имеет смысл. а все эти клиторосплетения типа "можно прибавить единицу а потом ещё единицу и так до бесконечности" это всё ерунда - если бы бесконечность существовала не нужно было бы говорить "и так до бесконечности" - просто повторяй "прибавить единицу" пока не умрёшь от бесконечной жизни... что-то не очень получается. так что не надо придумывать всякую чушь, умножая бесконечности друг на друга и возводя их в бесконечность бесконечное количество раз. когда получат бесконечную энергию для вычислений и создадут бесконечную память вот тогда и поговорим. а пока нужно положить конец этой бесконечности
В компьютере можно записать число которое никак не получить прибавлением единицы к нулю за обозримое время. число Скьюза ~ 10^370 это всего ~1230 bits . Однако мы реально используем числа , которые значительно больше 1000 бит, например для шифрования
а некоторые еще и запрещены
https://ru.wikipedia.org/wiki/Незаконное_простое_число
Что мы можем получить, отказавшись от бесконечности?