Comments 43
А мне они внезапно пригодились, когда решил себе сделать лицензию пилота. На экзамене по навигации.
Ну я собаку теперь то псинусом, то пёсинусом зову, самое частое применение.
По-моему, atan() и atan2() тоже очень часто используются.
В реальности только им и пользуются, потому что это единственный способ вытащить из комплексных коорлинат угол, все остальное это локальная проекция комплексной жизни на числовой ряд. Автор либо сам не ясно понимает предмет либо это очередная статья ради статьи. При реальных пересчетах пользуются матрицами либо кватернионами. Тригонгметрия это область древнегреческой науки возникшая до осознания комплексной плоскости. В школе нам просто мозг засрали этими синусами, многие даже не понимают откуда берутся их значения и как они вычисляются...
Тут есть тонкость. Комплексные числа, матрицы поворота и кватернионы не заменяют тригонометрию — они на ней стоят.
e^(iθ) = cos θ + i·sin θ — формула Эйлера. Комплексная экспонента это и есть косинус плюс i·синус; «угол» комплексного числа существует ровно потому, что его координаты — (cos θ, sin θ). Поэтому atan2 угол и достаёт — он разбирает обратно ту самую пару синус/косинус (так что @iliasam прав, atan2 в ходу постоянно).
Матрица поворота — [cos θ, −sin θ; sin θ, cos θ]. Кватернион — cos(θ/2) плюс sin(θ/2) вдоль оси вращения. Куда ни ткни в «современный» аппарат, внутри синус с косинусом.
«Считают матрицами и кватернионами, а не тригонометрией» — это как «ездят на машинах, а не на колёсах». Синус никуда не делся, он просто упакован в e^(iθ). Статья ровно про то, что эта упаковка повсюду, — а не про то, что надо руками набирать sin(x).
Кстати, как раз об этом будет вторая статья серии — там есть отдельная дверь «Поворот»: матрица поворота, комплексное умножение и кватернионы, разобранные именно как повороты на синусах. Так что сможем там продолжить разговор предметно.
Ну попробуйте перенести облако точек из одной локальной системы коорлинат в другую заданную 6д позой - синусами и косинусами, потом нам расскажете. А потом еще попроьуйте это облако при переносе масштабировать...
По поводу синусов косинусов - они получились сами поскольку явная жизнь мира чисел за пределами R должна была как то проявляться на числовой оси, но это исключительно абстракция, ее можно нахрен выкинуть и ничего не изменится в мире математики. То что вы тут натягиваете сову на глобус это проекция школьного образования на массы. Попросите кого нибудь вычислить тот же синус какого то произволтного угла типа 37.857 и опа вас ждет фиаско потому что это ряд тейлора и вы всегда будете его брать с погрешностью. В реальнои мире это неприменимо. Люди просто никогда не думают об этом. Итд...
Очень даже нужен в жизни, теорию следящих систем читаю и там без синусов никуда. А и в жизни - всякие полезные поделки для дома, гаража. Врезать трубу в разрез другой трубы - и тут синусы.
О! Тут есть мне что сказать - буквально на днях эту тему подробно разбирал для себя...
Для начала - синус это не про углы. Это про отношение двух величин (даже не длин). Потому что как только мы переходим от треугольников к единичной окружности в декартовых координатах - вся геометрия выкидывает BSOD.
Дальше - не смотря на расписывание в статье постоянного взаимодействия с функцией синуса в быту, саму синусоиду построить очень непросто! В отличие от окружности или даже конических сечений. Потому что для этого нужно два независимых движения (равномерное линейное и равномерное круговое). Пара относительно "простых" способов - разрезать под углом лист бумаги свёрнутый в цилиндр или же через спирограф - как гипоциклоиду с отношением 1:2 (вырождающуюся в диаметр, при другом соотношении все равно будут получаться гармонические функции, но уже с добавлением соответствующих гармоник) с равномерным протягиванием листа бумаги под ней...
Ну и напоследок про тангенс - дорожный знаки "Крутой подъём" и "Крутой спуск" почему-то определяют углы этих наклонов в процентах, т.е. тангенс соответствующего угла * 100. Непонятно для кого это сделано? Для плотников? Дорожных рабочих? Железнодорожников? Это даёт даже слабое интуитивное представление о темпе набора высоты - поскольку тут не высота/расстояние (т.е. как раз синус), а высота/проекция пути на горизонталь. И совсем мало что говорит непосредственно об углах и крутизне... Потому что, например, угол в "100%" - это 45°, а угол в 90° - вообще улетает в бесконечность...
Насчёт дорожных знаков слышал такое обьяснение: число на знаке легко воспринимается, как рост или падение высоты на следующих 100 метрах. Это легче быстро осознать, чем если бы,например, указывали угол наклона.
Соответственно , успеваешь тормозить или перевести передачу
Ну я же специально сделал несколько ремарок по этому поводу!
Во-первых, не "на следующих 100 метрах", а на "стометровой проекции пути на горизонталь"!
Во-вторых, что именно "легче быстро осознать"? Приращение высоты? И как оно в голове коррелирует с углом наклона в градусах, которыми нас приучили оперировать со школы? Какую информацию это знание вообще вам даёт? Вы же не пилот самолёта))
А вот угол в градусах сразу даёт некоторое интуитивное представление - например, 30° - это критичный угол подъёма для большинства двигателей, а что такое "58%" - это много или мало? На первый взгляд - угол просто запредельный...
Соответственно , успеваешь тормозить или перевести передачу
А с градусами типа не успеешь?))
а вы спросите дальнобойщиков - думают ли они о проекциях на горизонталь?
или им проще понять, что от знака (если без доп. таблички) и следующие 100 метров ему предстоит ехать вверх/вниз на N метров?
Вам, может, в градусах понятней, а в ПДД написано по другому.
вот, кстати, пример - перевал Кату-Ярык - сколько знаков с градусами (вместо одного с процентами)там надо будет поставить и насколько информативными они будут?
сколько знаков с градусами (вместо одного с процентами)там надо будет поставить и насколько информативными они будут?
Два знака, сверху для спускающихся и снизу для поднимающихся, с максимальным углом, какой есть в этом комплексе. Проставлять угол каждого участка нет никакого практического смысла.
И да, в градусах они были бы намного информативнее, т.к. градусы знакомы и понятны ВСЕМ, кто учился в школе, а "проценты" -- только геодезистам и водителям с большим опытом езды по горам.
У меня четверть века водстажа, но вот кто-то меня спросит, на что похож уклон, к примеру, "22%" -- а я понятия не имею, я за все эти годы уклон дороги, обозначенный знаком, видел всего один раз, и то я тогда пешком был. Мне придётся потратить пару секунд на вычисление в уме (у меня получилось "чуть-чуть меньше 10°"), а потом я для верности достану калькулятор, и скажу, что это 9.9°. Вот что такое десять градусов, я отлично представляю -- это 160 тысячных, или полторы минуты по часовому циферблату.
я вожу чуть дольше, но не будем мерятся стажем, это субъективно и не в этом дело. Дело в том, что указание градусов - это только угол. Указание процентов - это ещё и протяжённость действия., что полезнее.
На том же примере Кату-Ярыка: там средний уклон 10 градусов (вроде ничего страшного, да?), в процентах 18% (уже круто). А общий перепад высот 800 метров на длине 3,5 км. И легковушки без полного привода там запросто сжигают тормоза на спуске и жарят сцепление на подъёме.
Конечно, это экстремально, и есть не такие критичные углы, например,а трассе М5 в Уральских горах зимой. Но там при 12% такие "тягунки", что я за фурами держался подальше, бывало - шлифовали и смещались от оси, было не смешно.
Да. Едешь сверху, навстречу фура, тягач скользит, прицеп разворачивает, Тормозить не успеть - скользко. Лучше сверху переждать, пока заедет, безопаснее.
Указание процентов - это ещё и протяжённость действия
Если под знаком нет таблички с размерностью в метрах-километрах, то хоть в процентах, хоть в градусах, хоть в радианах, этот знак АБСОЛЮТНО НИЧЕГО не говорит о протяжённости. И наоборот: если табличка с указанием протяжённости есть, то нет никакой разницы, в каких единицах указан угол, хоть в в градах, хоть в румбах.
средний уклон 10 градусов (вроде ничего страшного, да?), в процентах 18% (уже круто)
Вот-вот. всего 10 градусов, а на знаке непонятные и стрёмные 18%, которые НИЧЕГО НЕ ЗНАЧАТ для среднего человека, не привыкшего к такому способу измерения. Кстати, в комментарии выше я неправильно посчитал, 22% -- это 12.4°, а не 9.9.
И легковушки без полного привода там запросто сжигают тормоза на спуске и жарят сцепление на подъёме
Неквалифицированный пользователь способен угробить любую технику, особенно в непривычных ему условиях. Исправное сцепление сжечь можно только сдуру, и никак иначе. Без некомпетентных действий водителя оно ну вообще никак не может сгореть. Да и тормоза сжечь на уклоне в десять градусов можно только по дурости, этому ж в любой автошколе учат, что нельзя использовать тормоз для поддержания скорости спуска, надо двигателем тормозить. Видишь, что машина разгоняется с отпущенной педалью газа -- притормаживаешь, выжимаешь сцепление, переключаешь передачу на одну вниз, отпускаешь сначала сцепление, потом тормоз. Конечно, для реальных гор всё сложнее, но 10° -- это не гора, на таком уклоне так делать можно.
При чём тут полный привод -- вообще не понял.
Если под знаком нет таблички с размерностью в метрах-километрах, то хоть в процентах, хоть в градусах, хоть в радианах, этот знак АБСОЛЮТНО НИЧЕГО не говорит о протяжённости. И наоборот: если табличка с указанием протяжённости есть, то нет никакой разницы, в каких единицах указан угол, хоть в в градах, хоть в румбах.
табличка под знаком сообщает, через сколько метров начнётся подъём/спуск. Цифра в % говорит о перепаде высоты на СЛЕДУЮЩИХ 100 МЕТРАХ, после начала действия знака.
ПДД написаны для водителей, не для каждого среднего человека.
В остальном, я вижу, вы убеждены в своём понимании. Дело ваше..
а вы спросите дальнобойщиков - думают ли они о проекциях на горизонталь?
Не понял этого аргумента. Т.е. даже дальнобойщики неправильно трактуют такую нотацию?
Вам, может, в градусах понятней, а в ПДД написано по другому.
Я в курсе как написано в ПДД - я потому и привёл это пример. И да, в ПДД много всякой дичи написано ;)
вот, кстати, пример - перевал Кату-Ярык - сколько знаков с градусами (вместо одного с процентами)там надо будет поставить и насколько информативными они будут?
Горный серпантин - идеальный контрпример)) А теперь подумайте - насколько ваш путь в 100 метров по такому серпантину будет отличаться от подразумеваемой знаком проекции на горизонталь?
Отклонение от горизонтали легче мерять. Метр по уровню - и зазор на конце в сантиметрах. Вот и проценты. Наклон канализационной трубы - тоже в процентах - удобнее пользоваться простым инструментом.
Мне кажется - нет никакой разницы для водителя, в процентах указывать наклон или в градусах. Главное - чтобы единообразно по всей стране было. И тогда водитель будет знать, что уклон восемь чего-то его машина проезжает без напряга, а если двенадцать чего-то - то надо переключиться на пониженную. А градусы это, проценты или ещё что - ему глубоко фиолетово.
Точно так же как например мы видим в прогнозе погоды скорость ветра в м/с - и знаем, что вот столько-то означает слабый ветер, а вот столько-то - сильный. А скорость машин или велосипедом измеряем в километрах в час. А бегуны вообще меряют не скорость, а темп - в минутах на километр. И это всё спокойно уживается в одной голове.
Мне кажется - нет никакой разницы для водителя, в процентах указывать наклон или в градусах.
Есть. Так-то и высоты можно в футах измерять, и длины в ярдах...
Точно так же как например мы видим в прогнозе погоды скорость ветра в м/с - и знаем, что вот столько-то означает слабый ветер, а вот столько-то - сильный.
Я лично без понятия - я по шкале Бофорта ориентироваться приучен.
Ну и "метры в секунду" легко переводятся в "километры в час" умножением на 3.6.
Редкая машина сможет подняться под углом 45°.
В детстве я писал 3D-движок, и мечтал, как разбогатею и найму свою математичку, чтобы она мне помогала с синусами.
Не осуждайте. У многих подростков есть фантазии про математичку.
Не делайте из Синуса культ ! Учение о Соотношение в углов-сторон в треугольнике просто не могли не появиться с началом строительства зданий-заборов-мостов. Счас скажем , что фон Нейман изобрёл ИИ .. от него ж всё началось
проекция вращающейся стрелки на ось — и есть синусоида
Но и стрелка — это тоже проекция. Мне больше 3D интерпретация нравится, где синус — это проекция спирали на плоскость.
3D Sine Helix
Боксёр уводит корпус не чтобы «погасить силу» — силу нельзя погасить.
Силу нельзя, а импульс силы -- можно.
Если вы ударите с одинаковой силой по неподвижному массивному предмету, или по удаляющемуся от вас с некоторой скоростью -- сила и энергия будут те же, а вот импульс силы во втором случае будет намного меньше, так что и повреждения, которые вы нанесёте этому предмету, тоже будут многократно меньшими.
«набирал ли ты когда-нибудь s-i-n на клавиатуре за деньги»
Набирал. И sin, и cos, и ln, и lg, и log и все остальное. И не один раз.
На ютубе клёвский видосик есть на эту тему )) https://youtu.be/B1J6Ou4q8vE
Интересно, а какая тригонометрическая функция самая не нужная?
Мой фаворит - гаверсинус - hav(x)
Кто-нибудь старые навигационные номограммы еще помнит?
Ну тогда уж всю статью в Википедии приводите, со всем набором этих "функций". В кавычках, потому что все они представляют собой не более чем синтаксический сахар для простейших выражений с основными функциями, который удобно использовать в определенных, очень специфических областях, где эти выражения встречаются чаще всего.
Номограммы я еще застал, и они не только в навигации используются, но и еще в огромной куче областей, и на самом деле это очень удобная штука, которая просто ныне ушла в прошлое в своем бумажном виде с засильем электроники, вместе с логарифмическими линейками (которые по сути и являются воплощением номограмм), курвиметрами и подобными вещами. Например, подвижная карта звездного неба (такой диск с проекцией полусферы на плоскость и подвижным "горизонтом" поверх него) тоже имеет разметку лимба, которая используется по принципу номограммы. Но в электронном виде оно все еще встречается и используется для быстрого графического отображения состояния разных систем, когда визуально увидеть точку пересечения линий на двумерном холсте - быстрее и понятнее для восприятия, чем набор чисел. Если уж пытаться чувствовать себя старым, вопрос должен быть другим: кто еще помнит таблицы Брадиса и пользовался ими?)
Таблицы Брадиса и сейчас живее всех живых, только называются lookup tables :) В исходниках Doom, я читал, есть функция, быстро считающая синус или его производную функцию - по таблице заранее вычисленных значений (плюс интерполяция между соседями)
А сами таблицы я еще помню - у нас дома валялась старая рассыпающаяся книжка; послевоенное издание, Машгиз, кажется. Отец пользовался, я уже нет. Я из поколения пользователей калькуляторов :)
Ну вот про реактивную энергию в сети немного поверхностно. Там ближе аналогия с попыткой тянуть тележку переменным усилием, привязанную резинкой - сперва мы тянем, тележка не едет, а тягач уже поехал, потом тележка разгоняется от резинки и перегоняет тягач. И вот это "лишнее" растягивание - сжатие пружины и есть реактивная энергия, которая просто туда сюда по проводам таскается из-за индуктивности нагрузки, греет провода, но не совершает работу.
Школьная тригонометрия вполне применима в быту.
Делал крышу сарая, нужно было узнать угол наклона, от него зависит необходимый нахлест листового материала.
Ну и пригодились тебе твои синусы?