donequixote Jul 13 at 11:04

# Комбинаторная синестезия: аккорды и цвета как арифметика делителей на икосаэдре

Easy

7 min

7.7K

Mathematics *

Case

Comments 4

wataru Jul 14 at 19:23

Поменьше общайтесь с нейросетками. Они подхалимы и будут хвалить даже полный бред.

Картинки разноцветные и красивые, смысла вообще ноль.

donequixote Jul 14 at 19:50

не очень аргументировано, если не затруднит, поястните, пожалуйста

wataru Jul 15 at 09:22

Проблема в том, что генерировать бред на порядки проще, чем его опровергать, но я попробую.
Вот взяли вы 12 каких-то чисел. Вы могли бы точно так же написать числа от 1 до 12.

Вы потом долго расписываете как этот круг можно разбить на 2, 3, 4 и 6 кусков. Ну... да? Это потому что 12 делится на 2,3,4 и 6. При чем тут ваша модель разделения?

Свойства музыкальной шкалы и цветового круга никак не связаны с вашими числами, или вашими икосаэдрами, а их специально так составляли. Возьмем музыкальную шкалу. Соседние ноты отличаются по частоте в одинаковое количество раз (q= $\sqrt[12]{2}$ ). Поэтому, если их брать через одну, через 2 и т.д., то получим ноты, опять же отличающиеся в одинаковое количество раз по частоте, что создает гармонию и красивое звучание. Поэтому именно такие через 1,2 и т.д. ноты и образуют аккорды. Никак с вашими числами это не связано.

Эти совпадения никак не следуют из вашей "модели", не несут какого-то особого смысла и не открвают никакую глубокую философскую истину.

Арифметическое выражение этого факта: произведение двух соседних делителей числа даёт делитель промежуточной вершины

Вот тут вы попытались как-то свою нумерологию привезать к математике... Но запутались.

У вас каждая промежуточная вершина по определению произведение двух соседних. Поэтому произведение двух соседних даст промежуточную вершиную. При чем тут ее делитель? Ну да, вы так постулировали, выписывать это как какое-то откровение - просто разувание материала для придания ему внушительного вида.

То, что все числа делители 900... Н у так вы 900 так и нашли, видимо. У любого набра чисел можно найти наименьший общий делитель. Он всегда есть.

Точно такие же "интересные" факты вы бы нашли, если бы изначально запихали числа в круг в порядке 2, 6, 3, 15, 5, 10.

Связь с икосаэдром и тетраэдром натянута. Вот у вас там в икосадре изумрудный (3^2*5) соседствует с 3, 5 и 3*5. Почему 3 получилась в квадрате, а 5 - нет? Вон, какие-то конкретные грани октаэдра дают "интересные" тройки, но тетраэдр симметричен, а остальные грани ничего интересного не дают. Хотя, если порыться, можно придумать что-то инетерсное о любом объекте, делая все ваши наблюдения субъективным поиском скрытого смысла и раздуванием значимости на пустом месте.

Вообще, вся ваша статья - это удивление каким-то симметриям цикличиской группы $\mathbb{Z}_{12}$ и поиск каких-то совпадений.

Геометрия аккордов и гармоний одна и та же; различается лишь среда — музыка разворачивается во времени, цвет — в пространстве. Общий закон: чем симметричнее фигура, тем меньше у неё привязки (якоря)

Псевдофилосовский бред. Да симметрии красивы и чем более сложная группа симметрии, тем большими способами ее можно вращать, тем больше всяких псевдоглубоких наблюдений о ней можно сделать.

donequixote Jul 15 at 18:56

Спасибо за развернутый комментарий. Но все-таки позволю себе с вами не согласиться по пунктам:

«Вот взяли вы 12 каких-то чисел. Вы могли бы точно так же написать числа от 1 до 12. Вы потом долго расписываете как этот круг можно разбить на 2, 3, 4 и 6 кусков. Ну… да? Это потому что 12 делится на 2,3,4 и 6. При чем тут ваша модель разделения?»
«Вообще, вся ваша статья - это удивление каким-то симметриям циклической группы $\mathbb{Z}_{12}$ и поиск каких-то совпадений.»

Сама по себе $\mathbb{Z}_{12}$ и её подгруппы/циклы ( $\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_4, \mathbb{Z}_6$ ) — да, свойство любых 12 точек на круге, тут ничего нетривиального нет. Утверждение статьи не в этом, а в том, что конкретная арифметическая разметка (делители 900 на базе делителей 30) воспроизводит то же разбиение (не абстрактное существование подгрупп, а конкретные группы точек), что независимо возникло в музыке и в цвете:

6 диаметральных пар (тритоны / $\mathbb{Z}_2$ ): Включают 3 первичные пары ( $2 \leftrightarrow 15(3*5)$ , $3 \leftrightarrow 10(2*5)$ , $5 \leftrightarrow 6(2*3)$ , где произведение равно 30) и 3 промежуточные пары ( $12(3*2^2) \leftrightarrow 75(3*5^2)$ , $18(2*3^2) \leftrightarrow 50(2*5^2)$ , $45(5*3^2) \leftrightarrow 20(5*2^2)$ , где произведение равно 900). Все они выражают операцию инволюции $\kappa$ (дополнения) в виде переворота всех трех осей в экспонентах.
4 группы по 3 вершины (увеличенные трезвучия / $\mathbb{Z}_3$ ): Включают 2 первичных треугольника (RGB $\{2,3,5\}$ и CMY $\{15(3*5),10(2*5),6(2*3)\}$ ), соответствующих двум параллельным противоположным граням октаэдра на кубе , и 2 промежуточных треугольника (внутренние сечения икосаэдра).
3 группы по 4 вершины (уменьшенные септаккордные «квадраты» / $\mathbb{Z}_4$ ): Соответствуют 3 взаимно перпендикулярным золотым прямоугольникам, на которые разбиваются все 12 вершин правильного икосаэдра.
2 группы по 6 вершин (целотоновые шкалы / $\mathbb{Z}_6$ ): Соответствуют разбиению на первичную шестёрку октаэдра (RGB/CMY) и промежуточную шестёрку смесей.
12-точечный хроматический цикл ( $\mathbb{Z}_{12}$ ): Строится добавлением середин рёбер (промежуточных вершин) в 6-цикл октаэдра (расстояние Хэмминга = 1 по шагам Гамильтонова пути). Любая расстановка чисел вне этого класса разрушит метрику и порвёт связь «шаг по кругу = смена одного простого множителя».

«Свойства музыкальной шкалы и цветового круга никак не связаны с вашими числами… Соседние ноты отличаются по частоте в одинаковое количество раз… Никак с вашими числами это не связано.»

Равномерная темперация ( $q=2^{1/12}$ ) — компромиссное приближение чистого строя, построенного на отношениях малых простых: октава 2:1, квинта 3:2, терция 5:4. Квинтовый круг замыкается в 12 нот именно потому, что шаг квинты (7 полутонов) и период октавы (12) взаимно просты — связь с 2, 3, 5 не притянута задним числом, а исторически первична.
Аналогия «3 канала RGB (три оси цветового пространства) $\leftrightarrow$ 3 простых числа (три оси экспонент)» сама по себе слабая, если бы дело было в совпадении цифры 3. Но и цвет, и число делителей 30 независимо оказываются проекциями одной 3-осевой структуры — октаэдра с группой автоморфизмов (гипероктаэдральная группа), и оба поддаются одному и тому же разложению на оси (лёгкость/DC отделяется от хроматики измеримо, хроматика раскладывается на цикл и оппонентные оси). Это структурное соответствие через общую группу симметрий, а не совпадение по числу каналов.

«Точно такие же “интересные” факты вы бы нашли, если бы изначально запихали числа в круг в порядке 2, 6, 3, 15, 5, 10.»

Нет — этот порядок не один из многих равноценных. В координатах экспонент это путь по рёбрам куба: $2 (1,0,0) \to 6(1,1,0) \to 3(0,1,0) \to 15(0,1,1) \to 5(0,0,1) \to 10(1,0,1) \to 2$ , где каждый шаг меняет ровно одну координату (Хэмминг=1). Такой обход существует не в единственном экземпляре в абсолютном смысле, а с точностью до симметрий самой фигуры: из 720 перестановок шести точек ровно 12 сохраняют все три хэмминговых отношения разом (это диэдральная группа обхода) — то есть все “правильные” порядки получаются друг из друга поворотом/отражением октаэдра, а не подбираются произвольно. Любая расстановка вне этого класса разорвёт связь “шаг круга = смена одного простого множителя”.

«Арифметическое выражение этого факта: произведение двух соседних делителей числа 30 даёт делитель промежуточной вершины… У вас каждая промежуточная вершина по определению произведение…»
«То, что все числа делители 900… Ну так вы 900 так и нашли, видимо…»
«Вот у вас там в икосаэдре изумрудный ( $3^2 \cdot 5$ ) соседствует с 3, 5 и 3·5. Почему 3 получилась в квадрате, а 5 - нет?»

За этим стоит вполне проверяемый механизм:

Геометрия. Середина ребра куба = сумма векторов его двух концов. Координаты первичных вершин — из $\{0,1\}^3$ (делители 30 без квадратов), поэтому сумма автоматически попадает в $\{0,1,2\}^3$ — решётку делителей (при этом полюса/пределы решётки [число 1] и [число 900] исключаются из активной сцены так же, как исключались полюса и для исходного октаэдра). Это неизбежно для любых двух соседей, не результат проверки.

Арифметика. Сложение показателей = умножение чисел. Пример — изумрудный : сосед зелёный () и сосед циан ( $15 = 3^1 \cdot 5^1$ ), произведение $3 \times 15 = 45 = 3^2 \cdot 5^1$ . Тройка в квадрате, потому что есть у обоих соседей (), пятёрка в первой степени — только у одного (). Жёстко следует из того, кто именно соседи (а расстановка соседей сама вынуждена гамильтоновым обходом октаэдра.

Число 900 — не НОК (там нет операции наименьшего общего кратного, 900 — просто квадрат 30), и его равенство не отражает отдельной “алгебраической строгости” — это прямое следствие пункта 1: сумма двух показателей из $\{0,1\}$ не превышает 2 (а крайние полюса и исключены).

Вершины икосаэдра — рёбра октаэдра (по одной вершине на ребро), но как делить ребро — вопрос геометрии. Деление пополам даёт кубооктаэдр (ось 4-го порядка); только золотое сечение ( $1:\varphi$ ) даёт правильный икосаэдр (ось 5-го порядка). Это не следствие показателей степеней, а отдельный вход в конструкцию.

«Вон, какие-то конкретные грани октаэдра дают “интересные” тройки, но тетраэдр симметричен, а остальные грани ничего интересного не дают…»

Видимо, имелся в виду октаэдр. У него между любыми двумя из шести вершин расстояние Хэмминга принимает одно из трёх значений, и все 15 пар (6+6+3) разложены на них без остатка, а не выборочно:

Хэмминг=1 (6 пар) — шестиугольный цикл, шаг круга/хроматическая гамма.
Хэмминг=2 (6 пар) — два треугольника RGB и CMY, терция.
Хэмминг=3 (3 пары) — три антиподальные диагонали через центр, тритон/дополнительный цвет.

Это не выбор “интересных” граней, а исчерпывающая классификация всех связей по единственной доступной мере различия — числу несовпадающих координат.

«Общий закон: чем симметричнее фигура, тем меньше у неё привязки (якоря). Псевдофилософский бред. Да симметрии красивы и чем более сложная группа симметрии, тем большими способами ее можно вращать, тем больше всяких псевдоглубоких наблюдений о ней можно сделать.»

Это конкретное и проверяемое утверждение теории групп. У аккорда есть стабилизатор — сдвиги, переводящие его сам в себя, — и орбита — число различных положений на круге. У увеличенного трезвучия сдвиг на 4 полутона переводит его в себя (стабилизатор нетривиален), поэтому различных положений всего 3, и аккорд не указывает однозначно тонику. У мажорного трезвучия стабилизатор тривиален, орбита полная (12 положений), и аккорд однозначно задаёт тонику. Это стандартный аппарат transformational theory (Lewin, Tymoczko).