Всем привет! Меня зовут Радмир, я — начинающий исследователь в области NLP. В этой статье я расскажу о своей идее — LTanh: функция активации, стабилизирующая градиент Tanh.

Итак, наш план:

Разберем основную идею LTanh.
Разберем производную Tanh.
Разберем производную LTanh.
Посмотрим на отличия LTanh от Tanh.
Сравним лоб в лоб две производные.

Что ж, приступим.

Идея LTanh — зачем он нужен

Недавно я разбирал производные функций, в том числе и функции Tanh. Я заметил, что производная Tanh падает довольно быстро — уже примерно в точке x = ±2 градиент Tanh довольно мелкий, а точка x = ±2 является частой в нейросетях. И тогда я задумался — как же можно исправить это, повысив градиент, при этом сильно не увеличивая диапазон выходов функции?

Сначала мне в голову пришла формула:

$LTanh(x)=\frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+2}$

Но, взяв производную по ней, я увидел, что она неопределенна в нуле. Тогда я решил добавить Sigmoid в формулу. Теперь формула стала такая:

$LTanh(x) = \frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+2}+\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$

Теперь производная определена в нуле и равна 0,25. Но теперь функция сильно отличается от обычного Tanh. Для исправления я добавил умножение на Tanh(x), и формула стала такая:

$LTanh(x) = \left(\frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+2}\right)\cdot\tanh\left(x\right)+\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$

Теперь функция ещё больше похожа на Tanh — на графике S‑образная (видно на фото выше). Но у нас немного несимметрично на графике: при больших положительных значениях x функция насыщается и выдаёт число, близкое к 2, а при больших отрицательных — близкое к -1. Так как производная по константе равна 0 и не помешает градиенту — мы добавим вычитание из результата функции 0,5 и получим симметричный интервал выходов — (−1,5; 1,5). Итак, формула:

$LTanh(x)=\left(\left(\frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+2}\right)\cdot\tanh\left(x\right)+\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\right)-\frac{1}{2}$

Функция стала больше похожа на Tanh: S‑образна, интервал выходных значений LTanh не сильно отличается от Tanh — разница всего в (−0,5; 0,5).

Формула готова. Давайте теперь пойдём далее — сравним её производную с производной Tanh. Для этого разберём две производные двух функций: Tanh и LTanh.

Производная Tanh

Давайте вспомним формулу производной Tanh:

$1-\tanh\left(x\right)^{2}$

Будем находить производную по этой формуле. Сначала вычислим производную в точках 0, 1, 2, 3, 4, 5, а потом посмотрим на поведение производной. Давайте начнём:

x	formula	tanh(x)'
0	1-0²	1
1	1–0,761²	0,42
2	1–0,9640²	0,07
3	1–0,995²	0,0099
4	1–0,9993²	0,0013
5	1–0,9999²	0,00019

Исходя из таблицы выше, мы видим, как быстро тухнет градиент с приращением x. Для нейросетей это не есть хорошо — обучение может остановиться. Пойдем дальше — вычислим такую же таблицу производных для LTanh.

Производная LTanh

Давайте выведем формулу производной LTanh:

$\left(\frac{\operatorname{sgn}\left(x\right)}{\left(\left|x\right|+2\right)^{2}}\right)\cdot\tanh\left(x\right)+\left(\frac{\left(\left|x\right|+1\right)}{\left(\left|x\right|+2\right)}\right)\cdot\left(1-\left(\tanh\left(x\right)^{2}\right)\right)+\left(\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}\right)$

Будем находить производную по этой формуле. Сначала вычислим производную в точках 0, 1, 2, 3, 4, 5, а потом посмотрим на поведение производной. Давайте начнём:

x	formula	LTanh(x)'
0	0+0,5+0,25	0,75
1	0,0846+0,279+0,196	0,5596
2	0,0603+0,0530+0,1050	0,2182
3	0,0398+0,0079+0,0452	0,0929
4	0,0278+0,0011+0,0177	0,0466
5	0,0204+0,0002+0,0066	0,0272

Можно сразу заметить, что производная LTanh ползёт вниз не так быстро, как у Tanh. Чем больше |x|, тем градиент становится всё больше и больше по сравнению с Tanh. Можно сказать, что производная более плавная.

Отличия LTanh от Tanh

На самом деле отличий мало. Первое и самое главное — градиенты. Градиенты у LTanh затухают медленнее, чем у Tanh. Это даёт хороший буст в глубоких сетях. Также выходные значения функции находятся в интервале (−1,5; 1,5), в отличие от Tanh (−1; 1).

Сравнение производных

По таблицам выше видно, что градиенты у LTanh тухнут более медленно, чем у Tanh. Это связано с тем, что в производной есть множитель, который вносит стабильность градиенту:

$\left(\frac{\operatorname{sgn}\left(x\right)}{\left(\left|x\right|+2\right)^{2}}\right)\cdot\tanh\left(x\right)$

Как итог

Сегодня мы разобрали функцию LTanh и посмотрели на её производные. Сразу видно, что для глубоких сетей LTanh подходит больше, чем Tanh, за счёт стабильности градиентов и меньшего затухания.

Также я построил для вас график производных для наглядности — тут. Примечание:

Буква	Цвет	Функция
T	Красный	Tanh(x)'
L	Синий	LTanh(x)'
S	Зеленый	Softsign(x)'
D	Черный	Sigmoid(x)'

Long Tanh: гибридная функция активации для глубоких сетей