Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 151
Странная сейчас математика пошла :(. Раньше как было — на основе примитивных терминов и аксиом выводим более сложные термины и так далее. Сейчас — «функтор это ...». А затем сразу «монада — это эндофунктор, который ...». При этом чем «функтор» отличается от «эндофунктора» никого не интересует, и так сойдет. Главное, чтобы стрелочек побольше :(.
Это презентация — набросок пути, по которому вам придется пройти самому. Все понятия легко находятся в википедии или соответствующих учебниках, если хотите, могу расставить ссылки.
Никто не говорил, что будет просто :)
Никто не говорил, что будет просто :)
Эндофунктор не меняет категорию
Что сложного в определении функтора? Очень естественное понятие.
>При этом чем «функтор» отличается от «эндофунктора» никого не интересует, и так сойдет.
«Эндо» — на себя. Там так и написано: эндофунктор T: C → C.
И лучше стрелочки, чем адские нагромождения символов. В этом отношении алгебра гораздо легче для изучения, чем большинство аналитических дисциплин — именно благодаря свободному использованию диаграмм.
>При этом чем «функтор» отличается от «эндофунктора» никого не интересует, и так сойдет.
«Эндо» — на себя. Там так и написано: эндофунктор T: C → C.
И лучше стрелочки, чем адские нагромождения символов. В этом отношении алгебра гораздо легче для изучения, чем большинство аналитических дисциплин — именно благодаря свободному использованию диаграмм.
Раньше — это когда? Книга Маклейна вышла в 1971 году, изобретены функторы и естественные преобразования (Эйленбергом и Маклейном) были в 1942 году, представление функции стрелкой появилось в лекциях Гуревича в 1940 году; основы алгебры морфизмов были заложены Эмми Нётер ещё двадцатью годами ранее.
абстрактное изложение в стиле Бурбаки
Меня убило раньше: f: a → b, где f это стрелка, а a и b — объекты. Если тут «стрелка» — это f, то что такое значок "→", нарисованный между a и b??? А двоеточие тут что обозначает? Если f — это намёк на функцию, то почему двоеточие, а не скобочки, и почему ни слова, объясняющего этот намёк??.. :(((
А вообще, основная беда таких разделов математики в том, что они используют неизвестные из обычной практики слова — монады, морфизмы, функторы… наблы там всякие… Эти все слова не имеют известного и привычного смысла в обычной жизни, и потому очень затрудняют понимание предмета. Особенно, когда значение каждого из них определяется через значение одного а то и нескольких других таких же «новых» слов. Сепулькарий какой-то навороченный получается…
А вообще, основная беда таких разделов математики в том, что они используют неизвестные из обычной практики слова — монады, морфизмы, функторы… наблы там всякие… Эти все слова не имеют известного и привычного смысла в обычной жизни, и потому очень затрудняют понимание предмета. Особенно, когда значение каждого из них определяется через значение одного а то и нескольких других таких же «новых» слов. Сепулькарий какой-то навороченный получается…
Это я тоже заметил, но это вопрос стиля изложения. Излагать ясно и четко — это мало кто умеет, тут ИМХО не имеет смысл придираться. В целом понятно о чем речь. А вот объяснять обозначенное в топике через сущность которая до этого не упоминалась — это да, сильно :).
Ну это во всех областях так… Но в том же программировании, прежде чем написать что «assignment expression is an expression that assigns a value to an object» введут термины «expression», «assign», «value» и «object». А тут этого как бы не видно. Что очень огорчает :(. Раньше трава была зеленее, деревья выше а заклятья — сильнее O_O.
Особенно, когда значение каждого из них определяется через значение одного а то и нескольких других таких же «новых» слов. Сепулькарий какой-то навороченный получается…
Ну это во всех областях так… Но в том же программировании, прежде чем написать что «assignment expression is an expression that assigns a value to an object» введут термины «expression», «assign», «value» и «object». А тут этого как бы не видно. Что очень огорчает :(. Раньше трава была зеленее, деревья выше а заклятья — сильнее O_O.
Вы в универе учились? Отображения обозначаются точно также, но почему-то ни у кого вопросов к записи f: x → y не возникает.
Порекомендуйте какую-нибудь толковую книжку по хаскелу, что ли.
Learn You a Haskell for Great Good
Real World Haskell
Real World Haskell
Лучше толковую книжку по теории категорий.
держи. это крайне щадящий учебник с бездной примеров
learnyouahaskell.com и книги Романа Душкина.
Напомнило:
Все-таки лучшее введение в теорию категорий, которое я когда-либо видел, это «Розеттский камень».
Да, это очень крутая книга и невероятно объемная работа по её переводу, спасибо автору.
Я еще могу порекомендовать классику (кажется, пока не переведенную) — учебник Пирса.
Я еще могу порекомендовать классику (кажется, пока не переведенную) — учебник Пирса.
Автор как-то не убедил, что сам понимает теорию категорий. Конечно, можно переписать определения из книжки, но в таком виде — не мотивирует
У меня нет причин сомневаться в компетентности автора.
Если вы достаточно хорошо понимаете тему, то хотелось бы услышать комментарии непосредственно по статье.
Если вы достаточно хорошо понимаете тему, то хотелось бы услышать комментарии непосредственно по статье.
Я не ставил себе целью убедить кого-либо в чём либо; а также не ставил целью мотивацию. Написал это для людей, которые сами себя мотивируют, но которым лень продираться через сотни страниц МакЛейна.
По, моему какое-то запутанное и нелогичное объяснение.
А если уж браться объяснять Хаскелл, то можно обойтись без математики и без категорий, гораздо логичнее объяснить как там все это на низком уровне реализовано (т.е. как код понимает компилятор — это самое важное) и обойтись без этих дурацких стрелочек. А объяснить на уровне указателей, куч, стеков и т.д.
А так, какая-то хрень получилась.
А если уж браться объяснять Хаскелл, то можно обойтись без математики и без категорий, гораздо логичнее объяснить как там все это на низком уровне реализовано (т.е. как код понимает компилятор — это самое важное) и обойтись без этих дурацких стрелочек. А объяснить на уровне указателей, куч, стеков и т.д.
А так, какая-то хрень получилась.
Монады реализованы не только в Хаскелле. Это объяснения конецпции монад, я не думаю, что может быть что-то более логичное, чем объяснения их на том языке, на котором они придуманы — языке математики.
Какой момент вас смутил и чему стоит уделить большее внимание?
Какой момент вас смутил и чему стоит уделить большее внимание?
В статье употребляются термины, и не разъяснено, что вы под ними понимаете. Например, «морфизм», «Частично упорядоченное множество». Также, приводятся безлдоказательные двусмысленные утверждения, например:
> «Любая группа может быть рассмотрена как категория: группа элементов это морфизмы над единственным объектом.»
Почему группа элементов это морфизмы над единственным объектом? Это вы сами так придумали?
Теория категорий это конечно важная вещь, но вы так по ней скачете, что нет сплошной логичной цепи рассуждений, а вместо этого в статье какие-то плохо связанные, вырванные из контекста мысли. Возможно, статья рассчитана на тех, кто уже знаком со всеми этими терминами?
Ну и тем более, странно выглядит попытка привязать эти самые множества и категории к языку программирования, который никакими абстрактными множествами и категориями не манипулирует, а манипулирует банальными байтами, числами и последовательностью операций.
> «Любая группа может быть рассмотрена как категория: группа элементов это морфизмы над единственным объектом.»
Почему группа элементов это морфизмы над единственным объектом? Это вы сами так придумали?
Теория категорий это конечно важная вещь, но вы так по ней скачете, что нет сплошной логичной цепи рассуждений, а вместо этого в статье какие-то плохо связанные, вырванные из контекста мысли. Возможно, статья рассчитана на тех, кто уже знаком со всеми этими терминами?
Ну и тем более, странно выглядит попытка привязать эти самые множества и категории к языку программирования, который никакими абстрактными множествами и категориями не манипулирует, а манипулирует банальными байтами, числами и последовательностью операций.
Морфизм — это стрелка от (ровно) одного объекта к (ровно одному) другому. Частично упорядоченное множество — это множество, часть элементов которого упорядочены (т.е. для некоторых пар элементов можно сказать, какой из элементов больше).
Что касается эквивалентности категориального и теоретико-множественного определения группы, то проверяется она тривиальной подстановкой и проверкой выполнения аксиом. И нет, это не автор так придумал, это видно из определений. И ещё раз нет, банальными байтами оперируют только языки низкого уровня; уже на уровне C появляются такие страшные и далёкие от железа вещи, как функции и типы.
Что касается эквивалентности категориального и теоретико-множественного определения группы, то проверяется она тривиальной подстановкой и проверкой выполнения аксиом. И нет, это не автор так придумал, это видно из определений. И ещё раз нет, банальными байтами оперируют только языки низкого уровня; уже на уровне C появляются такие страшные и далёкие от железа вещи, как функции и типы.
Как это реализовано на нижнем уровне это — детали реализации, могут меняться от версии к версии компилятора, быть разным для разных монад и вообще ничего не объяснят в принципе.
Значит, этот текст не для Вас. В теории категорий нет куч и стеков.
Много фраз(особенно определения) можно было сформулировать гораздо понятнее.
Клёво. Теперь что такое монады стало ещё более непонятно.
Эйнштейн: «Если учёный в двух словах не может объяснить ребёнку, чем он занимается, то этот учёный — шарлатан».
Понижайте уровень изложения, а то ведь бритва Оккама по автору плачет.
Понижайте уровень изложения, а то ведь бритва Оккама по автору плачет.
Во-первых, насколько мне известно, эта фраза принадлежит не Эйнштейну.
Во-вторых, она не относится к математике. :]
Во-вторых, она не относится к математике. :]
Вы могли прочитать это у Воннегута, но я говорю про первоисточник. А чем математика не такая?
Математика не такая, потому что изучает то, что не существует. Нельзя сказать, что математик занимается изучением X и это будет понятно, так как X существует только в сознании математика; чтобы объяснить — нужно дать определение X, а так как X может зависеть от Y, то очевидно, что в двух словах это не рассказать.
Есть два вида изложения:
1. От теории к практике (его предпочитают математики, но он непонятен инженерам)
2. От практики к теории и снова к практике, т. е. частное -> общее -> другие примеры частного. Именно так знания обычно и образуются.
1. От теории к практике (его предпочитают математики, но он непонятен инженерам)
2. От практики к теории и снова к практике, т. е. частное -> общее -> другие примеры частного. Именно так знания обычно и образуются.
Предмет любой науки существует только в сознании исследователя. Это хорошо показывает философия Буддизма и философия Суфизма. Не у кого не может быть аргумента за то, что поступающие в наше сознание сигналы не плод нашего же воображения (см. критерий фальсифицируемости Поппера), т.к. нет возможности поставить эксперимент, который отличит поток сигналов от реальности от потока сигналов от иллюзии. А то, что поток выглядит непротеворечивым, правдоподобным и последовательным ни как не может являться признаком его реальности (реальность не следует из логичности).
Более того, Умберто Эко показывает нам в «Поисках совершенного языка» то, что понятие X принципиально не может быть точно передано из сознания человека A в сознание человека B, т.к. для его расшифровки его в сознании B требуется весь набор знаний A. Так что, мы все живем в своей собственной реальности, в своем заблуждении. Разница только в том, осознаем ли мы иллюзорность или упорствуем в строгой научности наших логических потуг.
Более того, Умберто Эко показывает нам в «Поисках совершенного языка» то, что понятие X принципиально не может быть точно передано из сознания человека A в сознание человека B, т.к. для его расшифровки его в сознании B требуется весь набор знаний A. Так что, мы все живем в своей собственной реальности, в своем заблуждении. Разница только в том, осознаем ли мы иллюзорность или упорствуем в строгой научности наших логических потуг.
Бла-бла-бла, сбежать в солипсизм очень просто, но абсолютно не продуктивно. Кстати, интересно, существует ли критерий фальсифицируемости в математике?
Я писал о том, что если физика, биология, экономика изучает то, что существует в сознании большинства людей или на основе этого знания построено то, что они используют, то объяснить это в двух словах намного проще, чем, например, теорию категорий, являющейся абстракцией над абстрактной алгебре, являющейся абстракцией над числами, которые нельзя потрогать)
Я писал о том, что если физика, биология, экономика изучает то, что существует в сознании большинства людей или на основе этого знания построено то, что они используют, то объяснить это в двух словах намного проще, чем, например, теорию категорий, являющейся абстракцией над абстрактной алгебре, являющейся абстракцией над числами, которые нельзя потрогать)
При чем тут солипсизм, я говорю про иллюзорность в первую очередь собственного сознания. А Поппер говорил про всю науку в целом, но как-то упустил, что реальность собственного сознания не фальсифицируема, а потому, любой ученый, чтобы начать цепочку аксиом, теорем и выводов, должен сначала принять на веру поток поступающей информации на вход в его сознание.
Иллюзорность в приличном обществе упоминать все равно, что предлагать человеку посмотреть на нос, а потом: «вот видишь, ты его не замечал все это время». Вот это новость.
Наука субъект никогда и не изучала, чтобы это делать.
Наука субъект никогда и не изучала, чтобы это делать.
Как это при чём тут солипсизм, если Вы о нём и говорите? Или Вы просто не знаете такого слова?
Я не сторонник «печального солипсизма», а моя точка зрения — это «Вахдад альВудж» (теория единства бытия, изложенная Ибн Аль Араби). С невозможностью же доказать объективность бытия поспорить невозможно, согласитесь. Поэтому то математические понятия имеют такую же степень реальности, как и физический предмет (например, яблоко, которое мы кусаем) или Баба Яга. Нет другой возможности отличить научное от ненаучного, объективное от не объективного и реальное от вымысла, кроме одного пути — бездоказательной веры.
> Предмет любой науки существует только в сознании исследователя.
Исходя из одних и тех же аксиом, развивая одну и ту же теорию незавсимо, разные математики получат один и тот же результат. Свойства моноидов, групп, колец, векторных пространств не зависят от сознания одного отдельно взятого математика. Т.е. эти вещи объективны, хоть и абстрактны. И в некотором смысле существуют, причём независимо от воли человека, и вне его сознания.
> Это хорошо показывает философия Буддизма и философия Суфизма.
А философия действительно существует только в сознании человека, и передаётся от одного к другомувоздушно-капельным путём. Посади двух философов отдельно — они никогда не родят в точности одинаковое, предсказуемое внешним наблюдателем знание.
Исходя из одних и тех же аксиом, развивая одну и ту же теорию незавсимо, разные математики получат один и тот же результат. Свойства моноидов, групп, колец, векторных пространств не зависят от сознания одного отдельно взятого математика. Т.е. эти вещи объективны, хоть и абстрактны. И в некотором смысле существуют, причём независимо от воли человека, и вне его сознания.
> Это хорошо показывает философия Буддизма и философия Суфизма.
А философия действительно существует только в сознании человека, и передаётся от одного к другому
Поддерживаю qrazydragon'а. В приведённом виде это, действительно, воннегутовская фраза, которую Эйнштейн, видимо, не высказывал. В англ. Викицитатнике есть подробное описание — Misattributed: You do not really understand…
Прошу прощения за оффтоп, для полноты картины более подробно.
Если перейти по приведённой ссылке, то можно убедиться, что различные варианты этого высказывания приписываются Эйнштейну ошибочно (вообще, это очень частое явление, и, к сожалению, не только по отношению к нему; надеюсь, изложенное здесь будет напоминанием об этом). Конкретно данный вариант, с «шарлатаном», как верно отметил цитирующий, — фраза из произведения Воннегута. Там же, по ссылке, указывается и куда более достоверная схожая по смыслу цитата, с предположением насчёт её первоисточника. Этот же вариант приведён и в наиболее полном, пожалуй, на сегодня сборнике эйнштейновских цитат Alice Calaprice, The Ultimate Quotable Einstein, Princeton University Press, 2011 (4-ое издание, стр. 380-381) с указанием того же первоисточника — воспоминаний Луи де Бройля, а точнее — его книги Nouvelles Perspectives en Microphysique и её переводного английского издания. Приведём его на всех трёх языках:
Кроме рассмотренного варианта, в уже упомянутом сборнике цитат Эйнштейна более близкого ничего нет. Опять же, там есть раздел псевдоцитат и ошибочных присвоений, в который помещён самый близкий вариант (стр. 482): «You do not really understand something unless you can explain it to your grandmother.»
Отсюда следует, что утверждение MarcusAurelius «Вы могли прочитать это у Воннегута, но я говорю про первоисточник.» ошибочно. Возможно, подразумевался общий смысл, соответствующий достоверному высказыванию, а не сам неверный вариант его, но в таком случае оно не более уместно, поскольку относится к другой предметной области.
Как говорил Ленин, «главная проблема цитат в интернете в том, что люди сразу верят в их подлинность».
Если перейти по приведённой ссылке, то можно убедиться, что различные варианты этого высказывания приписываются Эйнштейну ошибочно (вообще, это очень частое явление, и, к сожалению, не только по отношению к нему; надеюсь, изложенное здесь будет напоминанием об этом). Конкретно данный вариант, с «шарлатаном», как верно отметил цитирующий, — фраза из произведения Воннегута. Там же, по ссылке, указывается и куда более достоверная схожая по смыслу цитата, с предположением насчёт её первоисточника. Этот же вариант приведён и в наиболее полном, пожалуй, на сегодня сборнике эйнштейновских цитат Alice Calaprice, The Ultimate Quotable Einstein, Princeton University Press, 2011 (4-ое издание, стр. 380-381) с указанием того же первоисточника — воспоминаний Луи де Бройля, а точнее — его книги Nouvelles Perspectives en Microphysique и её переводного английского издания. Приведём его на всех трёх языках:
«…il me disait que toute théorie physique devrait pouvoir, en dehors de tout calcul, être illustrée par des images si simples “qu’un enfant même devrait pouvoir les comprendre”.»
— Louis de Broglie Louis, Nouvelles Perspectives en Microphysique, Paris: Editions Albin Michel, 1956, p. 236
«…he told me that all physical theories, their mathematical expressions apart, ought to lend themselves to so simple a description “that even a child could understand them”.»
— Louis de Broglie, New Perspectives in Physics, New York: Basic Books, 1962, p.184
«[…он сказал мне, что]* всякая физическая теория должна быть такой, чтобы ее, помимо всяких расчетов, можно было проиллюстрировать с помощью простейших образов, чтобы даже ребенок мог ее понять.»
— Льоцци, Марио. История физики, пер. Э.Л. Бурштейна, М.: Мир, 1970 (Mario Gliozzi, Storia della fisica, Torino: Storia delle scienze • Volume secondo, 1965), стр. 401 (там же примечание: «Цитируется по книге L. De Broglie, Nouvelles Perspectives en Microphysique, Paris, 1956, p. 236.»)
* доб. моё
Кроме рассмотренного варианта, в уже упомянутом сборнике цитат Эйнштейна более близкого ничего нет. Опять же, там есть раздел псевдоцитат и ошибочных присвоений, в который помещён самый близкий вариант (стр. 482): «You do not really understand something unless you can explain it to your grandmother.»
Отсюда следует, что утверждение MarcusAurelius «Вы могли прочитать это у Воннегута, но я говорю про первоисточник.» ошибочно. Возможно, подразумевался общий смысл, соответствующий достоверному высказыванию, а не сам неверный вариант его, но в таком случае оно не более уместно, поскольку относится к другой предметной области.
Как говорил Ленин, «главная проблема цитат в интернете в том, что люди сразу верят в их подлинность».
Почему бы просто не назвать вещи, естественными для ИТ словами: Callback, анонимный делегат, перегрузка оператора класса?
И эти слова должен понять ребенок? :-)
А вообще, нужно иметь определенный уровень знаний, чтобы легко воспринять следующий уровень. Знания надо воспринимать послойно.
А вообще, нужно иметь определенный уровень знаний, чтобы легко воспринять следующий уровень. Знания надо воспринимать послойно.
Ну если математики пришли в чужой монастырь к программистам, то будьте любезны изъясняться терминологией программистов или же сделать адекватный словарь, понятный программистам. Ребенку тоже можно объяснить теорию категорий, поверьте, но для этого нужны: понимание предмета и педагогическая гениальность, я бы не рискнул даже пробовать.
Насколько мне известно, программирование является разделом математики. По крайней мере, так было, когда я учился.
Мы о разных программированиях говорим, есть "математическое программирование" — это раздел математики, который изучает задачи комбинаторной оптимизации, нахождения экстремумов, задачи целочисленного программирования, задачей линейного и нелинейного программирования, динамическое программирование, стохастическое, параметрическое программирование.
А есть программирование как создание программного обеспечения. Эти понятия путают, хотя они разошлись в невероятно разные стороны. Конечно же и создание программного обеспечения сначала обслуживало математику, решало ее задачи численными методами, но сейчас программирование решает задачи социума, бизнеса и физики, в гораздо большей степени, чем задачи математики. Создание программного обеспечения вообще — это больше инженерия нежели наука, это прикладная техническая отрасль, находящаяся на стыке кибернетики, компьютерных наук, системного анализа и еще многих направлений, в которых математика не основное.
Математика и физика, например, тоже долгое время развивались внутри философии и теологии, обслуживая их задачи, но мы же не относим сейчас математику к разделу теологии — это смешно, но поверьте, в 12-ом веке это было не смешно.
А есть программирование как создание программного обеспечения. Эти понятия путают, хотя они разошлись в невероятно разные стороны. Конечно же и создание программного обеспечения сначала обслуживало математику, решало ее задачи численными методами, но сейчас программирование решает задачи социума, бизнеса и физики, в гораздо большей степени, чем задачи математики. Создание программного обеспечения вообще — это больше инженерия нежели наука, это прикладная техническая отрасль, находящаяся на стыке кибернетики, компьютерных наук, системного анализа и еще многих направлений, в которых математика не основное.
Математика и физика, например, тоже долгое время развивались внутри философии и теологии, обслуживая их задачи, но мы же не относим сейчас математику к разделу теологии — это смешно, но поверьте, в 12-ом веке это было не смешно.
Ой, да бросьте. Программирование как прикладная инженерия размазано настолько тонким слоем по предметным областям, что пересечения с сугубо абстрактной математикой возникают сплошь и рядом — от кватернионов в 3D-моделировании и динамического программирования в кодогенерации до лямбда-исчисления и SKI-комбинаторов в задачах проектирования (и реализации) DSL.
Вчера монады были уделом алгебраистов как модель теории, а нынче любой C#-программист без математического образования радостно использует LINQ, а то и Rx Framework. Да, программирование и математика — это не одно и то же, но самые интересные вещи происходят именно там, где они пересекаются. Stay tuned! :)
Вчера монады были уделом алгебраистов как модель теории, а нынче любой C#-программист без математического образования радостно использует LINQ, а то и Rx Framework. Да, программирование и математика — это не одно и то же, но самые интересные вещи происходят именно там, где они пересекаются. Stay tuned! :)
Математика — всего лишь стандартизированный язык для обмена знаниями различных областей. Неважно, откуда ты родом и кто по профессии — если ты изучал этот язык, то сможешь понять, какую информацию тебе пытаются передать. Например, инженер-строитель, работая в паре с программистом (нормальным программистом!) при разработке какого-нибудь CAD, передает ему знания своей предметной области как раз с помощью математики.
Я вообще-то программист; но изъясняться на примитивном уровне пэхэпэшников и вижуал бейсиков не планирую. Эти поколения тупых быдлокодеров приходят и уходят; зачем бы это им загружать мозги излишними знаниями, если им самим не треба? И вы не дети. Вы взрослые люди.
эти слова должен понять программист
> Почему бы просто не назвать вещи, естественными для ИТ словами: Callback, анонимный делегат, перегрузка оператора класса?
Это примерно так: «Да что вы мне про какие-то вещественные числа рассказываете, непрерывные притом. Я программист, у меня двойная точность, экспонента/мантисса, IEEE 754, все дела.»
> анонимный делегат
Применение «термина» «анонимный делегат» на собеседовании на должность .NET-разработчика в некоторых конторах является достаточным основанием для отказа соискателю.
Это примерно так: «Да что вы мне про какие-то вещественные числа рассказываете, непрерывные притом. Я программист, у меня двойная точность, экспонента/мантисса, IEEE 754, все дела.»
> анонимный делегат
Применение «термина» «анонимный делегат» на собеседовании на должность .NET-разработчика в некоторых конторах является достаточным основанием для отказа соискателю.
я сочувствую этим конторам. Но отчасти они правы — если соискатель и сотрудники конторы разговаривают на разных уровнях абстракции, и не способны подняться до уровня соискателя — им обоим проще разойтись, чем ему одному переучивать контору.
> я сочувствую этим конторам.
Это что-то из разряда «Мне вас жаль»?
> Но отчасти они правы — если соискатель и сотрудники конторы разговаривают на разных уровнях абстракции, и не способны подняться до уровня соискателя — им обоим проще разойтись, чем ему одному переучивать контору.
Есть «делегат», есть «анонимный метод». «Анонимный делегат» — это что-то типа прийти на турнир гроссмейстеров, и в обсуждении называть ферзя королевой, ладью турой а слона офицером. Какие уж тут «разные уровни абстракции» и «подняться до уровня соискателя», лол.
Это что-то из разряда «Мне вас жаль»?
> Но отчасти они правы — если соискатель и сотрудники конторы разговаривают на разных уровнях абстракции, и не способны подняться до уровня соискателя — им обоим проще разойтись, чем ему одному переучивать контору.
Есть «делегат», есть «анонимный метод». «Анонимный делегат» — это что-то типа прийти на турнир гроссмейстеров, и в обсуждении называть ферзя королевой, ладью турой а слона офицером. Какие уж тут «разные уровни абстракции» и «подняться до уровня соискателя», лол.
Ваши кучи и делегаты тут ни при чем. Попробуйте выучить несколько новых слов и понятий; может оказаться интересным; если ж не хотите — значит, этот текст не для Вас.
Эта фраза принадлежит не Энштейну, его работы при жизни мало кто понимал, да и сейчас понимают далеко не все. Вы можете объяснить теорию относительности ребенку, или хотя бы неподготовленному взрослому? Автор попытался максимально кратко и полно изложить суть сложной математической теории. Задача не из легких, но попытка хорошая.
win!
>Еще один пример монды это map/reduce от Google.
>Еще один пример монды это map/reduce от Google.
Мне кажется, все кто хотел понять, что такое монады — уже давно понял. У тех же, кому это не нужно, или кто не понял по другим источникам — по такой статье разобраться в этом все равно нет никаких шансов.
А может кто то объяснить — нахрена нужен матан для проектирования усилителя?
Потому что AЧХ усилителя зависит от дифференциального уравнения которому он подчиняется.
Вы проектировали усилитель?:)
Теперь я знаю определение монады. Осталось понять что это такое…
«Это как говорить об электричестве не используя мат.» O_o
Мне кажется, что начинать объяснять монады надо всё же так, как это делает подавляющее большинство популярных туториалов
Think of a monad as a spacesuite full of nuclear waste in the ocean next to a container of apples. now, you can't put oranges in the space suite or the nucelar waste falls in the ocean, *but* the apples are carried around anyway, and you just take what you need. — Dons
Thought an illustration might be useful:
It depends — и от целей, и от конкретного человека. Лучшим средством понять монады в теоретическом смысле лично для меня стала книга Лейнстера по n-категориям (хотя казалось бы); ну а в практическом — опыт проектирования с их использованием в Haskell.
Учитывая, что в последнем категориальные конструкции весьма ограничены (за пределы категории типов Hask тебя никто не выпустит), пересекаются эти две области — теоретическая и практическая — если и часто, то в весьма небольшой области.
Учитывая, что в последнем категориальные конструкции весьма ограничены (за пределы категории типов Hask тебя никто не выпустит), пересекаются эти две области — теоретическая и практическая — если и часто, то в весьма небольшой области.
Такая статься на Хабре — прекрасный троллинг!
Вы считаете это не относится к computer science? Или слишком сложно?
Конечно, это не очередная новость про патентны или css-хаки, но и полезность у неё значительно выше. Достаточно только приложить немного усилий для понимания.
Конечно, это не очередная новость про патентны или css-хаки, но и полезность у неё значительно выше. Достаточно только приложить немного усилий для понимания.
Честно говоря, полезность этой статьи сомнительна, т.к. вместо объяснения или хотя бы полноценных определений автор пробежался «галопом по европам», собрав все в кучу. Если кто-то, не знакомый с теорией категорий и Haskell, поймет что-нибудь после этой статьи, я очень удивлюсь.
Да, от читателя требуются некоторые усилии, чтобы разобраться в неизвестных терминах и определениях.
Это презентация оформленная статьей, она не претендует на исчерпывающее описание теории категорий или монад, а показывает путь, по которому можно получить монады в понятиях теорката.
Если кто-то заинтересовался, это будет хорошей отправной точкой, как было для меня.
Это презентация оформленная статьей, она не претендует на исчерпывающее описание теории категорий или монад, а показывает путь, по которому можно получить монады в понятиях теорката.
Если кто-то заинтересовался, это будет хорошей отправной точкой, как было для меня.
Скажите, каким мат. аппаратом надо владеть, что бы понять статью?
И сами ответите на свой вопрос
И сами ответите на свой вопрос
Матаппаратом первого курса математического факультета (можно прикладного) практически любого ВУЗа. Единственно сложные вещи — отсылка к топологическим пространствам и парадоксу Рассела, но ни на первом, ни на втором внимание в статье не заостряется.
Да ладно, теоркат и теорию групп дают на первом курсе?
Весь необходимый для понимания объём теории категорий дан в этой статье. Впрочем, если вам что-то непонятно — задавайте конкретные вопросы, чего время терять.
Что касается теории групп, то её здесь просто нет. Прочитать определение группы — дело десяти секунд, гомоморфизма — ещё десяти. Неужели это так сложно? При реализации, скажем, тривиального парсера вам придётся столкнуться с куда более сложными абстракциями.
Что касается теории групп, то её здесь просто нет. Прочитать определение группы — дело десяти секунд, гомоморфизма — ещё десяти. Неужели это так сложно? При реализации, скажем, тривиального парсера вам придётся столкнуться с куда более сложными абстракциями.
Про парсер — это вы загнули. Там, наоборот, абстракции менее высокие, потому более понятные и простые. Деталей — больше, но они проще. А вот эта теория категорий и монады. Я даж экзамен на отлично по ней сдавал, и регулярно перечитываю статьи, но блин, не чувствую и не понимаю, нафига это всё надо, и какой в этом смысл.
Понятие конечного автомата проще понятия группы? На минуточку, первое — это пятёрка (множество состояний, начальное состояние, множество заключительных состояний, алфавит, функция переходов); второе — тройка (множество, бинарная операция, нейтральный элемент) плюс аксиома наличия обратного элемента. Это окромя иерархии Хомского, (E)BNF-нотации, PEG и прочих Iteratees. Вы либо неискренни, либо обладаете исключительным складом ума, упрощающим понимание CS-специфики.
Как вы могли сдавать (на отлично!) экзамен по теории категорий и не знать, зачем оная теория нужна — я не знаю. Видимо, так оно вам нужно.
Как вы могли сдавать (на отлично!) экзамен по теории категорий и не знать, зачем оная теория нужна — я не знаю. Видимо, так оно вам нужно.
Оно действительно не нужно :) И там не было вопроса, зачем она нужна, там были определения и теоремы. Которые легко воспроизвести, но понять их суть… Вот фиг поймёшь, как мне кажется.
А насчёт автоматов. Там же вполне естественные пятёрки. Понятно, какая материя под ними находится, зачем они нужны, из каких задач взялись и что дают. Алфавит — это алфавит, переход — это переход.
А в теории категорий? Ну определили свойства… Ну вот даже с той же монадой. Хорошо, определили. Но это совершенно не даёт понимания того, как механизм работает. Следовательно, это абстракция гораздо более высокого уровня, чем автомат.
Ведь, в принципе, я могу монадой считать и pipe в Bash, и какой-нибудь pass в Ruby, и вот тот же LINQ. Огромное количество различных объектов подпадает под определение… При чём, их ничего кроме этого определения не связывает, ничего из того, что pipe — монада, вывести нельзя (ну, я не встречался с таким).
И… Ну хорошо, есть очень мудрое определение. И что с ним делать? Зачем мне его надо изучать?
А насчёт автоматов. Там же вполне естественные пятёрки. Понятно, какая материя под ними находится, зачем они нужны, из каких задач взялись и что дают. Алфавит — это алфавит, переход — это переход.
А в теории категорий? Ну определили свойства… Ну вот даже с той же монадой. Хорошо, определили. Но это совершенно не даёт понимания того, как механизм работает. Следовательно, это абстракция гораздо более высокого уровня, чем автомат.
Ведь, в принципе, я могу монадой считать и pipe в Bash, и какой-нибудь pass в Ruby, и вот тот же LINQ. Огромное количество различных объектов подпадает под определение… При чём, их ничего кроме этого определения не связывает, ничего из того, что pipe — монада, вывести нельзя (ну, я не встречался с таким).
И… Ну хорошо, есть очень мудрое определение. И что с ним делать? Зачем мне его надо изучать?
Значит, так учили. Функторы естественным образом возникли в топологии, а аппарат теории категорий помог достичь существенных достижений в объединении различных областей математики (доказательство эквивалентности расширений Галуа и накрытий, например). Почитайте, чем занимаются Лейнстер, Баец, Мазур, Лури. Почитайте про недавнее доказательство гипотезы Баеца-Долана, про кобордизмы и TQFT.
И не надо передёргивать, я вас прошу, замечание о простоте было в сторону используемых определений из теории групп. Что касается «я могу монадой считать», то это уже гуманитарщина какая-то: абстракции вида «эта конструкция встречается часто, её надо обобщить» в программировании встречаются направо и налево — от функций и классов до параметрического полиморфизма и шаблонов проектирования. Что такого особого в понятии монады? Тот факт, что её корни растут из абстрактной алгебры, волшебным образом отключает мозг?
И что, блин, значит «надо изучать»? Вы «изучаете» понятия объекта и класса? Штудируете работы Карделли? Для алгебраиста монада — это модель теории; для программиста — тривиальный паттерн проектирования, не более того. Вполне естественная тройка, выражаясь вашим языком.
И не надо передёргивать, я вас прошу, замечание о простоте было в сторону используемых определений из теории групп. Что касается «я могу монадой считать», то это уже гуманитарщина какая-то: абстракции вида «эта конструкция встречается часто, её надо обобщить» в программировании встречаются направо и налево — от функций и классов до параметрического полиморфизма и шаблонов проектирования. Что такого особого в понятии монады? Тот факт, что её корни растут из абстрактной алгебры, волшебным образом отключает мозг?
И что, блин, значит «надо изучать»? Вы «изучаете» понятия объекта и класса? Штудируете работы Карделли? Для алгебраиста монада — это модель теории; для программиста — тривиальный паттерн проектирования, не более того. Вполне естественная тройка, выражаясь вашим языком.
Естественно я изучаю понятие класса и объекта. Без понимания того, как это всё работает нормально писать эффективные программы сложно.
А монады, сколько не изучай, не знаю… Не укладываются они в мою интуицию. И дело совсем не в алгебраическом их происхождении. С векторами, группами, полями Галуа я общаюсь вполне себе спокойно, и даже pi-исчеслениями и теорией следов :)
Но монады и категории взрывают мне мозг. Он лихорадочно ищет каких-нибудь материальных примеров, и ничего не находит… Я знаю, что IO — это монада. Знаю, что вызов с текущим продолженем можно описать монадой… Но как-то знания не наполнены эти ничем.
Про топологическую QFT спасибо, почитаю… Но я так немного на неё смотрел… При чём там категории? Но посмотрю внимательнее.
Ну. И про Галуа тоже надо посмотреть. А вообще, я вот знаю про факт объединения — изоморфизм Кэри-Говарда. Ну, хорошо, мощный результат. А польза-то от него какая? Проще программировать не стало. Новых методов тоже не прибавилось. Всё это слишком абстрактно. Хотя, наверное, в данном случае, поля Галуа решают проблему с представлением покрытий? В этом соль?
А монады, сколько не изучай, не знаю… Не укладываются они в мою интуицию. И дело совсем не в алгебраическом их происхождении. С векторами, группами, полями Галуа я общаюсь вполне себе спокойно, и даже pi-исчеслениями и теорией следов :)
Но монады и категории взрывают мне мозг. Он лихорадочно ищет каких-нибудь материальных примеров, и ничего не находит… Я знаю, что IO — это монада. Знаю, что вызов с текущим продолженем можно описать монадой… Но как-то знания не наполнены эти ничем.
Про топологическую QFT спасибо, почитаю… Но я так немного на неё смотрел… При чём там категории? Но посмотрю внимательнее.
Ну. И про Галуа тоже надо посмотреть. А вообще, я вот знаю про факт объединения — изоморфизм Кэри-Говарда. Ну, хорошо, мощный результат. А польза-то от него какая? Проще программировать не стало. Новых методов тоже не прибавилось. Всё это слишком абстрактно. Хотя, наверное, в данном случае, поля Галуа решают проблему с представлением покрытий? В этом соль?
Ой. Накрытий.
Соль в том, что результаты из одной области оказываются применимыми к другой — и vice versa. Когда что-то множно получить задаром — это, как правило, хорошо.
Я не понимаю, в чём ваша проблема с монадами. Вот функтор — однопараметрический тип, предоставляющий нам map. Вот функтор с отмеченной точкой, предоставляющий нам return (pure). Вот монада, предоставляющая нам join (или bind) и позволяющая инкапсулировать поток выполнения. В ООП-языке у вас объект подключения к БД, в Haskell у вас соответствующая монада. В ООП-языке у вас объект парсера, здесь — монада парсера (или аппликативный функтор парсера, если интерфейс монады избыточен); в ООП-языке у вас объект исключения, здесь — монада исключения. Попробуйте спроектировать хотя бы одно приложения в таком стиле, и вы получите тот же набор базовых навыков, которым вы пользуетесь в ООП. Более того — вы сможете использовать эти навыки и в ООП-языке (реализуя нечто вроде LINQ или элементарно копозицию операций с выбором потока выполнения в рантайме).
А наполнять знания надо практикой. Замените «монады и категории» у мебя на «классы и объекты» — вы получите настолько же осмысленную критику (с которой сталкивается каждый второй студент, познающий ООП). Пока он не начнёт проектировать и применять свои знания в жизни, они для него и останутся ничем не наполненными — независимо от качества учебного материала.
И, кстати, а как вы изучаете понятия класса и объекта? Меня вот на Абади и Карделли не хватило, я на второй-третьей странице засыпать начинаю.
Я не понимаю, в чём ваша проблема с монадами. Вот функтор — однопараметрический тип, предоставляющий нам map. Вот функтор с отмеченной точкой, предоставляющий нам return (pure). Вот монада, предоставляющая нам join (или bind) и позволяющая инкапсулировать поток выполнения. В ООП-языке у вас объект подключения к БД, в Haskell у вас соответствующая монада. В ООП-языке у вас объект парсера, здесь — монада парсера (или аппликативный функтор парсера, если интерфейс монады избыточен); в ООП-языке у вас объект исключения, здесь — монада исключения. Попробуйте спроектировать хотя бы одно приложения в таком стиле, и вы получите тот же набор базовых навыков, которым вы пользуетесь в ООП. Более того — вы сможете использовать эти навыки и в ООП-языке (реализуя нечто вроде LINQ или элементарно копозицию операций с выбором потока выполнения в рантайме).
А наполнять знания надо практикой. Замените «монады и категории» у мебя на «классы и объекты» — вы получите настолько же осмысленную критику (с которой сталкивается каждый второй студент, познающий ООП). Пока он не начнёт проектировать и применять свои знания в жизни, они для него и останутся ничем не наполненными — независимо от качества учебного материала.
И, кстати, а как вы изучаете понятия класса и объекта? Меня вот на Абади и Карделли не хватило, я на второй-третьей странице засыпать начинаю.
Я классы и объекты снизу изучаю. Как устроены таблицы поиска и всё такое, порождение. Понятно, что можно смотреть сверху, и давать строгое определение тому, что есть такое наследование. Но в ООП (которое я, кстати, очень не люблю), всегда найдётся язык, который не укладывается. Или всегда такой язык можно построить, и от этого fun прибавляется.
Пользоваться же монадами — понятно, как. А вот проектировать… Не знаю. В голове-то есть знания о том, что бывают агенты, бывают call-cc, которые семантически проще… И вот, видимо, это мешает размышлять в монадном стиле.
Вот простой, казалось бы вопрос: хочу я кооперативную многозадачность. Вроде, инструмент для этого, как раз монады. Но я могу запросто это сделать на C или JavaScript, а с монадами — просто вынос мозга какой-то: слишком большой контекст надо хранить, и нифига не понятно, как добиться именно нужной семантики.
Даже систему событий во Frag себе на бумажке по полочкам разложил, а воспроизвести с минимальными, казалось бы, изменениями — фига, не получается. Видимо, не дано.
Зато узнал, где в TQFT используется теоркат. Интересный у них подход с тем, чтобы заявлять, что категория — это данные об объекте. Спасибо за имена.
Пользоваться же монадами — понятно, как. А вот проектировать… Не знаю. В голове-то есть знания о том, что бывают агенты, бывают call-cc, которые семантически проще… И вот, видимо, это мешает размышлять в монадном стиле.
Вот простой, казалось бы вопрос: хочу я кооперативную многозадачность. Вроде, инструмент для этого, как раз монады. Но я могу запросто это сделать на C или JavaScript, а с монадами — просто вынос мозга какой-то: слишком большой контекст надо хранить, и нифига не понятно, как добиться именно нужной семантики.
Даже систему событий во Frag себе на бумажке по полочкам разложил, а воспроизвести с минимальными, казалось бы, изменениями — фига, не получается. Видимо, не дано.
Зато узнал, где в TQFT используется теоркат. Интересный у них подход с тем, чтобы заявлять, что категория — это данные об объекте. Спасибо за имена.
Немного?
Честно говоря, было бы неплохо, чтобы авторы подобных статей писали маленькую сводочку на тему «что это такое, для чего оно нужно и кому оно нужно… а кому не нужно». Неважно, до статьи, после — главное чтобы писали :)
Понимаете, я ничего не понял, о чем же написано в статье. Не что, а о чем. Тратить несколько десятков часов изучение сторонней литературы только для того, чтобы понять о чем же статья… это невозможно.
Да, возможно это очень интересная штука… для тех кто в этом разбирается. Ну так сделайте же что-нибудь, чтобы эта штука стала чуть более интересной для тех, кто в ней не разбирается!
P.S. Возможно я слишком категоричен. И извините за некропостинг :)
Честно говоря, было бы неплохо, чтобы авторы подобных статей писали маленькую сводочку на тему «что это такое, для чего оно нужно и кому оно нужно… а кому не нужно». Неважно, до статьи, после — главное чтобы писали :)
Понимаете, я ничего не понял, о чем же написано в статье. Не что, а о чем. Тратить несколько десятков часов изучение сторонней литературы только для того, чтобы понять о чем же статья… это невозможно.
Да, возможно это очень интересная штука… для тех кто в этом разбирается. Ну так сделайте же что-нибудь, чтобы эта штука стала чуть более интересной для тех, кто в ней не разбирается!
P.S. Возможно я слишком категоричен. И извините за некропостинг :)
P.P.S. Вообще по поводу сводки — пожелания относится к авторам любых статей, но часто это ненужно — предмет статьи очевиден.
Тут такое дело, что если вы не знаете зачем, то оно вам и не нужно. А если с монадами вы сталкивались (в других статьях или на практике), то вам уже интересно и мотивировать вас не надо :)
Эта статья не из категории «Введение в программирование».
Эта статья не из категории «Введение в программирование».
Статья напоминает книжку для аспирантов для математических факультетов.
На первых 2 страницах выписываются все школьные определения и определения 1-3 курса, а дальше со словами эта, эта и эта теорема очевидна, продолжается рассмотрение топологических пространств.
Такое строение книги понятно, так как первые страницы являются вводными и напоминающими для людей, которых она предназначена. Книгу может читать в принципе и первокурсник, только над первыми 2 страницами ему придется долго биться. Тоже самое получилось и с вашей статьей есть 1-2 страницы, но нету книги! Мне кажется надо было написать 2 статьи теоретическая и практическая и подробно останавливаться на теории с примерами, если вы хотели действительно рассказать теорию!
Пока осилил одну треть теории :) Есть замечания:
1.
На первых 2 страницах выписываются все школьные определения и определения 1-3 курса, а дальше со словами эта, эта и эта теорема очевидна, продолжается рассмотрение топологических пространств.
Такое строение книги понятно, так как первые страницы являются вводными и напоминающими для людей, которых она предназначена. Книгу может читать в принципе и первокурсник, только над первыми 2 страницами ему придется долго биться. Тоже самое получилось и с вашей статьей есть 1-2 страницы, но нету книги! Мне кажется надо было написать 2 статьи теоретическая и практическая и подробно останавливаться на теории с примерами, если вы хотели действительно рассказать теорию!
Пока осилил одну треть теории :) Есть замечания:
1.
Натуральные числа как объекты, матрицы как морфизмы. Перемножение матриц будет играть роль композиции, а единичная матрица NxN будет единичным морфизмом N → N.
Наверно имелось в виду вектор N из натуральных чисел, иначе как действует морфизм (матрица) на число?
2. Категории образуют категорию? Тут надо быть крайне осторожным и пояснить, что некоторое множество категорий образуют категорию, потому как в общем случае класс категорий не является множеством и в вашем определение не может образовывать категорию.
Наверно имелось в виду вектор N из натуральных чисел, иначе как действует морфизм (матрица) на число?
Никак не действует. Автор специально в начале статьи критикует термин морфизм для обозначения стрелок — стрелки совсем не обязаны быть преобразованиями и действовать на объекты. Всё, что нужно — чтобы выполнялись аксиомы категории.
Категории образуют категорию?
Лирическое отступление про малые категории в статье присутствует, его недостаточно? Не думаю, что было бы уместно придерживаться строго формальных определений в популярной статье.
Я читал, что не действует. Но как если есть число 5 и (морфизм) матрица [[1,2],[3,4]] определить чему оно соответствует. Или даже так у нас есть 2 числа A=5, B=4 как определить множество морфизмов? А то получается объекты категории могут быть «огурцами», а морфизмами матрицами.
Или имелось в виду скалярное произведение?
Или имелось в виду скалярное произведение?
А то получается объекты категории могут быть «огурцами», а морфизмами матрицами.
Вы только композицию и единичную матрицу определите, чтобы ассоциативно с огурцами было.
А вообще, вы не можете представить функцию, которая из 5 сделает [[1,2],[3,4]]?
Нашел определение (и теперь ясно, почему числа натуральные): каждой паре чисел n, m ставится в соответствие стрелка n->m, которая является множеством всех матриц m x n, что в статье было опущено. То есть главное не сами числа, а размер матриц, который они задают.
(Mat) which has as objects the natural numbers N and for which Hom(Mat)(m; n) is the set of all real (mn)-matrices, idn: n! n is the unit matrix, and the composition is defined by A.B = BA,
where BA is the usual multiplication of matrices.
where BA is the usual multiplication of matrices.
О, понятно. Тут еще один важный момент в статье опущен:
«причём каждому морфизму соответствует единственные A и B» (Википедия).
Так хотя бы понятно становится, что множество элементов состоит из 1 элемента N, а единичный морфизм единичная матрица. Кстати, пример очень хороший, если понять :)
P.S.: Если объекты все числа, а морфизмы все матрицы (1x2, 2x1, ...), то тогда непонятно что такое единичный морфизм.
«причём каждому морфизму соответствует единственные A и B» (Википедия).
Так хотя бы понятно становится, что множество элементов состоит из 1 элемента N, а единичный морфизм единичная матрица. Кстати, пример очень хороший, если понять :)
P.S.: Если объекты все числа, а морфизмы все матрицы (1x2, 2x1, ...), то тогда непонятно что такое единичный морфизм.
Объекты в данном случае не огурцы, а натуральные числа — размерности матриц. Множество стрелок между объектами A и B (A=5, B=4) — это множество всех матриц, размерности AxB (5x4 в данном случае).
Спасибо за замечание; поправил это в английском оригинале.
Любая группа может быть рассмотрена как категория: группа элементов это морфизмы над единственным объектом.
Тождественная функция это нейтральный элемент группы. А композицией является умножение.
Мне кажется этот пример стоило бы записать по-другому, если я правильно понял:
1. Объектами категории — являются элементы группы.
2. Морфизмами категории — являются операции умножения элементов группы справа (операция умножения ассоциативна, а id морфизмом является единичный элемент).
Как я понял может быть несколько категорий? Когда морфизмы это умножение только на единичный элемент справа? Или на специальное подгруппу вводящее все элементы в эту подгруппу.
Тождественная функция это нейтральный элемент группы. А композицией является умножение.
Мне кажется этот пример стоило бы записать по-другому, если я правильно понял:
1. Объектами категории — являются элементы группы.
2. Морфизмами категории — являются операции умножения элементов группы справа (операция умножения ассоциативна, а id морфизмом является единичный элемент).
Как я понял может быть несколько категорий? Когда морфизмы это умножение только на единичный элемент справа? Или на специальное подгруппу вводящее все элементы в эту подгруппу.
Неправильно. Ну то есть это совсем другой пример.
Категория C из одного объекта A — это моноид (тройка вида Hom(A, A) (множество всех стрелок из A в себя же), операция композиции стрелок, единичная стрелка). если потребовать, чтобы все стрелки были изо- (то есть обратимыми), получим группу.
Если таким образом мы определим группу в категории множеств, получим обычную группу. Если таким же образом определим группу, например, в категории гладких многообразий, получим группу Ли.
Что же касается «может быть несколько» — категория это всего лишь (достаточно слабая) алгебраическая структура. Выделить её можно везде, где удовлетворяются её аксиомы.
Категория C из одного объекта A — это моноид (тройка вида Hom(A, A) (множество всех стрелок из A в себя же), операция композиции стрелок, единичная стрелка). если потребовать, чтобы все стрелки были изо- (то есть обратимыми), получим группу.
Если таким образом мы определим группу в категории множеств, получим обычную группу. Если таким же образом определим группу, например, в категории гладких многообразий, получим группу Ли.
Что же касается «может быть несколько» — категория это всего лишь (достаточно слабая) алгебраическая структура. Выделить её можно везде, где удовлетворяются её аксиомы.
Уфф, вам бы разъясняющую статью написать :) Кажется мне, примеры должны быть рассмотрены очень обстоятельно с достаточным описанием:
1. Объект категории единственный — целиком группа.
2. Каждой паре объектов категории, а она всего одна, соответствует множество морфизмов, а именно элементы группы.
3. Для морфизмов естественным образом определена композиция, как умножение элементов в группе.
4. Так как объект единственный, то определить можно один тождественный морфизм, это и есть единица группы.
Абсолютно согласен, что для данного примера понятие группы избыточно, так как не используется обратимость элементов в группе.
1. Объект категории единственный — целиком группа.
2. Каждой паре объектов категории, а она всего одна, соответствует множество морфизмов, а именно элементы группы.
3. Для морфизмов естественным образом определена композиция, как умножение элементов в группе.
4. Так как объект единственный, то определить можно один тождественный морфизм, это и есть единица группы.
Абсолютно согласен, что для данного примера понятие группы избыточно, так как не используется обратимость элементов в группе.
Касательно предложенного определения группы — имейте в виду, что стрелка в категории не является бинарной операцией. У неё есть домен, есть кодомен — и всё. Для того, чтобы задавать бинарные операции на объектах категории, имеющегося определения уже будет мало (для этого нужна моноидальная категория).
каждое состояние машина становится функцией
Пепервод ужасен: во-первых, подстрочник с английского; во-вторых, изобилует подобными ошибками. И без того не самый простой текст читать в таком виде становится весьма затруднительно.
не очень понятно замечание «мы не можем ожидать, что «все объекты» или «все стрелки из a к b» образуют множество». неужели фраза «все стрелки из a к b» не определяет множество? и что же она тогда определяет?
причём из Баеза: «категория C состоит из… и множеств hom(a,b) морфизмов из a в b для каждой пары a, b»
причём из Баеза: «категория C состоит из… и множеств hom(a,b) морфизмов из a в b для каждой пары a, b»
неужели фраза «все стрелки из a к b» не определяет множество? и что же она тогда определяет?
Класс. Категория — это (как правило) некоторая теоретико-множественная модель метакатегории; в качестве аксиоматики для построения модели используют (опять же, как правило) NBG — сиречь, разделяют множества (set) и классы (proper class). Цель подобного разделения — избежание парадокса Рассела (категория всех категорий подвержена ему в той же мере, что и множество всех множеств).
Как подобное разделение спасает от парадокса Рассела? «Класс» — это то же «множество», только с дополнительным «атрибутом» isClass. Если рассмотреть множество всех классов множеств, получаем ту же историю: «найти класс множеств, который не включен ни в одно множество классов».
не получаем. если бы вы удосужились хотя бы почитать википедию, вы бы знали, что описанная вами (парадоксальная) конструкция в NBG невозможна
Не согласен; категория — это не теоретико-множественная модель. В категориях можно построить теорию множеств (ну точнее, в топосе с NNO); можно и наоборот — но эти две теории независимы.
Нет, не определяет. Теория категорий не нуждается в теории множеств. Теория множеств, как говорят сторонники интеллигентного дизайна — всего лишь теория; и их много разных.
За статью спасибо. Но если честно, на середине я потерял ход мысли. Возможно, после третьего или пятого прочтения пойму.
// Почему среди математиков так мало людей, умеющих объяснять вещи доступным (нам, простым смертным) языком?
// Почему среди математиков так мало людей, умеющих объяснять вещи доступным (нам, простым смертным) языком?
Обычно математикам нужно объяснять только другим математикам, а там ценится краткость и умение абсолютно точно выразить некоторую истину.
К сожалению, иногда за этой точностью и краткостью скрывается пустота. Или даже не иногда, а часто… Великие математики, всё же, умели простым языком всё объяснить.
Великие — это какие? Знаете, через сколько лет работа Галуа была оценена сообществом? А знаете, почему?
Популярное изложение и хорошее научное изложение — разные вещи. Розенфельд писал предельно просто, но сжато и с минимумом учебных примеров — для специалиста его книги на вес золота, но неспециалист вряд ли извлечёт из них много пользы. Означает ли это, что он писал плохо? Не думаю. Арнольд, с другой стороны, минимально использовал формализмы, и делал упор на интуитивные примеры (предполагая множество вещей самоочевидными и не требующими пояснений). Скрывалась ли за его краткостью пустота? Тоже вряд ли.
Популярное изложение и хорошее научное изложение — разные вещи. Розенфельд писал предельно просто, но сжато и с минимумом учебных примеров — для специалиста его книги на вес золота, но неспециалист вряд ли извлечёт из них много пользы. Означает ли это, что он писал плохо? Не думаю. Арнольд, с другой стороны, минимально использовал формализмы, и делал упор на интуитивные примеры (предполагая множество вещей самоочевидными и не требующими пояснений). Скрывалась ли за его краткостью пустота? Тоже вряд ли.
А вот Вы не хотели бы изучить японский за полчаса, по слайдам?
Требуется время. И не вините японцев, что у них канджи сложная, и катакана ни к чему.
Требуется время. И не вините японцев, что у них канджи сложная, и катакана ни к чему.
Последнее предложение как-то противоречит начальным заявлениям о том, что монады нужно знать, как матанализ :) Ибо знание не позволяет объяснить то, зачем они в Haskell.
С житейской-то точки зрения всё просто. Монады в Haskell нужны, чтобы автоматически организовать последовательный поток данных между функциями. Для этого у нас есть >>= (bind, а не join, кстати), который позволяет взять функцию и «подшить» её в цепочку вызовов. И это, кстати, не сама mu, а T(mu), ну, если верить сигнатурам.
Ну да, если так делать — получится монада. Но я вот не думаю, что разработчики Haskell прямо так и хотели вшить в язык нечто монадическое. Просто потом оказалось, что придуманный ими механизм — это монада.
С житейской-то точки зрения всё просто. Монады в Haskell нужны, чтобы автоматически организовать последовательный поток данных между функциями. Для этого у нас есть >>= (bind, а не join, кстати), который позволяет взять функцию и «подшить» её в цепочку вызовов. И это, кстати, не сама mu, а T(mu), ну, если верить сигнатурам.
Ну да, если так делать — получится монада. Но я вот не думаю, что разработчики Haskell прямо так и хотели вшить в язык нечто монадическое. Просто потом оказалось, что придуманный ими механизм — это монада.
join в Haskell тоже есть, определения через join/return и bind/return эквивалентны. А чтобы не думать, чего хотели разработчики Haskell, можно почитать историю языка.
Напротив. Была такая проблема, что нечистый код никак не формализовать. И тут появился Моджи с монадической интерпретацией; хаскельцы за него схватились, и таким образом более-менее формально (и не всегда так уж правильно) впендюрили в Хаскель монаду.
Где аналогии, конкретные примеры и показательные иллюстрации?
Это просто мысли в слух человека, который в этом варится?
Термины не определены, наглядных примеров к определениям нет.
Тройка.
Это просто мысли в слух человека, который в этом варится?
Термины не определены, наглядных примеров к определениям нет.
Тройка.
На мой взгляд этой статьей Вы ещё больше всё запутали, нет с точки зрения математики и теории категорий всё верно. А вот с точки зрения прагматики и конкретно разработки ПО нет ничего. Какие задачи в разработке ПО позволяет решать теория категория вообще и монады в частности? Какие аналогии между категориями(монадами) и конкретными программистскими решениями просматриваются? Как мне, проектировщику ПО, эти категории(монады) помогут в моей работе?
С точки зрения математики всё ясно — это ещё один уровень абстракции позволяющий оперировать объектами разной математической природы с помощью единого матаппарата. С точки зрения утилитарной непонятно ничего. Придать концептуальную чистоту хаскелю — это локальная проблема адептов и авторов хаскеля — к индустрии производства и разработки ПО это отношения не имеет. Вот Вы упомянули мэп-редьюс и все как-то оживились, правильно, — все знают, что мэп-редьюс это реальная технология, которую можно пощупать и, более того, использовать в своих решениях — значит есть смысл разбираться. Никто, из действующих разработчиков, не будет изучать технологию, я уж не говорю о её теоретических основах, если не будет знать конкретно — какое множество задач можно с её помощью решать. Это не из снобизма, или тупости — инженерам-разработчикам слишком много нужно держать в голове, и порой это знания эмпирические и эвристические, которые невозможно вывести логическим путём из теории, а только запомнить и научиться применять на интуитивном уровне. Просто нет ни времени, ни ресурсов на усвоение чисто-теоретических знаний. Вот если Вы в начале статьи дадите перечень практических возможностей и круг решаемых задач, тогда для читателя не будут страшны ни Ваши стрелочки, ни эндоморфизмы, ни прочие математические кунштюки.
И при этом, Вы не обижайтесь, изложено всё очень сумбурно — такое ощущение, что Вы сами недавно разобрались с этим предметом и решили представить свои умозаключения в публичном виде. Это похвально, но Вы указали лишь реперные точки своих умозаключений, опустив рассуждения и это делает изложение ещё более запутанным, чем если бы это было описано чисто математическим языком. К сожалению это не только Ваша беда, таким подходам грешат практически все «переводы» академических работ, выкладываемых, якобы для научно-популярного обозрения — ни рыба — ни мясо. Для научной статьи слишком фривольно, для научно-популярной — слишком не понятно — и не понятно — зачем? — В чём практическая польза от использования теории категорий в повседневной жизни, в данном случае, разработчика ПО.
С точки зрения математики всё ясно — это ещё один уровень абстракции позволяющий оперировать объектами разной математической природы с помощью единого матаппарата. С точки зрения утилитарной непонятно ничего. Придать концептуальную чистоту хаскелю — это локальная проблема адептов и авторов хаскеля — к индустрии производства и разработки ПО это отношения не имеет. Вот Вы упомянули мэп-редьюс и все как-то оживились, правильно, — все знают, что мэп-редьюс это реальная технология, которую можно пощупать и, более того, использовать в своих решениях — значит есть смысл разбираться. Никто, из действующих разработчиков, не будет изучать технологию, я уж не говорю о её теоретических основах, если не будет знать конкретно — какое множество задач можно с её помощью решать. Это не из снобизма, или тупости — инженерам-разработчикам слишком много нужно держать в голове, и порой это знания эмпирические и эвристические, которые невозможно вывести логическим путём из теории, а только запомнить и научиться применять на интуитивном уровне. Просто нет ни времени, ни ресурсов на усвоение чисто-теоретических знаний. Вот если Вы в начале статьи дадите перечень практических возможностей и круг решаемых задач, тогда для читателя не будут страшны ни Ваши стрелочки, ни эндоморфизмы, ни прочие математические кунштюки.
И при этом, Вы не обижайтесь, изложено всё очень сумбурно — такое ощущение, что Вы сами недавно разобрались с этим предметом и решили представить свои умозаключения в публичном виде. Это похвально, но Вы указали лишь реперные точки своих умозаключений, опустив рассуждения и это делает изложение ещё более запутанным, чем если бы это было описано чисто математическим языком. К сожалению это не только Ваша беда, таким подходам грешат практически все «переводы» академических работ, выкладываемых, якобы для научно-популярного обозрения — ни рыба — ни мясо. Для научной статьи слишком фривольно, для научно-популярной — слишком не понятно — и не понятно — зачем? — В чём практическая польза от использования теории категорий в повседневной жизни, в данном случае, разработчика ПО.
Промахнулся комментарием. Вот это должно было быть здесь.
И что? А изложено так будто только что разобрались и решили поделиться этим знанием с окружающими. Я ещё раз подчёркиваю, что Вы написали не понятно что — это не научный доклад, и не научно-популярная статья, и даже не ознакомительный материал — на пальцах. Простите, но теория ради теории ценна только для теоритиков, для практиков ценно применение. Я понимаю гугль, мэп-редьюс и всё такое, но это готовое решение и им успешно пользуются люди даже не подозревая о наличии монад. От статьи, лично я, ожидал следующего: В разработке ПО часто встречается следующая задача — далее формулировка, для её решения в относительно общем виде мы применим теорию категорий — объяснение — как, с попутным изложением материала из теории категорий с привязкой к конкретной задаче. Вы же предпочли запостить ссылку на опыт знакомства с теорией категорий.
Я, если что, ничего кроме комментариев в этом треде не писал. Не надо считать меня автором исходной статьи. Зачем я запостил ссылку, я пояснил.
Что касается ожиданий и недопониманий — в этом треде я уже не менее двух раз предлагал объяснить непонятные моменты. Конкретных вопросов пока не последовало. Если они есть у вас — прошу, не стесняйтесь.
И да — пользователи LINQ могут ничего не знать о наличии монад, но автор LINQ о них прекрасно осведомлён. Именно благодаря этому у LINQ в принципе есть пользователи.
Что касается ожиданий и недопониманий — в этом треде я уже не менее двух раз предлагал объяснить непонятные моменты. Конкретных вопросов пока не последовало. Если они есть у вас — прошу, не стесняйтесь.
И да — пользователи LINQ могут ничего не знать о наличии монад, но автор LINQ о них прекрасно осведомлён. Именно благодаря этому у LINQ в принципе есть пользователи.
Очень смешные возражения. Я такие слышал в адрес языком программирования (на ассемблере лучше), в адрес ООП, в адрес ФП, в адрес джавы — каждый раз приходит невежественный умник и объявляет, что в народном хозяйстве оно не треба.
Вам не треба, вы и не кушайте. Этот текст не для Вас; Вы прекрасно докантуетесь до пенсии без всех этих сложностей. Скорее всего.
Вам не треба, вы и не кушайте. Этот текст не для Вас; Вы прекрасно докантуетесь до пенсии без всех этих сложностей. Скорее всего.
Вы больны дислексией. Я дал отзыв о статье, а не о теории категорий. С теорией категорий я знаком и, более того, использую в своих проектах. А такие умники как Вы учат наизусть талмуды не потрудившись их понять, по одной простой причине: страсть к моде и попугайству заложены с детства. Общаться далее не наумерен: убогим — убогово.
Ой. Извините. Одичал тут в Америке. Отвык уже общаться в таком агрессивном стиле. Вообще зря полез; употребляйте вы себе на доброе здоровьичко, и всего вам хорошего. Как проектировщик ПО, использующий их в своих проектах, Вы могли бы рассказать о своём опыте.
Ну типа там вот у Вас монада крутит динамо-машину, или что-нибудь в таком духе. Токарные станки, бухгалтерия, всё такое.
Извините. Действительно отвык общаться с полоумными идиотами. Вы как-нибудь устаканьтесь, или Вы в курсе, шо це за параша, декартово замкнутые категории (шукайте, шукайте на гугле), или же Вы не знаете, и чешете репу, куда ж бы это их употребить в народном хозяйстве.
Ну типа там вот у Вас монада крутит динамо-машину, или что-нибудь в таком духе. Токарные станки, бухгалтерия, всё такое.
Извините. Действительно отвык общаться с полоумными идиотами. Вы как-нибудь устаканьтесь, или Вы в курсе, шо це за параша, декартово замкнутые категории (шукайте, шукайте на гугле), или же Вы не знаете, и чешете репу, куда ж бы это их употребить в народном хозяйстве.
Не особо желая дискутировать по поводу применимости (здесь уже полный топик подобных комментариев), оставлю лишь заметку автора статьи о своих отношениях с теорией категорий. Просто за недавно разобрались глаз зацепился.
Так автора и призывают подробнее вот об этом:
11. Now here in California, the word «monad» rings the bell. So I honesty try to put it in the proper perspective, writing some kind of «tutorials» and «talks», writing again the code that calculates stuff, opening presheaf.com, and ready to talk to anybody willing to listen.
11. Now here in California, the word «monad» rings the bell. So I honesty try to put it in the proper perspective, writing some kind of «tutorials» and «talks», writing again the code that calculates stuff, opening presheaf.com, and ready to talk to anybody willing to listen.
А есть возможность отличить группу от моноида? Ведь и то, и другое — один объект с набором морфизмов в себя.
(прошу прощения за некропостинг, но вдруг кто-то ответит)
Меня смущает пример про естественное преобразование и функтор точки. Кажется, что существование стрелки a -> b в C не является необходимым для существования естественного преобразования Point_a ->Point_b. Ведь единственная стрелка, с которой естественное преобразование должно быть совместимо — это единичная стрелка в категории 1 (которая отображается на единичную стрелку в категории С).
Меня смущает пример про естественное преобразование и функтор точки. Кажется, что существование стрелки a -> b в C не является необходимым для существования естественного преобразования Point_a ->Point_b. Ведь единственная стрелка, с которой естественное преобразование должно быть совместимо — это единичная стрелка в категории 1 (которая отображается на единичную стрелку в категории С).
Возник вопрос по определению естественного преобразования. Возможно, в его формальном определении находится ошибка:
для всех
верно равенство:
Ведь, если взять определение функтора, то получится 
. Однако, по определению естественного преобразования получаем для 
:
.
Итого, возникает противоречие, так как "выход" первой стрелки должен по идее быть такой же, как и "вход" второй стрелки
.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Монады с точки зрения теории категорий