Теория динамического хаоса давно является популярной (можно сказать, «модной») темой среди интеллектуалов — технарей, айтишников, даже гуманитариев.
Околонаучные книги и интернет-страницы о хаосе экплуатируют одни и те же модели, известные чуть ли не с XIX века: фракталы, турбулентность, логистическое отображение…
Между тем, в последние 10 лет стало понятно, что динамический хаос (наравне с самоорганизацией) —
ключ к пониманию мироздания, в том числе происхождения и работы нашего сознания.
Серьёзные монографии на эту тему требуют высокого уровня подготовки и математической культуры.
(У кого таковой имеется, рекомендую:
А.Б. Каток, Б. Хасселблат «Введение в современную теорию динамических систем»).
Разумеется, есть примеры сбалансированного подхода:
Есть и сайты содержательные:
Саратовская группа нелинейной динамики
Загадочный сайт
Вот довольно свежая, интересная публикация об иерархии хаоса, критериях стохастичности.
Математика там только выглядит пугающе; достаточно знания теории множеств.
Здесь я хотел бы осветить похожую тему: разобрать один из критериев случайности и
предложить домашний эксперимент для само-анализа.
Критериев и тестов на случайность существует огромное количество.
В вышеупомянутой статье убедительно показано: двоичного ответа на вопрос «хаос или нет?» не существует.
От фигур Лиссажу, плотно заштриховывающих экран, до гипер-хаоса высоких размерностей,
не отличимого от бросания «честной» кости — все эти системы можно оценивать разными методами
(корреляции, спектр, перемешивание...), получая иерархию хаоса. Больше подходов — больше ликов Хаоса…
Моё знакомство с Хабром, например, началось с этой статьи
об одном способе отображения временных рядов. Нечто похожее однажды сам придумал; не ожидал, что это настолько мощный метод визуализации.
И всё-таки, человеческое сознание склонно искать определённость, универсальность.
Ну хорошо, пусть случайность — это огромная пагода, от чёткой синусоиды до турбулентности…
Но так интересно (а иногда и очень важно) найти универсальный «хаосометр», причём отображающий результаты стрелкой, в процентах. Разумеется, подобные методы известны. Степень затухания корелляций, показатели Ляпунова имеют конкретные числовые значения.
Автокорреляционные функции для случайных чисел, сложного сочетания sin и cos и количества солнечных пятен:
Но всё не так просто. Некоторые методы требуют повторного, многократного получения рядов данных, что не всегда возможно. Это относится ко всем методам, использующим понятие «расходимости траекторий».
Для других нужна аналитическая модель явления. За построение такой модели для ряда
чисел, называемых «простыми», можно и миллион ненароком получить…
Стремление докопаться до сути привело меня в своё время к эпическому учебнику Дональда Кнута
«Искусство программирования». Во 2-м томе есть раздел 3.5 "Что такое случайная последовательность?".
Там Кнут разбирает понятие ∞-распределённости и пишет:
Это было сказано в 1966 году, но и сейчас «метод Кнута» является (имхо) самым фундаментальным.
Предлагаю всем перечитать эту главу, благо математика там доступна буквально для старшеклассников.
Здесь изложу некую адаптацию, которую легко использовать на практике.
1. Любые данные могут быть представлены в виде последовательности нулей и единиц.
Как их корректно привести к такому виду — отдельный вопрос; в принципе, анализ распределённости можно проводить и для Real, и для Integer, и даже для символов. Мы будем работать с ...01011000111…
2. «Больным местом» является длина записи. Можно ли любой ряд из 5-ти нулей и единиц считать случайным или детерминированным?! А из 100?.. Это приводит нас к известному парадоксу «куча или нет?»
Кнут разбирает этот вопрос в пункте Е.
3. Займёмся, наконец, анализом. Подсчитаем количество нулей и единиц в записи.
Пусть в последовательности длины N имееся n нулей и N-n единиц. Относительные их количества r1 = n/N,
r2 = 1 — r1 — первая характеристика хаотичности. Если они сильно отличаются, данные явно не случайны.
«Насколько сильно?» — еще один «скользкий» вопрос. Однозначного ответа нет, но можно воспользоваться статметодами.
Если же доли нулей и единиц примерно равны, то ничего определённого сказать нельзя.
Ведь в строго периодическом ряду 1010101010101… они тоже равны!
4. Разобьём запись на пары. Можно по-разному:
{abcdef...} -> {{ab}, {cd}, {ef},...} или {abcdef...} -> {{ab}, {bc}, {cd}, {de}, ...}
Честно говоря, не изучал, какой способ корректнее. Но способ с перекрытием даёт больше пар; используем его.
Из m различных объектов можно образовать m^2 пар. В нашем случае это {00}, {01}, {10}, {11}.
Подсчитаем их относительное количество; к полученному набору из четырёх чисел можно применить различные статистические критерии степени разброса, дисперсии.
Смысл один — если каких-то пар больше, имеется закономерность. Например, в ряду 101010101… вообще нет 00 и 11.Равнораспределённость пар говорит о возможном хаосе, но с той же оговоркой, что и раньше.
Так «могло быть задумано».
5. Дальнейшие шаги, думаю, понятны. Образуем тройки (их будет 2^3 = 8), четвёрки и т.д.
и будем проверять их распределённость.
По Кнуту, последовательность, равнораспределённая для всех наборов, является чистым, настоящим хаосом.
На практике имеет смысл анализировать наборы длиной не более ld(N) (ld — логарифм по основанию 2).
Если они все равнораспределены — ряд данных хаотичен, насколько позволяет судить его длина.
Особенности разброса гистограмм для разных наборов может дать ценные сведения о природе явления.
Вот гистограммы для цифр числа «Пи», остатков от деления простых чисел на 13 (почему они? Это отдельный вопрос) и направлений ветра в Москве за 2012 г. (для наглядности данные приводились не к двоичной, а к десятичной форме)
А теперь обещанный домашний эксперимент (изложен в М.Шредер «Фракталы, хаос, степенные законы»).
Откроем Блокнот и положим указательные пальцы рук на «0» и «1» клавиатуры.
Задача — набить случайную последовательность нулей и единиц.
Тем, кто прочитал эту статью, уже известно, как мы собираемся оценивать степень случайности.
Но поверьте, это почти не имеет значения для дальнейших выводов. Для чистоты опыта, стоит, конечно,
предложить его тому, кто «не в курсе».
Данных должно быть побольше. Так что лучше закрыть глаза, настроится на Хаос Внутри.
Можно поставить неритмичную музыку типа dark ambient noise…
Итак, телеграмма получена. Думаю, большинство уважаемых хабровчан сможет написать свою програмку
для анализа «по Кнуту». На Mathematica она занимает 3 строчки.
Возможно, в R есть подходящая библиотека, хотя не уверен.
Предлагаю воспользоваться апплетом на GeoGebra(любимая игрушка после Wolfram Mathematica).
Необходим свежий Java-plugin; может, придётся перегрузить страницу.
Нажимая кнопки, посмотрите данные анализа трёх пресетов.
Скопируйте своё произведение, наберите в строке ввода апплета text="" и вставьте данные
между кавычек (text=«100110101»); нажмите Enter; символы кроме 0,1 игнорируются.
Итак, что же мы увидим?
Если у вас заметно отличаются количества нулей и единиц — этоклини интересно.
Возможно, вы постоянно пользуетесь мышью, игнорируя hotkeys. Или много стреляете…
Обычно их примерно поровну. А вот уже пары дают удивительный результат.
У большинства «подопытных» {01} и {10} чуть ли не в два раза больше, чем {00} и {11}.
С тройками и четвёрками еще хуже. Один знакомый умудрился набить свыше тысячи знаков
без единой {0000} и {1111}!
Для Homo Sapiens понятие «хаос» устойчиво связано с чередованием, постоянным переключением.
Причём эта связь находится не только на сознательном уровне. Попробуйте, зная всё вышеизложенное, опять понабивать случайные цифры. В лучшем случае удастся «выровнять» содержание пар.
Между тем Истинный Хаос — это не просто отсутствие порядка;
это все возможные виды упорядоченности и структур «в одном флаконе»!
Когда я упоминал о связи нашего сознания с динамическим хаосом, то, конечно, не имел в виду его стохастичность
на всех уровнях. Можно развить идею эксперимента — порисовать каракули на планшете, издавать случайные звуки… Анализ покажет тенденцию к простому «тасованию», не более.
Мы не можем имимитировать хаос; и всё же «он где-то рядом».
Надеюсь написать об этом подробнее в следующих постах.
Околонаучные книги и интернет-страницы о хаосе экплуатируют одни и те же модели, известные чуть ли не с XIX века: фракталы, турбулентность, логистическое отображение…
Между тем, в последние 10 лет стало понятно, что динамический хаос (наравне с самоорганизацией) —
ключ к пониманию мироздания, в том числе происхождения и работы нашего сознания.
Серьёзные монографии на эту тему требуют высокого уровня подготовки и математической культуры.
(У кого таковой имеется, рекомендую:
А.Б. Каток, Б. Хасселблат «Введение в современную теорию динамических систем»).
Разумеется, есть примеры сбалансированного подхода:
- Г.М. Заславский, Р.М. Сагдеев «Введение в нелинейную физику»
- С.П. Кузнецов «Динамический хаос»
- А. Лихтенберг, М. Либерман «Регулярная и стохастическая динамика»
Есть и сайты содержательные:
Саратовская группа нелинейной динамики
Загадочный сайт
Вот довольно свежая, интересная публикация об иерархии хаоса, критериях стохастичности.
Математика там только выглядит пугающе; достаточно знания теории множеств.
Здесь я хотел бы осветить похожую тему: разобрать один из критериев случайности и
предложить домашний эксперимент для само-анализа.
Критериев и тестов на случайность существует огромное количество.
В вышеупомянутой статье убедительно показано: двоичного ответа на вопрос «хаос или нет?» не существует.
От фигур Лиссажу, плотно заштриховывающих экран, до гипер-хаоса высоких размерностей,
не отличимого от бросания «честной» кости — все эти системы можно оценивать разными методами
(корреляции, спектр, перемешивание...), получая иерархию хаоса. Больше подходов — больше ликов Хаоса…
Моё знакомство с Хабром, например, началось с этой статьи
об одном способе отображения временных рядов. Нечто похожее однажды сам придумал; не ожидал, что это настолько мощный метод визуализации.
И всё-таки, человеческое сознание склонно искать определённость, универсальность.
Ну хорошо, пусть случайность — это огромная пагода, от чёткой синусоиды до турбулентности…
Но так интересно (а иногда и очень важно) найти универсальный «хаосометр», причём отображающий результаты стрелкой, в процентах. Разумеется, подобные методы известны. Степень затухания корелляций, показатели Ляпунова имеют конкретные числовые значения.
Автокорреляционные функции для случайных чисел, сложного сочетания sin и cos и количества солнечных пятен:
Но всё не так просто. Некоторые методы требуют повторного, многократного получения рядов данных, что не всегда возможно. Это относится ко всем методам, использующим понятие «расходимости траекторий».
Для других нужна аналитическая модель явления. За построение такой модели для ряда
чисел, называемых «простыми», можно и миллион ненароком получить…
Стремление докопаться до сути привело меня в своё время к эпическому учебнику Дональда Кнута
«Искусство программирования». Во 2-м томе есть раздел 3.5 "Что такое случайная последовательность?".
Там Кнут разбирает понятие ∞-распределённости и пишет:
«Автор утверждает, что это определение точно удовлетворяет всем разумным философским требованиям случайности, а значит, отвечает на основной вопрос, поставленный в этом разделе»
Это было сказано в 1966 году, но и сейчас «метод Кнута» является (имхо) самым фундаментальным.
Предлагаю всем перечитать эту главу, благо математика там доступна буквально для старшеклассников.
Здесь изложу некую адаптацию, которую легко использовать на практике.
1. Любые данные могут быть представлены в виде последовательности нулей и единиц.
Как их корректно привести к такому виду — отдельный вопрос; в принципе, анализ распределённости можно проводить и для Real, и для Integer, и даже для символов. Мы будем работать с ...01011000111…
2. «Больным местом» является длина записи. Можно ли любой ряд из 5-ти нулей и единиц считать случайным или детерминированным?! А из 100?.. Это приводит нас к известному парадоксу «куча или нет?»
Кнут разбирает этот вопрос в пункте Е.
3. Займёмся, наконец, анализом. Подсчитаем количество нулей и единиц в записи.
Пусть в последовательности длины N имееся n нулей и N-n единиц. Относительные их количества r1 = n/N,
r2 = 1 — r1 — первая характеристика хаотичности. Если они сильно отличаются, данные явно не случайны.
«Насколько сильно?» — еще один «скользкий» вопрос. Однозначного ответа нет, но можно воспользоваться статметодами.
Если же доли нулей и единиц примерно равны, то ничего определённого сказать нельзя.
Ведь в строго периодическом ряду 1010101010101… они тоже равны!
4. Разобьём запись на пары. Можно по-разному:
{abcdef...} -> {{ab}, {cd}, {ef},...} или {abcdef...} -> {{ab}, {bc}, {cd}, {de}, ...}
Честно говоря, не изучал, какой способ корректнее. Но способ с перекрытием даёт больше пар; используем его.
Из m различных объектов можно образовать m^2 пар. В нашем случае это {00}, {01}, {10}, {11}.
Подсчитаем их относительное количество; к полученному набору из четырёх чисел можно применить различные статистические критерии степени разброса, дисперсии.
Смысл один — если каких-то пар больше, имеется закономерность. Например, в ряду 101010101… вообще нет 00 и 11.Равнораспределённость пар говорит о возможном хаосе, но с той же оговоркой, что и раньше.
Так «могло быть задумано».
5. Дальнейшие шаги, думаю, понятны. Образуем тройки (их будет 2^3 = 8), четвёрки и т.д.
и будем проверять их распределённость.
По Кнуту, последовательность, равнораспределённая для всех наборов, является чистым, настоящим хаосом.
На практике имеет смысл анализировать наборы длиной не более ld(N) (ld — логарифм по основанию 2).
Если они все равнораспределены — ряд данных хаотичен, насколько позволяет судить его длина.
Особенности разброса гистограмм для разных наборов может дать ценные сведения о природе явления.
Вот гистограммы для цифр числа «Пи», остатков от деления простых чисел на 13 (почему они? Это отдельный вопрос) и направлений ветра в Москве за 2012 г. (для наглядности данные приводились не к двоичной, а к десятичной форме)
А теперь обещанный домашний эксперимент (изложен в М.Шредер «Фракталы, хаос, степенные законы»).
Откроем Блокнот и положим указательные пальцы рук на «0» и «1» клавиатуры.
Задача — набить случайную последовательность нулей и единиц.
Тем, кто прочитал эту статью, уже известно, как мы собираемся оценивать степень случайности.
Но поверьте, это почти не имеет значения для дальнейших выводов. Для чистоты опыта, стоит, конечно,
предложить его тому, кто «не в курсе».
Данных должно быть побольше. Так что лучше закрыть глаза, настроится на Хаос Внутри.
Можно поставить неритмичную музыку типа dark ambient noise…
Итак, телеграмма получена. Думаю, большинство уважаемых хабровчан сможет написать свою програмку
для анализа «по Кнуту». На Mathematica она занимает 3 строчки.
Возможно, в R есть подходящая библиотека, хотя не уверен.
Предлагаю воспользоваться апплетом на GeoGebra(любимая игрушка после Wolfram Mathematica).
Необходим свежий Java-plugin; может, придётся перегрузить страницу.
Нажимая кнопки, посмотрите данные анализа трёх пресетов.
Скопируйте своё произведение, наберите в строке ввода апплета text="" и вставьте данные
между кавычек (text=«100110101»); нажмите Enter; символы кроме 0,1 игнорируются.
Итак, что же мы увидим?
Если у вас заметно отличаются количества нулей и единиц — это
Возможно, вы постоянно пользуетесь мышью, игнорируя hotkeys. Или много стреляете…
Обычно их примерно поровну. А вот уже пары дают удивительный результат.
У большинства «подопытных» {01} и {10} чуть ли не в два раза больше, чем {00} и {11}.
С тройками и четвёрками еще хуже. Один знакомый умудрился набить свыше тысячи знаков
без единой {0000} и {1111}!
Для Homo Sapiens понятие «хаос» устойчиво связано с чередованием, постоянным переключением.
Причём эта связь находится не только на сознательном уровне. Попробуйте, зная всё вышеизложенное, опять понабивать случайные цифры. В лучшем случае удастся «выровнять» содержание пар.
Между тем Истинный Хаос — это не просто отсутствие порядка;
это все возможные виды упорядоченности и структур «в одном флаконе»!
Когда я упоминал о связи нашего сознания с динамическим хаосом, то, конечно, не имел в виду его стохастичность
на всех уровнях. Можно развить идею эксперимента — порисовать каракули на планшете, издавать случайные звуки… Анализ покажет тенденцию к простому «тасованию», не более.
Мы не можем имимитировать хаос; и всё же «он где-то рядом».
Надеюсь написать об этом подробнее в следующих постах.