Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 93
Вообще-то теорема Фермы доказана в 1995 году.
Это разные теоремы. Там великая теорема Ферма.
Согласен, что великая теорема Фермы и гипотеза Била — разные.
Просто в топике написано «А над доказательством великой теоремы Ферма математики бьются с 1637 года», что не совсем так.
Удивительно в теореме Фермы то, что сам Ферма её сформулировал, и сказал, что нашёл удивительное доказательство (a truly marvelous proof). И 358 лет после этого никто не мог её доказать. Это сделал британец в 1995, но его доказательство основано на последних достижениях математики — в работе над эллиптическими кривыми и модулярными формами, которых совершенно не было во времена Фермы
Просто в топике написано «А над доказательством великой теоремы Ферма математики бьются с 1637 года», что не совсем так.
Удивительно в теореме Фермы то, что сам Ферма её сформулировал, и сказал, что нашёл удивительное доказательство (a truly marvelous proof). И 358 лет после этого никто не мог её доказать. Это сделал британец в 1995, но его доказательство основано на последних достижениях математики — в работе над эллиптическими кривыми и модулярными формами, которых совершенно не было во времена Фермы
Есть много правдоподобных ошибочных доказательств. Некоторые из них были известны уже во времена самого Ферма. Высока вероятность, что сам Ферма нашел одно из них.
Или он просто тролль 80 лвл
Вообще, насколько я знаю, это была характерная манера Ферма. Он не любил публиковаться, даже само перечисление полученных результатов из него приходилось вытягивать клещами. Обычно он формулировал теорему, и предлагал сообществу попробовать доказать ее самостоятельно. И, если я правильно понимаю, до эпизода с указанной теоремой ошибочных утверждений он не допускал. Да и тут в общем-то оказался прав.
Обычно в качестве аргумента в пользу того, что у Ферма не было доказательства, приводят то, что он опубликовал доказательство для частного случая n=4, что странно, если у него было общее.
Не претендую на истину (вообще, мне и самому кажется, что общий случай самим Ферма если и был доказан, то содержал ошибку, вроде 2^32+1). Тем не менее, публикации как таковой, вообще говоря, не было. Была личная переписка, где он предлагал доказать частные случаи для n=3 и n=4, а потом сам приводил доказательства для них. Могу что-то путать.
Из фамилий на ударяемые -а склоняются только славянские: У писателя Майбороды, к философу Сковороде, фильмы Александра Митты.
http://www.evartist.narod.ru/text1/57.htm
x, y, z должны быть разными или это не важно?
Тк не сказано обратного — значит не важно вроде как
должны быть одинаковые >2. по крайней мере в т. Ферма
Если все будут одинаковыми, то получится теорема Ферма, а она уже доказана. Так что можно считать, что какие-то из них разные. Если это поможет в доказательстве или переборе.
Если гипотеза Била и теорема Ферма связаны, разве нельзя просто вывести из существующего доказательства теоремы эту гипотезу или её опровержение?
Гипотеза Била — вполне подходящий кандидат на утверждение,
которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в системе, основанной на арифметике.
(Теорема Гёделя)
Долгое время считалось, что такие утверждения должны выглядеть какими-то монстрами.
Однако вот пример такого же «простого» утверждения, как и гипотеза Била.
В 2007 году Kurtz and Simon доказали, что проблема Коллатца undecidable, т.е. не может быть не доказана, ни опровергнута.
которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в системе, основанной на арифметике.
(Теорема Гёделя)
Долгое время считалось, что такие утверждения должны выглядеть какими-то монстрами.
Однако вот пример такого же «простого» утверждения, как и гипотеза Била.
В 2007 году Kurtz and Simon доказали, что проблема Коллатца undecidable, т.е. не может быть не доказана, ни опровергнута.
Они доказали другую вещь — что если мы рассмотрим все обобщенные функции Коллатца, то не существует алгоритма, позволяющего по виду функции определить, для всех ли начальных чисел последовательность, заданная этой функцией, пройдёт через 1 (насколько я понял, свели задачу к проблеме остановки алгоритма).
Так что там не недоказуемое утверждение, а всего лишь алгоритмически неразрешимая задача. А таких много. И та же проблема остановки машины Тьюринга совсем не выглядит «монстром».
Так что там не недоказуемое утверждение, а всего лишь алгоритмически неразрешимая задача. А таких много. И та же проблема остановки машины Тьюринга совсем не выглядит «монстром».
Эти вещи тесно связаны. Я о доказательствах и алгоритмах. Доказательством считается же некоторое высказывание, которое можно проверить при помощи алгоритма. На этом и основывается доказательство теоремы Гёделя, которое тоже сводится к задаче об останове. Поэтому отсутствие алгоритма может означать и отсутствие доказательства. Надо в деталях тут разбираться.
Боюсь, что если бы было так просто, то теорема Гёделя была бы и не нужна. Доказательство неразрешимости проблемы остановки намного проще. Хотя и в том и в другом доказательстве предлагают принять на веру: в одном случае — существование «функции вывода», в другом — существование «интерпретатора машины Тьюринга, написанного на ней самой».
Интересный вопрос. Следует ли из того, что проблема остановки алгоритмически неразрешима, то, что существует программа для машины Тьюринга, про которую нельзя доказать или опровергнуть, что она остановится. Казалось бы, должна: если для всех программ мы доказать это можем, то алгоритм проверки остановки может заключаться в переборе всех цепочек вывода, закачивающихся утверждением «эта программа остановится» или «эта программа не остановится». Когда найдём среди таких цепочек корректную, получим ответ.
Но что-то я сейчас сомневаюсь, правильно ли это рассуждение. А кроме того, не исключено, что программа существует, но не существует алгоритма, позволяющего её найти :)
Но что-то я сейчас сомневаюсь, правильно ли это рассуждение. А кроме того, не исключено, что программа существует, но не существует алгоритма, позволяющего её найти :)
Что значит undecideable?
На самом деле теорема Геделя доказывает, что для некоторых утверждений невозможно вывести доказательство из аксиом и использование аппарата. На самом деле математики давно вышли из дискретного аппарата для доказательств теории чисел, та же используемая Дзета-функция никак не входит в аксиоматику целых чисел.
И другой момент, что такие утверждения можно добавлять в аксиоматику без получения противоречия. Даже используя интуиционистскую логику нельзя добавить проблему Коллатца или ее отрицание к аксиомам (не существование числа). Потому что если она окажется неверна, то обязательно найдется число и аксиоматика противоричива, если такого числа нету, то добавлять аксиому, что такое число есть, нельзя. В общем дискретные проблемы на существование никак нельзя сравнивать с Континуум-гипотезой, которая действительно непротиворичева с другими аксиомами.
На самом деле теорема Геделя доказывает, что для некоторых утверждений невозможно вывести доказательство из аксиом и использование аппарата. На самом деле математики давно вышли из дискретного аппарата для доказательств теории чисел, та же используемая Дзета-функция никак не входит в аксиоматику целых чисел.
И другой момент, что такие утверждения можно добавлять в аксиоматику без получения противоречия. Даже используя интуиционистскую логику нельзя добавить проблему Коллатца или ее отрицание к аксиомам (не существование числа). Потому что если она окажется неверна, то обязательно найдется число и аксиоматика противоричива, если такого числа нету, то добавлять аксиому, что такое число есть, нельзя. В общем дискретные проблемы на существование никак нельзя сравнивать с Континуум-гипотезой, которая действительно непротиворичева с другими аксиомами.
От целых чисел математика ушла, но продолжает оставаться в рамках теории множеств. Все теории стараются формулировать так, чтобы их объекты и операции над ними можно было сформулировать в терминах множеств (правда, потом сразу же переходят на свои термины). И «недоказуемость» той или иной теоремы, как правило, означает, что эта теорема независима от ZF (или какого-нибудь её расширения, вроде ZFC).
Почему «нельзя добавить проблему Коллатца или ее отрицание к аксиомам», если она окажется недоказуемой, тоже непонятно. Допустим мы добавили аксиому «существует 6 чисел, удовлетворяющих условиям», и в своих рассуждениях стали писать «возьмём „шестёрку Коллатца“ и получим...». Что здесь такого? Не хуже, чем «возьмём множество промежуточной мощности» в отрицании континуум-гипотезы или «возьмём бесконечное, но конечное по Дедекинду множество» в отрицании аксиомы выбора. А если мы решили добавить саму гипотезу Коллатца — ещё лучше, теперь ВТФ доказывается в одну строчку.
В общем, странная картина. С одной стороны, вроде бы, если гипотеза Коллатца (или, например, Гольдбаха) неверна, то она доказуема, поскольку существует конечный вывод, доказывающий правильность контрпримера. Но если она недоказуема, то её отрицание уж точно не противоречит аксиомам… Ну, есть такие числа. Вот только мы их не знаем и никогда не узнаем. Ну и что?
Почему «нельзя добавить проблему Коллатца или ее отрицание к аксиомам», если она окажется недоказуемой, тоже непонятно. Допустим мы добавили аксиому «существует 6 чисел, удовлетворяющих условиям», и в своих рассуждениях стали писать «возьмём „шестёрку Коллатца“ и получим...». Что здесь такого? Не хуже, чем «возьмём множество промежуточной мощности» в отрицании континуум-гипотезы или «возьмём бесконечное, но конечное по Дедекинду множество» в отрицании аксиомы выбора. А если мы решили добавить саму гипотезу Коллатца — ещё лучше, теперь ВТФ доказывается в одну строчку.
В общем, странная картина. С одной стороны, вроде бы, если гипотеза Коллатца (или, например, Гольдбаха) неверна, то она доказуема, поскольку существует конечный вывод, доказывающий правильность контрпримера. Но если она недоказуема, то её отрицание уж точно не противоречит аксиомам… Ну, есть такие числа. Вот только мы их не знаем и никогда не узнаем. Ну и что?
Дело не в этом. Лучше определиться, что мы понимаем под доказуемостью и решением, потому что спорить в общих словах можно много. Постараюсь в кратких тезисах.
— Если мы добавляем аксиому о существовании числа. Существование «некоторого» числа вполне возможно в рамках ZF, но это число не может быть счетным. Подчеркну нас интересует только счетные числа! Потому что если это число существует, значит последовательно перебирая числа (процедура перебора проста), мы найдем решение.
— Предположим число существует, тогда существует прямая возможность это доказать, а именно найти, следовательно теорема разрешима. Предположим число не существует, отсюда *не следует*, что имеется возможность доказать! Но! Это противоречит — цитата *ни доказана, ни опровергнута*.
— Это утверждение никак не относится к утверждениям Геделя, которые могут добавлять и отрицание и самостоятельно.
— Максимум, что возможно, что доказать несуществование нельзя существующим аппаратом, но опять же аппарат всегда может быть расширен, за счет какого-то очевидного (или не очень) утверждения.
— Если мы добавляем аксиому о существовании числа. Существование «некоторого» числа вполне возможно в рамках ZF, но это число не может быть счетным. Подчеркну нас интересует только счетные числа! Потому что если это число существует, значит последовательно перебирая числа (процедура перебора проста), мы найдем решение.
— Предположим число существует, тогда существует прямая возможность это доказать, а именно найти, следовательно теорема разрешима. Предположим число не существует, отсюда *не следует*, что имеется возможность доказать! Но! Это противоречит — цитата *ни доказана, ни опровергнута*.
— Это утверждение никак не относится к утверждениям Геделя, которые могут добавлять и отрицание и самостоятельно.
— Максимум, что возможно, что доказать несуществование нельзя существующим аппаратом, но опять же аппарат всегда может быть расширен, за счет какого-то очевидного (или не очень) утверждения.
Да, если число существует, то за конечное время его можно найти. Но если за (сколь угодно большое) конечное время мы его не нашли, это не значит, что «аксиома» опровергнута — просто до этого числа мы не добрались. И никогда не доберёмся, но теория-то об этом не знает. Просто «значит, это число ещё больше».
Я тут противоречия не вижу.
Я тут противоречия не вижу.
А противоречия и нету. Короче говоря, нельзя добавлять гипотезу о существовании числа к списку аксиом. Если счетное число действительно существует, значит его можно найти за конечное время, значит гипотеза не нужна. Если такое число не может быть найдено ни за какое конечное время, значит его не существует и получится противоречивая теория.
Счетные числа тем и хороши что поддаются перебору. Такое невозможно со счетными числами, что число существует, но перебором нельзя до него добраться.
Счетные числа тем и хороши что поддаются перебору. Такое невозможно со счетными числами, что число существует, но перебором нельзя до него добраться.
Не понимаю. Вот мы взяли алгоритм, который ищет (перебором) чётное число, не представимое в виде суммы двух простых. Закончит ли он работу за конечное время? Мы не знаем (предполагая, что гипотеза Гольдбаха недоказуема). Добавили аксиому о существовании контрпримера. Закончит ли теперь этот алгоритм работу? Да, закончит, как следствие из этой аксиомы. Можем ли мы это проверить? Нет, не можем — все утверждения о завершении работы будут иметь вид «существует число шагов алгоритма… существует оценка времени на его работу...», но явных значений мы ниоткуда не получим.
Другой вопрос — а можем ли мы доказать недоказуемость таких утверждений? Похоже, что нет. Потому что чтобы описанная выше схема работала, надо, чтобы мы держали в кармане фигу и говорили про себя «мы-то знаем, что такого числа нет, но знаем, что из ваших аксиом вы это не выведете, и существование числа им не противоречит». А если «мы это знаем» в рамках той же аксиоматики, в которой ищем доказательство, то значит, и доказательство у нас есть…
Другой вопрос — а можем ли мы доказать недоказуемость таких утверждений? Похоже, что нет. Потому что чтобы описанная выше схема работала, надо, чтобы мы держали в кармане фигу и говорили про себя «мы-то знаем, что такого числа нет, но знаем, что из ваших аксиом вы это не выведете, и существование числа им не противоречит». А если «мы это знаем» в рамках той же аксиоматики, в которой ищем доказательство, то значит, и доказательство у нас есть…
В этом и дело, мы не знаем закончит или нет. Но ответ уже есть, почему мы должны знать о факте, хотя он имеет место. Мы обсуждаем выводится ли из аксиом Пеано утверждение, что гипотеза Гольдбаха не верна, то есть существуют число. Предположим, что не выводится. Добавляем ее к списку аксиом. Теперь мы точно знаем, что алгоритм завершится за конечное время, раз он завершится за конечное время, значит существует *конечный* вывод аксиомы. Что противеорчит, предположению что она не выводится.
«Ответ уже есть» — вы имеете в виду, ответ «закончит или не закончит»? Если гипотеза недоказуема, то этого ответа нет. В этой ситуации действительно нельзя сказать, есть контрпример или его нет. Так же, как и «максимальное число единиц, которые печатает машина Тьюринга» — действительно невычислимая функция. Никаким алгоритмом.
Что касается последующего рассуждения — надо разбираться с ним подробнее. На первый взгляд, там сильно перемешаны разные метауровни, и допустимо ли такое смешение (можно ли всё перевести на один уровень), я сходу не соображу.
Что касается последующего рассуждения — надо разбираться с ним подробнее. На первый взгляд, там сильно перемешаны разные метауровни, и допустимо ли такое смешение (можно ли всё перевести на один уровень), я сходу не соображу.
Получается такая картина. Мы не можем доказать или опровергнуть, что некоторое утверждение NG (отрицание гипотелы Гольдбаха) выводится из аксиом Пеано, но добавив NG в качестве новой аксиомы, сможем доказать (используя эту аксиому), что она выводится из остальных аксиом. А если добавим вместо неё саму гипотезу Гольдбаха — сможем доказать (опять же, используя эту гипотезу), что NG из остальных аксиом не выводится. И чем же это плохо?
Плохо тем, что это не классическое Геделевское утверждение. Если добавить NG, то мы получим само число и получим вывод NG без использования NG. Зачем нам тогда его добавлять? Тем более мы не знаем, наверняка.
G и NG не может быть утверждением вне системы аксиом, можно даже более формально доказать, что доказательство по типу континуум-гипотезу здесь не сработает.
Континуум-гипотеза она и специфична, что никак не пересекается с существующей теорией, то есть никому ни холодно ни горячо на самом деле. Я вообще думаю, что не могут существовать геделевские утверждения насчет целых чисел.
(Под геделевским утверждением я понимаю гипотезу которую можно добавить как отрицание так и утверждение как аксиому)
G и NG не может быть утверждением вне системы аксиом, можно даже более формально доказать, что доказательство по типу континуум-гипотезу здесь не сработает.
Континуум-гипотеза она и специфична, что никак не пересекается с существующей теорией, то есть никому ни холодно ни горячо на самом деле. Я вообще думаю, что не могут существовать геделевские утверждения насчет целых чисел.
(Под геделевским утверждением я понимаю гипотезу которую можно добавить как отрицание так и утверждение как аксиому)
Написал последний пост понял доказательство
(Под геделевским утверждением я понимаю гипотезу которую можно добавить как отрицание так и утверждение как аксиому)
G и NG не геделевское утверждение.
Сейчас я начал понимать, что я смешиваю 2 понятия систему аксиом и модель/интерпретацию (Мендельсон Мат. Логика). Строго говоря, мы используем целые числа как модель, а для модели характерно конструктивное утверждение: если число есть, его можно найти, добраться до него. Добавляя в аксиоматику G, мы даже не знаем а удовлетворяет ли наша модель, наши целые числа данной аксиоматике. То есть мы можем, получить вполне непротиворечивую аксиоматику, но модель не будет удовлетворять.
! Другое направление, мне кажется, математически верное, но еще не проверил до конца (Мендельсон pspeople.ru/downloads.php?page_id=50), последняя глава доказательство «Непротиворечивости формальной арифметики». Пусть при добавлении NG, формальная арифметика остается непротиворечивой, тогда при добавлении G, она станет противоречивой, что противоречит геделивости гипотезы G. Набросок.
(Под геделевским утверждением я понимаю гипотезу которую можно добавить как отрицание так и утверждение как аксиому)
G и NG не геделевское утверждение.
Сейчас я начал понимать, что я смешиваю 2 понятия систему аксиом и модель/интерпретацию (Мендельсон Мат. Логика). Строго говоря, мы используем целые числа как модель, а для модели характерно конструктивное утверждение: если число есть, его можно найти, добраться до него. Добавляя в аксиоматику G, мы даже не знаем а удовлетворяет ли наша модель, наши целые числа данной аксиоматике. То есть мы можем, получить вполне непротиворечивую аксиоматику, но модель не будет удовлетворять.
! Другое направление, мне кажется, математически верное, но еще не проверил до конца (Мендельсон pspeople.ru/downloads.php?page_id=50), последняя глава доказательство «Непротиворечивости формальной арифметики». Пусть при добавлении NG, формальная арифметика остается непротиворечивой, тогда при добавлении G, она станет противоречивой, что противоречит геделивости гипотезы G. Набросок.
По поводу аппарата и теории множеств, абсолютно не все доказательства переведены в формальный язык. Например, мат.анализ основанный на действительных числах и теоремы о пределах, я еще не встречал в формальном виде.
Вы можете сказать, мощность действительных чисел, которые используются в мат. анализе? Множества подмножеств счетного, алеф-1?
Вы можете сказать, мощность действительных чисел, которые используются в мат. анализе? Множества подмножеств счетного, алеф-1?
В матанализе как раз всё строго. Действительное число определяется либо как точная верхняя грань подможества рациональных чисел, либо как последовательность цифр, например, двоичных (без бесконечного «хвоста» единиц). Эквивалентность этих определений тоже доказывается. Из второго определения достаточно очевидно, что мощность — 2^N, а алеф-1 тут вообще ни при чём.
Насчёт формального вида — а что нам надо доказать для сведения матана к ZF? Что действительные числа являются полем, и что выполняется аксиома Архимеда. И ещё полнота. Насколько я помню, это делалось. Правда, для целых и рациональных чисел ассоциативность формально не доказывали, но это делают в другой сказке (непосредственно из аксиом Пеано).
Насчёт формального вида — а что нам надо доказать для сведения матана к ZF? Что действительные числа являются полем, и что выполняется аксиома Архимеда. И ещё полнота. Насколько я помню, это делалось. Правда, для целых и рациональных чисел ассоциативность формально не доказывали, но это делают в другой сказке (непосредственно из аксиом Пеано).
Давайте не будем торопиться.
Алеф-1 и есть мощность множества из всех подмножеств целых чисел. Из ваших определений это как раз и следует. С другой стороны если взять определение R, как множество удовлетворяющее аксиомамм… Полноты, Выбора, то мощность множества совсем не очевидна.
Кстати если брать циферное определение, то есть большие сомненения, о доказательстве точной верхней грани и выполнения аксиом. Помню я даже видел ошибочное доказательство, так что если можете скиньте учебник с циферным определением.
Алеф-1 и есть мощность множества из всех подмножеств целых чисел. Из ваших определений это как раз и следует. С другой стороны если взять определение R, как множество удовлетворяющее аксиомамм… Полноты, Выбора, то мощность множества совсем не очевидна.
Кстати если брать циферное определение, то есть большие сомненения, о доказательстве точной верхней грани и выполнения аксиом. Помню я даже видел ошибочное доказательство, так что если можете скиньте учебник с циферным определением.
Давайте не будем.
(предполагаем, что аксиома выбора выполняется. Без неё всё совсем по-другому).
Алеф-1 это первая несчётная мощность. Континуум — множества действительных чисел, это верно.
То, что действительных чисел на полуинтервале [0,1) столько же, сколько подмножеств натурального ряда, можно получить, взяв пару представлений: двоичная запись даст инъекцию из действительных чисел в последовательности из 0 и 1 (разным числам соответствуют разные последовательности), а троичная — инъекцию из последовательностей из 0 и 1 в действительные числа (разным последовательностям соответствуют разные числа). По пути надо будет определить равенство и порядок действительных чисел, и доказать, что между двумя различными действительными числами есть хотя бы два различных рациональных числа. Остальное — дело техники.
Так что, подмножеств натурального раяда как раз континуум. И в случае отрицания континуум-гипотезы, это больше, чем алеф-1.
Про учебник пока ничего не скажу. Как дочка проснется — стащу у неё и посмотрю, что там написано.
(предполагаем, что аксиома выбора выполняется. Без неё всё совсем по-другому).
Алеф-1 это первая несчётная мощность. Континуум — множества действительных чисел, это верно.
То, что действительных чисел на полуинтервале [0,1) столько же, сколько подмножеств натурального ряда, можно получить, взяв пару представлений: двоичная запись даст инъекцию из действительных чисел в последовательности из 0 и 1 (разным числам соответствуют разные последовательности), а троичная — инъекцию из последовательностей из 0 и 1 в действительные числа (разным последовательностям соответствуют разные числа). По пути надо будет определить равенство и порядок действительных чисел, и доказать, что между двумя различными действительными числами есть хотя бы два различных рациональных числа. Остальное — дело техники.
Так что, подмножеств натурального раяда как раз континуум. И в случае отрицания континуум-гипотезы, это больше, чем алеф-1.
Про учебник пока ничего не скажу. Как дочка проснется — стащу у неё и посмотрю, что там написано.
Проблема в том, что поиск общих делителей — довольно трудоёмкая операция, плюс наличие шести параметров для перебора.
Поиск общих делителей — операция очень простая. Алгоритм Евклида же.
Да никто не спорит, что он относительно несложен для пары чисел, но повторите это для 1000^6 пар чисел. Причём числа становятся всё больше (соответственно кол-во общ. делителей увеличивается). Задача получается с очень высокой алгоритмической сложностью.
Да, но в основном за счет шести параметров, которые дадут N^6, а никак не за счет алгоритма Евклида, которым домножит это лишь на логарифм N.
Кстати, независимых параметров уравнении Била лишь пять, так что сложность при переборе в лоб будет N^5 log N. А учитывая, что есть эффективные алгоритмы проверки, является ли число полной степенью, то достаточно перебирать только четыре аргумента.
Это не отменяет того, что я согласен, что лобовая атака на гипотезу Била крайне ресурсоемка.
Кстати, независимых параметров уравнении Била лишь пять, так что сложность при переборе в лоб будет N^5 log N. А учитывая, что есть эффективные алгоритмы проверки, является ли число полной степенью, то достаточно перебирать только четыре аргумента.
Это не отменяет того, что я согласен, что лобовая атака на гипотезу Била крайне ресурсоемка.
боюсь вы можете не дожить до того, как она насчитает что-то =(
Ну RSA основан на поиске множителей. Точнее на трудоемкости этого процесса.
Задачу можно решить таким способом только если гипотеза неверна, то есть, существует контрпример. Если же она верна, то сколько ни считай, к доказательству не приблизишься.
А давайте факториалы лучше посчитаем. Ну например 14!, это всего лишь 14 чисел перемножить. Вот если я правильно помню, то это граница того, что можно посчитать на суперкомпьютере за осмысленное время.
Интересно, а оно делится на 16127?:) Это я к тому, что такой ответ совершенно бесполезен для вычислительной математики, запись через мантису дает условную точность, позволяя понять лишь порядок числа, но не точное значение.
В прочем, это-то пример мелковат, полчается всего 9998 знаков, но я что-то предложил, что калькулятор виндовый на плавающей точке сделан, там бы мог дать какой попало ответ.
Эрланг работает с «большими числами», разрядность которых ограничена только размером памяти, выделенной для приложения. Да и для С++ такие либы есть для работы с большими числами: BigDigit и Miracle. Мы проверяли на 1000! — работало очень шустро. Как раз эти либы и юзал в свое время, когда занимался пробемами Ферма, Ейлера и прочих криптографов в разрезе эллиптических кривых.
Как раз для вычислительной математики этот ответ годится: там работают, в основном, с приближенными числами. А вот для символьных вычислений, теории чисел и прочих «получисленных алгоритмов» — нужно какое-нибудь точное представление. Или приближённое — но по другой метрике (например, в виде 16127-адического числа).
Факториал как раз разложить на множители несложно, потому что список составных делителей уже есть
Не делится.
Один из самых простых нагрузочных тестов в ХР был просто калькулятор.
открываешь два-три калькулятора, и начинаешь перемножать числа самое на себя.
На 64К знаков начинаются первые тормоза.
но до 4М знаков он у меня считал…
открываешь два-три калькулятора, и начинаешь перемножать числа самое на себя.
На 64К знаков начинаются первые тормоза.
но до 4М знаков он у меня считал…
Действительно. Помню, что был какой-то простой пример, но уже совершенно забыл, какой.
Возможно я забыл математику, но мне кажется, что 14! можно и на калькуляторе посчитать.
Может быть БилЯ, а не Била?
Или я ошибаюсь?
Или я ошибаюсь?
На гугле калькулятор есть, давайте его парсить и нагло юзать мощности ))) Интересно сколько знаков сможет скушать.
Замаскированная провокация, правильно написали, что это лишь ловкий прием по привлечению молодежи в сферу серьезной науки.
Более академическое определение этой ГИПОТЕЗЫ имеет следующее содержание:
Утверждение А^x+B^y=C^z НЕ ИМЕЕТ решения в положительных целых (натуральных) числах, таких, что x, y, z >2 и А, В и С — попарно взаимно простые.
Легче будет попытаться теоретически доказать невозможность наличия требуемой комбинации чисел, чем бесконечно перебирать из неограниченного множества псевдо-«возможных» вариантов, тем более, что напрашивается аналогия с Великой теоремой Ферма. Тогда тоже были первоначально просчитаны все варианты для всех переменных не более 1 000 000.
Более академическое определение этой ГИПОТЕЗЫ имеет следующее содержание:
Утверждение А^x+B^y=C^z НЕ ИМЕЕТ решения в положительных целых (натуральных) числах, таких, что x, y, z >2 и А, В и С — попарно взаимно простые.
Легче будет попытаться теоретически доказать невозможность наличия требуемой комбинации чисел, чем бесконечно перебирать из неограниченного множества псевдо-«возможных» вариантов, тем более, что напрашивается аналогия с Великой теоремой Ферма. Тогда тоже были первоначально просчитаны все варианты для всех переменных не более 1 000 000.
По условию т. Ферма, не имеет только при x = y = z
При разных степенях это может выполняться
При разных степенях это может выполняться
Это же гипотеза. Если в ней говорится, что
Утверждение А^x+B^y=C^z НЕ ИМЕЕТ решения в положительных целых (натуральных) числах, таких, что x, y, z >2 и А, В и С — попарно взаимно простые,то это ещё не значит, что так и есть.
Согласен, стараться стоит, но каждый волен сам выбирать, в каком направлении работать :)
Кстати, в оригинальном тексте указано, что либо нужно привести контрпример, либо доказать гипотезу — при любом убедительном решении этот самый миллион присудят первому, кто получит соответствующий результат и опубликует статью с подробным описанием в одном из научно-котируемых математических журналов.
Кстати, в оригинальном тексте указано, что либо нужно привести контрпример, либо доказать гипотезу — при любом убедительном решении этот самый миллион присудят первому, кто получит соответствующий результат и опубликует статью с подробным описанием в одном из научно-котируемых математических журналов.
Если доказательство гипотезы Билла приводит к простому (короткому) доказательству Великой теоремы Ферма, то скорее всего оно само не будет простым :)
Как следствие из вот этого:
Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса
Как следствие из вот этого:
Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса
В этом контексте сразу же становится ясно почему сам Ферма не мог доказать свою теорему по объективным причинам, хотя при этом вполне мог «увидеть» геометрическую идею ее доказательства.
Дело в том, что пересчет проходит по контролем математических инструментов, не имеющих аналогов не только в далеком прошлом, но и неизвестных до Уайлса даже в современной математике.
Самое главное здесь в том, что эти инструменты «минимальны», т.е. их нельзя упростить. Хотя сама по себе эта «минимальность» весьма непроста. И именно осознание Уайлсом этой нетривиальной «минимальности» и стало решающим финальным шагом доказательства.
7531 18973 3799)
Ну что, зарядим задачку на Bitcoin ферму?
На правах глупого вопроса: где я ошибаюсь?
5^4 + 6^3 = 29^2
Так вот, то ли я тупой, то ли 5, 6 и 29 не имеют общего простого делителя.
5^4 + 6^3 = 29^2
Так вот, то ли я тупой, то ли 5, 6 и 29 не имеют общего простого делителя.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Гипотеза Била подорожала до 1 миллиона долларов