Comments 15
А можете объяснить «на пальцах» что такое собственные вектора/значения? Никак не могу понять их физический смысл…
Если преобразование «растягивает» вектор x в λ раз, то этот вектор называется собственным. А число λ называется собственным значением, соответствующим x. При этом вектор x должен быть отличен от нуля (это — часть определения, просто для удобства). А физический смысл может быть разным. Например, если наше преобразование — это вращение твердого тела, то ось, вокруг которой мы поворачиваем, — будет, по существу, собственным вектором. Если угол поворота кратен 90 градусам, то будут еще собственные векторы в перпендикулярной плоскости.
Если 90 градусов — не будут. Дополнительные собственные вектора (с собственным значением -1) появляются только при повороте на 180 гр.
Вставлю свои 5 копеек.
Как слышу про собственный вектор и собственное значение, сразу вспоминаю курс Introduction to Robotics.
Вот например рассказ зачем нужны собственные вектора и значения.
www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/EngComp/ecl4.pdf
Кстати, автору привет с физтеха. 2 года назад перевелась туда именно ради отличных курсов по фундаменталке. Спасибо вам за подобные рассказы, они очень нужны многим студентам, которые приходят на 1-е пары в технические ВУЗы и спрашивают: «Зачем мне математика? Я же на программиста пришел!»
Как слышу про собственный вектор и собственное значение, сразу вспоминаю курс Introduction to Robotics.
Вот например рассказ зачем нужны собственные вектора и значения.
www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/EngComp/ecl4.pdf
Кстати, автору привет с физтеха. 2 года назад перевелась туда именно ради отличных курсов по фундаменталке. Спасибо вам за подобные рассказы, они очень нужны многим студентам, которые приходят на 1-е пары в технические ВУЗы и спрашивают: «Зачем мне математика? Я же на программиста пришел!»
Задачи, связанные с отысканием собственных значений и векторов возникают настолько часто в различных физических задачах, что сформулировать общую идею крайне трудно.
С наиболее общей точки зрения (математической) — они эффективны потому, что в базисе из таких векторов оператор выглядит наиболее просто, если конечно их хватает, чтобы базис образовать (а зачастую «правильные» операторы из физических задач как раз такие, что собственный базис у них будет — например, самосопряженные). «Простота» обусловлена тем, что функции от оператора в собственном базисе вычислять очень легко — это будет оператор, с собственными значениями равными функции от собственных значений исходного. Из этого, на первый взгляд, чисто технического момента вытекает куча красоты — выписываются явные разложения в ряды по собственным функциям (читай — векторам :-) ) для решений различных краевых задач (уравнение теплопроводности, например). В квантовой механике спектр (читай — набор собственных чисел, хотя это не совсем так. Строго говоря, нужно смотреть на резольвенту оператора) это возможные значения физической величины (в квантовой механике физические величины могут принимать не все значения). Ну и так далее. :) Приложений куча!
С наиболее общей точки зрения (математической) — они эффективны потому, что в базисе из таких векторов оператор выглядит наиболее просто, если конечно их хватает, чтобы базис образовать (а зачастую «правильные» операторы из физических задач как раз такие, что собственный базис у них будет — например, самосопряженные). «Простота» обусловлена тем, что функции от оператора в собственном базисе вычислять очень легко — это будет оператор, с собственными значениями равными функции от собственных значений исходного. Из этого, на первый взгляд, чисто технического момента вытекает куча красоты — выписываются явные разложения в ряды по собственным функциям (читай — векторам :-) ) для решений различных краевых задач (уравнение теплопроводности, например). В квантовой механике спектр (читай — набор собственных чисел, хотя это не совсем так. Строго говоря, нужно смотреть на резольвенту оператора) это возможные значения физической величины (в квантовой механике физические величины могут принимать не все значения). Ну и так далее. :) Приложений куча!
В теории колебаний собственные числа это частоты колебаний системы при свободном движении, а собственные значения это «траектории» (молы). В Гамильтоновой динамике это энергии уровней невозмущённой системы.
Если грубо и для частного случая (конечномерных пространств), то собственный вектор линейного оператора (линейный оператор в данном частном случае задаётся матрицей) — это такой вектор, который остаётся неизменным под воздействием своего оператора. В базисе из собственных векторов, если такой удаётся получить, в некоторых случаях «жизнь становится проще» (например, матрица самого оператора оказывается диагональной). В Википедии, в статье про собственные векторы есть хорошая иллюстрация, где на примере известной картины Леонардо да Винчи показывается воздействие линейного оператора а также то, что происходит в этом случае с собственными векторами.
Хорошая статья на ту же тему betterexplained.com/articles/linear-algebra-guide
Что-то я не понял задачу про стержень. Если источник распределенный то почему он греет в окрестностях точки? Мы заменили его на N точечных? Можно уточнить где t0 и tN? — их отсутствие связано с температурой концов поддерживаемых на нуле? и что такое qi? если это поток тепла через хi, то не должно ли быть учтено q0 и qN? И как он рассчитывается?
Большое спасибо за ссылку на вычислительную гидродинамику. Можно покопаться где еще используется линейная геометрия кроме компьютерной графики.
Большое спасибо за ссылку на вычислительную гидродинамику. Можно покопаться где еще используется линейная геометрия кроме компьютерной графики.
Да, отсутствие t0 и tN связано с (нулевыми) граничными условиями. Источник — распределенный: в любом отрезке стержня достаточно малой длины ℓ с центром в x выделяется q(x) · ℓ тепла в единицу времени. Теперь давайте строить модель немного аккуратнее: разрежем стержень в точках xi + h/2. Примерно вот так:
По краям получатся отрезки длины h/2, а остальные будут иметь длину h. Будем считать что на каждом из отрезков температура постоянна (но у двух соседних отрезков температуры могут отличаться). А дальше — обычный закон сохранения энергии: тепло, выделившееся на каждом отрезке длины h должно передаваться соседям через границы (пунктирные линии на рисунке).
Теперь насчет маленьких отрезков по краям: раз температура на концах стержня постоянна, то выделившееся в них тепло должно благополучно куда-то уходить (иначе температура не будет постоянной).
По краям получатся отрезки длины h/2, а остальные будут иметь длину h. Будем считать что на каждом из отрезков температура постоянна (но у двух соседних отрезков температуры могут отличаться). А дальше — обычный закон сохранения энергии: тепло, выделившееся на каждом отрезке длины h должно передаваться соседям через границы (пунктирные линии на рисунке).
Теперь насчет маленьких отрезков по краям: раз температура на концах стержня постоянна, то выделившееся в них тепло должно благополучно куда-то уходить (иначе температура не будет постоянной).
Есть огромный пласт задач, который решается методом конечных элементов.
Дело в том, что «все линейные задачи линейны одинаково, а каждая нелинейная нелинейна по своему». Отсюда простая идея: нарежем объект на кусочки, в пределах которых линеаризация дает незначительные погрешности и будем решать огромную систему линейных уравнений.
Как мне однажды с гордостью заявил один специалист: «Нам удалось свести эту задачу всего к 700 тысячам уравнений». И вот вам приложения линейной алгебры и специфических алгоритмов решения очень больших систем уравнений.
Дело в том, что «все линейные задачи линейны одинаково, а каждая нелинейная нелинейна по своему». Отсюда простая идея: нарежем объект на кусочки, в пределах которых линеаризация дает незначительные погрешности и будем решать огромную систему линейных уравнений.
Как мне однажды с гордостью заявил один специалист: «Нам удалось свести эту задачу всего к 700 тысячам уравнений». И вот вам приложения линейной алгебры и специфических алгоритмов решения очень больших систем уравнений.
А определители матриц 3х3 я научился быстро считать в девятом классе. Была у нас такая игра: двое по очереди заполняют матрицу цифрами от 1 до 9 не повторяясь. Если определитель положительный, выиграл один, если отрицательный — другой. Очень рекомендую — облегчает понимание.
Sign up to leave a comment.
Линейная алгебра: пробный заезд