Содержание

Введение

В прошлой статье мы напоролись на конструкцию вида $\varepsilon^{\,mqi} \, \varepsilon_{\,ijk}$ — произведение контравариантного тензора Леви-Чивиты на ковариантный. И, надо сказать, упростил я его не слишком элегантно, а довольно таки топорно. К тому же, конечное выражение формулы Родрига, что в компонентной, что в бескомпонентной форме оказалось крайне неудобным в плане дальнейшего преобразования. Но я ведь обещал читателю показать, как из выражения матрицы поворота через параметры конечного поворота получить угловую скорость твердого тела, поэтому, вопросы излагаемые ниже будут иметь решающее значение в применении тензорного подхода к кинематике и динамике твердого тела. Заодно в очередной раз порекомендую довольно старый сайт «На что похожа математика», хоть и созданный на движке народа.ру, но содержащий сведения, уже несколько раз подталкивающие меня в правильном направлении при решении проблем в изучении тензорной алгебры.

Итак, поговорим о свертках тензора Леви-Чивиты.

1. Символы Веблена

Читатель наверняка уже замечал, что у всех компонент тензора Леви-Чивиты есть общий множитель: $\sqrt g$ в ковариантном представлении и $\frac{1}{\sqrt g}$ в контравариантном. Логично представить этот тензор в некоторой, более упрощенной форме

$\varepsilon_{\,ijk} = \sqrt g \, E_{\,ijk} \quad (1)$

или

$\varepsilon_{\,ijk} = \frac{1}{\sqrt g} \, E^{\,ijk} \quad (2)$

где

$E_{\,ijk} = E^{\,ijk} = \begin{cases} +1, \quad P(i, j, k) = 1, \\ -1, \quad P(i ,j, k) = -1, \\ \quad 0, i = j \vee i = k \vee j = k \end{cases} \quad (3)$

– выражение, определяющее значение так называемых символов Веблена, в котором $P(i,j,k)$ — функция, определяющая четность или нечетность перестановки индексов.

Таким образом, процедура перемножения тензоров Леви-Чивиты сводится к оперированию символами Веблена

$\varepsilon^{\,mnp} \, \varepsilon_{\,ijk} = \frac{1}{\sqrt g} \, \sqrt g \, E^{\,mnp} \, E_{\,ijk} = \delta_{ijk}^{\,mnp} \quad (4)$

где $\delta_{ijk}^{\,mnp}$ называют обобщенной дельтой Кронекера. Обобщенная дельта Кронекера — три раза контравариантный и три раза ковариантный тензор шестого ранга. Для трехмерного пространства эта конструкция имеет 3⁶ = 729 компонент. Многовато, что ни говори. К тому же представить себе массив компонент тензора шестого (!) ранга, пользуясь нашим трехмерным мышлением, ну совсем проблематично. Но это обычно и не требуется — (4) участвует в преобразованиях где сворачивается с другими тензорами. Поэтому полезно изучить свертки тензора (4), что даст нам путь к сворачиванию и преобразованию выражений, в которых участвует тензор Леви-Чивиты.

2. Символ Веблена как определитель

Можно ли подойти более формально к определению значения выражения (3) для любого значения индексов? Можно, если обратить внимание вот на что

$E_{\,123} = \left| \begin{matrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{matrix} \right| = 1 \quad(5)$

Это ни что иное как значение символа Веблена для набора индексов (1,2,3). Теперь переставим в (5) пару столбцов

$E_{\,213} = \left| \begin{matrix} 0 && 1 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{matrix} \right| = -1$

Хм… А ну ка ещё пару столбцов поменяем местами

$E_{\,231} = \left| \begin{matrix} 0 && 0 && 1 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \end{matrix} \right| = 1$

Ну разумеется, значение символа Веблена равно определителю матрицы, составленной из единичной матрицы, столбцы которой взяты в порядке, продиктованном порядком индексов символа! Чтобы получить выражение общего вида, представим единичную матрицу, как это принято в тензорном исчислении через дельту Кронекера

$\mathbf E = \begin{bmatrix} \delta_{1}^{\,1} && \delta_{2}^{\,1} && \delta_{3}^{\,1} \\ \delta_{1}^{\,2} && \delta_{2}^{\,2} && \delta_{3}^{\,2} \\ \delta_{1}^{\,3} && \delta_{2}^{\,3} && \delta_{3}^{\,3} \\ \end{bmatrix} \quad (6)$

Напомню, дельта Кронекера равна единице при совпадении индексов и нулю, если индексы различны. Теперь составим определитель для какого-нибудь символа Веблена

$E_{\,312} = \left| \begin{matrix} \delta_{3}^{\,1} && \delta_{1}^{\,1} && \delta_{2}^{\,1} \\ \delta_{3}^{\,2} && \delta_{1}^{\,2} && \delta_{2}^{\,2} \\ \delta_{3}^{\,3} && \delta_{1}^{\,3} && \delta_{2}^{\,3} \\ \end{matrix}\right| = \left| \begin{matrix} 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 1 && 0 && 0 \end{matrix}\right| = -1$

всё верно, а значит не составит труда записать в общем виде

$E_{\,ijk} = \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,1} && \delta_{j}^{\,1} && \delta_{k}^{\,1} \\ \delta_{i}^{\,2} && \delta_{j}^{\,2} && \delta_{k}^{\,2} \\ \delta_{i}^{\,3} && \delta_{j}^{\,3} && \delta_{k}^{\,3} \\ \end{matrix}\right| \quad (7)$

Выражение (7) есть общее выражение для произвольного символа Веблена, которое позволит нам вывести

3. Аналитическое выражение компоненты обобщенной дельты Кронекера

Возьмем да и умножим один символ Веблена на другой

$E^{\,mnp} \, E_{\,ijk} =\left| \begin{matrix} \delta_{m}^{\,1} && \delta_{n}^{\,1} && \delta_{p}^{\,1} \\ \delta_{m}^{\,2} && \delta_{n}^{\,2} && \delta_{p}^{\,2} \\ \delta_{m}^{\,3} && \delta_{n}^{\,3} && \delta_{p}^{\,3} \\ \end{matrix}\right| \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,1} && \delta_{j}^{\,1} && \delta_{k}^{\,1} \\ \delta_{i}^{\,2} && \delta_{j}^{\,2} && \delta_{k}^{\,2} \\ \delta_{i}^{\,3} && \delta_{j}^{\,3} && \delta_{k}^{\,3} \\ \end{matrix}\right| \quad (8)$

Чтобы вычислить (8) нам придется вспомнить, что определитель матричного произведения это произведение определителей от каждой матрицы (вне зависимости от порядка сомножителей), а поэтому вычислим произведение матриц, составленных из элементов определителей, входящих в (8)

$\begin{bmatrix} \delta_{m}^{\,1} && \delta_{n}^{\,1} && \delta_{p}^{\,1} \\ \delta_{m}^{\,2} && \delta_{n}^{\,2} && \delta_{p}^{\,2} \\ \delta_{m}^{\,3} && \delta_{n}^{\,3} && \delta_{p}^{\,3} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta_{i}^{\,1} && \delta_{j}^{\,1} && \delta_{k}^{\,1} \\ \delta_{i}^{\,2} && \delta_{j}^{\,2} && \delta_{k}^{\,2} \\ \delta_{i}^{\,3} && \delta_{j}^{\,3} && \delta_{k}^{\,3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{1}^{\,m} && \delta_{2}^{\,m} && \delta_{3}^{\,m} \\ \delta_{1}^{\,n} && \delta_{2}^{\,n} && \delta_{3}^{\,n} \\ \delta_{1}^{\,p} && \delta_{2}^{\,p} && \delta_{3}^{\,p} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta_{i}^{\,1} && \delta_{j}^{\,1} && \delta_{k}^{\,1} \\ \delta_{i}^{\,2} && \delta_{j}^{\,2} && \delta_{k}^{\,2} \\ \delta_{i}^{\,3} && \delta_{j}^{\,3} && \delta_{k}^{\,3} \\ \end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} \delta_{\alpha}^{\,m} \, \delta_{i}^{\alpha} && \delta_{\alpha}^{\,m} \, \delta_{j}^{\alpha} && \delta_{\alpha}^{\,m} \, \delta_{k}^{\alpha} \\ \delta_{\alpha}^{\,n} \, \delta_{i}^{\alpha} && \delta_{\alpha}^{\,n} \, \delta_{j}^{\alpha} && \delta_{\alpha}^{\,n} \, \delta_{k}^{\alpha} \\ \delta_{\alpha}^{\,p} \, \delta_{i}^{\alpha} && \delta_{\alpha}^{\,p} \, \delta_{j}^{\alpha} && \delta_{\alpha}^{\,p} \, \delta_{k}^{\alpha} \end{bmatrix} \quad (9)$

Здесь пришлось воспользоваться, во-первых, симметричностью дельты Кронекера $\delta_{j}^{\,i} = \delta_{i}^{\,j}$ , а, во-вторых, тем, что при выполнении матричного произведения в образующихся суммах для каждого элемента результата будут ненулевыми только слагаемые, в которых верхний и нижний немые индексы повторяются, опять таки из-за свойств дельты Кронекера. Преобразуем (9) с учетом ещё одного свойства дельты Кронекера

$\delta_{k}^{\,i} \, \delta_{j}^{\,k} = \delta_{j}^{\,i}$

и получим окончательное выражение компонент обобщенной дельты Кронекера

$E^{\,mnp} \, E_{\,ijk} = \delta_{ijk}^{\,mnp} = \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} && \delta_{k}^{\,n} \\ \delta_{i}^{\,p} && \delta_{j}^{\,p} && \delta_{k}^{\,p} \end{matrix} \right| \quad (10)$

Все 729 компонент описываются одной компактной формулой (10). Это очень неплохо и крайне полезно для практических целей. Например, теперь очень легко выписать произведение контравариантного и ковариантного тензоров Леви-Чивиты

$\varepsilon^{\,mnp} \, \varepsilon_{\,ijk} = \delta_{ijk}^{\,mnp} = \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} && \delta_{k}^{\,n} \\ \delta_{i}^{\,p} && \delta_{j}^{\,p} && \delta_{k}^{\,p} \end{matrix} \right| \quad (11)$

4. Свертка произведения тензоров Леви-Чивиты по различному количеству пар индексов

Пользуясь (10) мы можем легко и непринужденно вычислить сверку (11). Свернем (11) по одной паре индексов

$\varepsilon^{\,mnk} \, \varepsilon_{\,ijk} = \delta_{ij}^{\,mn} = \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} && \delta_{k}^{\,n} \\ \delta_{i}^{\,k} && \delta_{j}^{\,k} && \delta_{k}^{\,k} \end{matrix} \right| \quad (12)$

Разложим (12) по последней строке

$\varepsilon^{\,mnk} \, \varepsilon_{\,ijk} = \delta_{i}^{\,k} \, \left| \begin{matrix} \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{j}^{\,n} && \delta_{k}^{\,n} \end{matrix} \right| - \delta_{j}^{\,k} \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{k}^{\,n} \end{matrix} \right| + \delta_{k}^{\,k} \, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| =$

$= \left| \begin{matrix} \delta_{j}^{\,m} && \delta_{i}^{\,k} \, \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{j}^{\,n} && \delta_{i}^{\,k} \, \delta_{k}^{\,n} \end{matrix} \right| - \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,k} \, \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,k} \, \delta_{k}^{\,n} \end{matrix} \right| + \delta_{k}^{\,k} \, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| \quad (13)$

В (13) в первых двух слагаемых мы умножили второй столбец на множитель, стоящий перед определителем, в соответствии с правилами их вычисления. Преобразуем далее

$\varepsilon^{\,mnk} \, \varepsilon_{\,ijk} = \left| \begin{matrix} \delta_{j}^{\,m} && \delta_{i}^{\,m} \\ \delta_{j}^{\,n} && \delta_{i}^{\,n} \end{matrix} \right| - \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| + \delta_{k}^{\,k} \, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| =$

$= - \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| - \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| + \delta_{k}^{\,k} \, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| =$

$= - 2\, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| + 3 \, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right|$

Здесь мы вынесли (-1) за скобку в первом слагаемом, переставив столбцы, а так же воспользовались тем, что $\delta_{k}^{\,k} = \delta_{1}^{\,1} + \delta_{2}^{\,2} + \delta_{3}^{\,3} = 3$ — свертка дельты Кронекера, то есть её след.

То есть, окончательное получаем

$\varepsilon^{mnk} \, \varepsilon_{ijk} = \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,n} && \delta_{j}^{\,n} \end{matrix} \right| = \delta_{i}^{\,m} \, \delta_{j}^{\,n} - \delta_{j}^{\,m} \, \delta_{i}^{\,n} \quad (14)$

Теперь свернем произведение тензоров Леви-Чивиты по двум парам индексов. Для этого свернем (14)

$\varepsilon^{mjk} \, \varepsilon_{ijk} = \delta_{i}^{\,m} \, \delta_{j}^{\,j} - \delta_{j}^{\,m} \, \delta_{i}^{\,j} = 3 \,\delta_{i}^{\,m} - \delta_{i}^{\,m} = 2 \, \delta_{i}^{\,m} \quad (15)$

Ну, и наконец, выполним свертку по трем парам индексов

$\varepsilon^{ijk} \, \varepsilon_{ijk} = 2 \, \delta_{i}^{\,i} = 2 \cdot 3 = 6 \quad (16)$

Выражения (14) — (16) наглядно показывают, что «крокодил» из произведения тензоров Леви-Чивиты довольно таки ручной, причем запоминать эти формулы не надо, достаточно запомнить (11), что не так и сложно. Используя (11) можно очень эффективно упрощать тензорные выражения.

5. Назад, к тензору поворота

Вернемся к выражению для тензора поворота, только не будем вводить промежуточного контравариантного антисимметричного тензора, а прямо так, с тензорами Леви-Чивиты его и выпишем

$B_k^{\,m} = u^{\,m} \, g_{jk} \, u^{\,j} - \cos\varphi \, \varepsilon^{\,mqi} \, u_{q} \, \varepsilon_{\,ijk} \, u^j + \sin\varphi \, g^{mi} \, U_{ik} \right \quad (17)$

Используя (11) выполним как положено свертку

$\varepsilon^{\,mqi} \varepsilon_{\,ijk} = \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,q} && \delta_{j}^{\,q} && \delta_{k}^{\,q} \\ \delta_{i}^{\,i} && \delta_{j}^{\,i} && \delta_{k}^{\,i} \end{matrix} \right| = \delta_{i}^{\,i} \, \left| \begin{matrix} \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{j}^{\,q} && \delta_{k}^{\,q} \end{matrix} \right| - \delta_{j}^{\,i} \, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,q} && \delta_{k}^{\,q} \end{matrix} \right| + \delta_{k}^{\,i} \, \left| \begin{matrix} \delta_{i}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{i}^{\,q} && \delta_{j}^{\,q} \end{matrix} \right| =$

$= 3 \, \left| \begin{matrix} \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{j}^{\,q} && \delta_{k}^{\,q} \end{matrix} \right| - \, \left| \begin{matrix} \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{j}^{\,q} && \delta_{k}^{\,q} \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} \delta_{k}^{\,m} && \delta_{j}^{\,m} \\ \delta_{k}^{\,q} && \delta_{j}^{\,q} \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \delta_{j}^{\,m} && \delta_{k}^{\,m} \\ \delta_{j}^{\,q} && \delta_{k}^{\,q} \end{matrix} \right| =$

$= \delta_{j}^{\,m} \, \delta_{k}^{\,q} - \delta_{k}^{\,m} \, \delta_{j}^{\,q} \quad (18)$

Использование (18) позволит нам переписать (17) в более удобоваримом виде

$B_k^{\,m} = u^{\,m} \, g_{jk} \, u^{\,j} - \cos\varphi \, \left( \delta_{j}^{\,m} \, \delta_{k}^{\,q} - \delta_{k}^{\,m} \, \delta_{j}^{\,q} \right) \, u_{q} \, u^j + \sin\varphi \, g^{mi} \, U_{ik} \right \quad (19)$

который позволит нам работать с тензором поворота более эффективно, чем пока получается у меня

Заключение

Снова небольшой экскурс в теорию. Такой, несколько рваный, ритм цикла о тензорах, объясняется тем, что статьи есть результаты собственных «копаний» автора в теме. Не рассказать об обобщенной дельте Кронекера было нельзя — она ещё пригодится нам и не раз, в тех случаях, где надо будет преобразовывать выражения, содержащие двойное векторное произведение и в тензорной форме имеющие произведения тензоров Леви-Чивиты в комбинации со сверткой.

С учетом вышеизложенного, седьмая статья цикла будет подвергнута некоторой корректировке.

Благодарю всех за внимание и до новых встреч!

P.S.: Отдельное спасибо хочется сказать В. Г. Речкалову, по мотивам книги которого «Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников» создан сайт на народе.ру, ссылка на который уже дважды мной приводилась.

Продолжение следует…

Магия тензорной алгебры: Часть 8 — О свертках тензора Леви-Чивиты