lightforever2 Aug 26 2016 at 19:16

Алгоритм Левенберга — Марквардта для нелинейного метода наименьших квадратов и его реализация на Python

9 min

67K

Data Mining*Algorithms*Mathematics*Machine learning*

Нахождение экстремума(минимума или максимума) целевой функции является важной задачей в математике и её приложениях(в частности, в машинном обучении есть задача curve-fitting). Наверняка каждый слышал о методе наискорейшего спуска (МНС) и методе Ньютона (МН). К сожалению, эти методы имеют ряд существенных недостатков, в частности — метод наискорейшего спуска может очень долго сходиться в конце оптимизации, а метод Ньютона требует вычисления вторых производных, для чего требуется очень много вычислений.

Для устранения недостатков, как это часто бывает, нужно глубже погрузиться в предметную область и добавить ограничения на входные данные. В частности: МНС и МН имеют дело с произвольными функциями. В статистике и машинном обучении часто приходится иметь дело с методом наименьших квадратов (МНК). Этот метод минимизирует сумму квадрата ошибок, т.е. целевая функция представляется в виде

$\frac{1}{2}\sum \limits_{i=1}^{N}(y_i'-y_i)^2 = \frac{1}{2}\sum \limits_{i=1}^{N}r_i^2 \tag{1}$

Алгоритм Левенберга — Марквардта является нелинейным методом наименьших квадратов. Статья содержит:

объяснение алгоритма
объяснение методов: наискорейшего спуска, Ньтона, Гаусса-Ньютона
приведена реализация на Python с исходниками на github
сравнение методов

В коде использованы дополнительные библиотеки, такие как numpy, matplotlib. Если у вас их нет — очень рекомендую установить их из пакета Anaconda for Python

Зависимости
Алгоритм Левенберга — Марквардта опирается на методы, приведённые в блок-схеме

Поэтому, сначала, необходимо изучить их. Этим и займёмся

Определения

$F=F(x)$ — наша целевая функция. Мы будем минимизировать $F$ . В этом случае, $F$ является функцией потерь
$\nabla f(x)$ — градиент функции $f$ в точке $x$
$x^*$ — $x$ , при котором $F(x^*)$ является локальным минимумом, т.е. если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x)$ , такая что $\forall x \in \dot{U}(x)\ \ \ F(x^*)\le F(x)$
$x^+$ — глобальный минимум, если $\forall x \in R^n\ \ \ F(x^+)\le F(x)$ , т.е. $F$ не имеет значений меньших, чем $F(x^+)$
$J_f=J_f(x) = J$ — матрица Якоби для функции $f: R^n \to R^m$ в точке $x$ . Т.е. это таблица всех частных производных первого порядка. По сути, это аналог градиента для $f:R^n \to R$ , так как в этом случае мы имеем дело с отображением из $n$ -мерного вектора в $m$ -мерный, поэтому нельзя просто посчитать первые производные по одному измерению, как это происходит в градиенте. Подробнее
$H_f = H_f(x) = H$ — матрица Гессе (матрица вторых производных). Необходима для квадратичной аппроксимации

Выбор функции

В математической оптимизации есть функции, на которых тестируются новые методы.
Одна из таких функция — Функция Розенброка. В случае функции двух переменных она определяется как

$f(x,y) = (a-x)^2 + b(y-x^2)^2$

Я принял $a=0.5,\ b=0.5$ . Т.е. функция имеет вид:

$f(x,y) = \frac{1}{2}(1-x)^2 + \frac{1}{2}(y-x^2)^2$

Будем рассматривать поведение функции на интервале $-2 \le x,y \le 2$

Эта функция определена неотрицательно, имеет минимум $z = 0$ в точке $(x=1,y=1)$
В коде проще инкапсулировать все данные о функции в один класс и брать класс той функции, которая потребуется. Результат зависит от начальной точки оптимизации. Выберем её как $(x=-2,y=-2)$ . Как видно из графика, в этой точке функция принимает наибольшее значение на интервале.

functions.py

class Rosenbrock:

    initialPoint = (-2, -2)
    camera = (41, 75)
    interval = [(-2, 2), (-2, 2)]

   """
   Целевая функция
   """

   @staticmethod
   def function(x):

       return 0.5*(1-x[0])**2 + 0.5*(x[1]-x[0]**2)**2

   """
   Для нелинейного МНК - возвращает вектор-функцию r
   """
   @staticmethod
   def function_array(x):
       return np.array([1 - x[0] , x[1] - x[0] ** 2]).reshape((2,1))

   @staticmethod
   def gradient(x):
       return np.array([-(1-x[0]) - (x[1]-x[0]**2)*2*x[0], (x[1] - x[0]**2)])

   @staticmethod
   def hesse(x):
       return np.array(((1 -2*x[1] + 6*x[0]**2, -2*x[0]), (-2 * x[0], 1)))

   @staticmethod
   def jacobi(x):
       return np.array([ [-1, 0], [-2*x[0], 1]])

   """
   Векторизация для отрисовки поверхности
   Детали: http://www.mathworks.com/help/matlab/matlab_prog/vectorization.html
   """
   @staticmethod
   def getZMeshGrid(X, Y):
       return 0.5*(1-X)**2 + 0.5*(Y - X**2)**2

Метод наискорейшего спуска(Steepest Descent)

Сам метод крайне прост. Принимаем $F(x)=f(x)$ , т.е. целевая функция совпадает с заданной.
Нужно найти $d_{нс}(x)$ — направление наискорейшего спуска функции $f$ в точке $x$ .
$f(x)$ может быть линейно аппроксимирована в точке $x$ :

$f(x+d) \approx f(x) + \nabla f(x)^Td, \ d \in R^n , ||d|| \to 0 \tag{2}$

$\lim_{d \to 0}f(x)-f(x+d) = - \nabla f(x)^Td \stackrel{(3.a)} = - || \nabla f(x)^T|| \ ||d|| cos \theta ,\tag{3}$

где $\theta$ — угол между вектором $d \ и \nabla f(x)^T$ . $(3.a)$ следует из скалярного произведения

Так как мы минимизируем $f(x)$ , то чем больше разница в $(3)$ , тем лучше. При $\theta = \pi$ выражение будет максимально( $cos \theta = -1$ , норма вектора всегда неотрицательна), а $\theta = \pi$ будет только если вектора $d \ и \ \nabla f(x)^T$ будут противоположны, поэтому

$d_{нс} = -\nabla f(x)^T$

Направление у нас верное, но делая шаг длиной $||d_{нс}||$ можно уйти не туда. Делаем шаг меньше:

$d_{нс} = -\alpha \nabla f(x)^T, 0 < \alpha < 1$

Теоретически, чем меньше шаг, тем лучше. Но тогда пострадает скорость сходимости. Рекомендуемое значение $\alpha = 0.05$

В коде это выглядит так: сначала базовый класс-оптимизатор. Передаём всё, что понадобится в дальнейшем( матрицы Гессе, Якоби, сейчас не нужны, но понадобятся для других методов)

class Optimizer:
    def __init__(self, function, initialPoint, gradient=None, jacobi=None, hesse=None,
                 interval=None, epsilon=1e-7, function_array=None, metaclass=ABCMeta):
        self.function_array = function_array
        self.epsilon = epsilon
        self.interval = interval
        self.function = function
        self.gradient = gradient
        self.hesse = hesse
        self.jacobi = jacobi
        self.name = self.__class__.__name__.replace('Optimizer', '')
        self.x = initialPoint
        self.y = self.function(initialPoint)

   "Возвращает следующую координату по ходу оптимизационного процесса"
   @abstractmethod
   def next_point(self):
       pass

   """
   Движемся к следующей точке
   """

   def move_next(self, nextX):
       nextY = self.function(nextX)
       self.y = nextY
       self.x = nextX
       return self.x, self.y

Код самого оптимизатора:

class SteepestDescentOptimizer(Optimizer):
    ...
    def next_point(self):
        nextX = self.x - self.learningRate * self.gradient(self.x)
        return self.move_next(nextX)

Результат оптимизации:

Итерация	X	Y	Z
25	0.383	-0.409	0.334
75	0.693	0.32	0.058
532	0.996	0.990	$10^{-6}$

Бросается в глаза: как быстро шла оптимизация в 0-25 итерациях, в 25-75 уже медленне, а в конце потребовалось 457 итераций, чтобы приблизиться к нулю вплотную. Такое поведение очень свойственно для МНС: очень хорошая скорость сходимости вначале, плохая в конце.

Метод Ньютона

Сам Метод Ньютона ищет корень уравнения, т.е. такой $x$ , что $f(x)=0$ . Это не совсем то, что нам нужно, т.к. функция может иметь экстремум не обязательно в нуле.

А есть ещё Метод Ньютона для оптимизации. Когда говорят о МН в контексте оптимизации — имеют в виду его. Я сам, учась в институте, спутал по глупости эти методы и не мог понять фразу «Метод Ньютона имеет недостаток — необходимость считать вторые производные».

Рассмотрим для $f(x): R \to R$
Принимаем $F(x)=f(x)$ , т.е. целевая функция совпадает с заданной.

Разлагаем $f(x)$ в ряд Тейлора, только в отличии от МНС нам нужно квадратичное приближение:

$f(x+d) \approx f(x) + f^{'}(x)d + \frac{1}{2} f^{''}(x)d^2, \ d \in R^n , ||d|| \to 0 \tag{4}$

Несложно показать, что если $f{'}(x) \ne 0$ , то функция не может иметь экстремум в $x$ . Точка $x^*$ в которой $f{'}(x) = 0$ называется стационарной.

Продифференцируем обе части по $d$ . Наша цель, чтобы $f(x+d)^{'}=0$ , поэтому решаем уравнение:

$0 = f(x+d)^{'} = f^{'}(x) + f^{''}(x)d \\ d_{н}=- \frac{f^{'}(x)}{f^{''}(x)}$

$d_н$ — это направление экстремума, но оно может быть как максимумом, так и минимумом. Чтобы узнать — является ли точка $x+d_н$ минимумом — нужно проанализировать вторую производную. Если $f^{''}(x)>0$, то $f(x+d_н)$ является локальным минимумом, если $f^{''}(x)<0$ — максимумом.

В многомерном случае первая производная заменяется на градиент, вторая — на матрицу Гессе. Делить матрицы нельзя, вместо этого умножают на обратную(соблюдая сторону, т.к. коммутативность отсутствует):

$f(x): R^n \to R \\ H(x)d_{н}=- \nabla f(x)\\ d_{н}=- H^{-1}(x)\nabla f(x)$

Аналогично одномерному случаю — нужно проверить, правильно ли мы идём? Если матрица Гессе положительно определена, значит направление верное, иначе используем МНС.

В коде:

def is_pos_def(x):
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)

class NewtonOptimizer(Optimizer):
    def next_point(self):
        hesse = self.hesse(self.x)
        # if Hessian matrix if positive - Ok, otherwise we are going in wrong direction, changing to gradient descent
        if is_pos_def(hesse):
            hesseInverse = np.linalg.inv(hesse)
            nextX = self.x - self.learningRate * np.dot(hesseInverse, self.gradient(self.x))
        else:
            nextX = self.x - self.learningRate * self.gradient(self.x)

   return self.move_next(nextX)

Результат:

Итерация	X	Y	Z
25	-1.49	0.63	4.36
75	0.31	-0.04	0.244
179	0.995	-0.991	$10^{-6}$

Сравните с МНС. Там был очень сильный спуск до 25 итерации( практически упали с горы), но потом сходимость сильно замедлилась. В МН, напротив, мы сначала медленно спускаемся с горы, но затем движемся быстрее. У МНС ушло с 25 по 532 итерацию, чтобы дойти до нуля с $z=0.334$ . МН же оптимизировал $4.36$ за 154 последних итераций.

Это частое поведение: МН обладает квадратичной скоростью сходимости, если начинать с точки, близкой к локальному экстремуму. МНС же хорошо работает далеко от экстремума.

МН использует информацию кривизны, что было видно на рисунке выше(плавный спуск с горки).
Ещё пример, демонстрирующий эту идею: на рисунке ниже красный вектор — это направление МНС, а зелёный — МН

[Нелинейный vs линейный] метод наименьших квадратов

В МНК у нас есть модель $y=f(\beta_1,..\beta_n;x)$ , имеющая $n$ параметров, которые настраиваются так, чтобы минимизировать

$\frac{1}{2}\sum \limits_{i=1}^{N}(y_i'-y_i)^2 = \frac{1}{2}\sum \limits_{i=1}^{N}r_i^2$

, где $y_i'$ — $i$ -е наблюдение.

В линейном МНК у нас есть $m$ уравнений, каждое из которых мы можем представить как линейное уравнение

$x_i\beta_1+x_i\beta_2+..x_i\beta_n = y_i$

Для линейного МНК решение единственно. Существуют мощные методы, такие как QR декомпозиция, SVD декомпозиция, способные найти решение для линейного МНК за 1 приближённое решение матричного уравнения $Ax=b$ .

В нелинейном МНК параметр $\beta_i$ может сам быть представлен функцией, например $\beta_i^2$ . Так же, может быть произведение параметров, например

$\beta_1 \beta_2$

и т.д.
Здесь же приходится находить решение итеративно, причём решение зависит от выбора начальной точки.

Методы ниже имеют дело как раз с нелинейным случаем. Но, сперва, рассмотрим нелиненый МНК в контексте нашей задачи — минимизации функции

$f:R^2 \to R \\ F(x_1,x_2) = f(x_1,x_2) = \frac{1}{2}(1-x_1)^2 + \frac{1}{2}(x_2-x_1^2)^2 = \frac{1}{2}r_1^2(x_1,x_2) + \frac{1}{2}r_2^2(x_1,x_2)$

Ничего не напоминает? Это как раз форма МНК! Введём вектор-функцию $r$

$r: R^2 \to R^2 \\ r= \left [ \begin{matrix} 1-x_1 \\ x_2-x_1^2 \end{matrix} \right ]$

и будем подбирать $x_1,x_2$ так, чтобы решить систему уравнений(хотя бы приближённо):

$\begin{cases} r_1 = 1-x_1 = 0 \\ r_2 = x_2 - x_1^2 = 0 \end{cases} \\$

Тогда нам нужна мера — насколько хороша наша аппроксимация. Вот она:

$F(x) = \frac{1}{2}\sum_i^m r_i^2(x) = \frac{1}{2} r^T r= \frac{1}{2} ||r||^2 \tag{5}$

Я применил обратную операцию: подстроил вектор-функцию $r$ под целевую $F$ . Но можно и наоборот: если дана вектор-функция $r: R^n \to R^m$ , строим $F(x)$ из (5). Например:

$r= \left [ \begin{matrix} x_1^2 \\ x_2^2 \end{matrix} \right ], F(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2} x_2^2$

Напоследок, один очень важдный момент. Должно выполняться условие $m \ge n$ , иначе методом пользоваться нельзя. В нашем случае условие выполняется

Метод Гаусса-Ньютона

Метод основан на всё той же линейной аппроксимации, только теперь имеем дело с двумя функциями:

$r(x+d) \approx l(d) \equiv r(x) + J(x)d \\ F(x+d) \approx L(d) \equiv \frac{1}{2}l^T(d) l(d)$

Далее делаем то же, что и в методе Ньютона — решаем уравнение(только для $L(d)$ ):

$L^{''}d_{гн} = -L^{'}$

Несложно показать, что вблизи $\text(\ d \to 0)$ :

$L^{''}(d) = J_r^T J_r, \ L^{'}(d) = J_r^T(d) r(d) \\ (J^T J)d_{гн} = -J^Tr \\ d_{гн} = -(J^T J)^{-1} J^Tr$

Код оптимизатора:

class NewtonGaussOptimizer(Optimizer):
    def next_point(self):
        # Solve (J_t * J)d_ng = -J*f
        jacobi = self.jacobi(self.x)
        jacobisLeft = np.dot(jacobi.T, jacobi)
        jacobiLeftInverse = np.linalg.inv(jacobisLeft)
        jjj = np.dot(jacobiLeftInverse, jacobi.T)  # (J_t * J)^-1 * J_t
        nextX = self.x - self.learningRate * np.dot(jjj, self.function_array(self.x)).reshape((-1))
        return self.move_next(nextX)

Результат превысил мои ожидания. Всего за 3 итерации мы пришли в точку $(x=1, y=1)$ . Чтобы продемонстрировать траекторию движения я уменьшил learningrate до 0.2

Алгоритм Левенберга — Марквардта

Он основан на одной из версий Методе Гаусса-Ньютона( "damped version" ):

$(J^T J + \mu I)d_{лм} = -J^Tr , \mu \ge 0$

$\mu$ называется параметром регулизации. Иногда $I$ заменяют на $diag(J^T J)$ для улучшения сходимости.
Диагональные элементы $J^T J$ будут положительны, т.к. элемент $a_{ii}$ матрицы $J^T J$ является скалярным произведением вектора-строки $i$ в $J^T$ на самого себя.

Для больших $\mu$ получается метод наискорейшего спуска, для маленьких — метод Ньютона.
Сам алгоритм в процессе оптимизации подбирает нужный $\mu$ на основе gain ratio, определяющийся как:

$g=\frac{F(x) - F(x_{new)}}{L(0) - L(d_{лм})}$

Если $g>0$ , то $L(d)$ — хорошая аппроксимация для $F(x+d)$ , иначе — нужно увеличить $\mu$ .
Начальное значение $\mu$ задаётся как $\tau \cdot max\{{a_{ij}}\}$ , где $a_{ij}$ — элементы матрицы $J^T J$ .
$\tau$ рекомендовано назначать за $10^{-3}$ . Критерием остановки является достижение глобального минимуму, т.е. $F^{'}(x^*)=g(x^*)=0$

В оптимизаторах я не реализовывал критерий остановки — за это отвечает пользователь. Мне нужно было только движение к следующей точке.

class LevenbergMarquardtOptimizer(Optimizer):
    def __init__(self, function, initialPoint, gradient=None, jacobi=None, hessian=None,
                 interval=None, function_array=None, learningRate=1):
        self.learningRate = learningRate
        functionNew = lambda x: np.array([function(x)])
        super().__init__(functionNew, initialPoint, gradient, jacobi, hessian, interval, function_array=function_array)
        self.v = 2
        self.alpha = 1e-3
        self.m = self.alpha * np.max(self.getA(jacobi(initialPoint)))

   def getA(self, jacobi):
       return np.dot(jacobi.T, jacobi)

   def getF(self, d):
       function = self.function_array(d)
       return 0.5 * np.dot(function.T, function)

   def next_point(self):
       if self.y==0: # finished. Y can't be less than zero
           return self.x, self.y

    jacobi = self.jacobi(self.x)
    A = self.getA(jacobi)
    g = np.dot(jacobi.T, self.function_array(self.x)).reshape((-1, 1))
    leftPartInverse = np.linalg.inv(A + self.m * np.eye(A.shape[0], A.shape[1]))
    d_lm = - np.dot(leftPartInverse, g) # moving direction
    x_new = self.x + self.learningRate * d_lm.reshape((-1)) # line search
    grain_numerator = (self.getF(self.x) - self.getF(x_new))
    gain_divisor = 0.5* np.dot(d_lm.T, self.m*d_lm-g) + 1e-10
    gain = grain_numerator / gain_divisor
    if gain > 0: # it's a good function approximation.
        self.move_next(x_new) # ok, step acceptable
        self.m = self.m * max(1 / 3, 1 - (2 * gain - 1) ** 3)
        self.v = 2
    else:
        self.m *= self.v
        self.v *= 2

    return self.x, self.y

Результат получился тоже хороший:

Итерация	X	Y	Z
0	-2	-2	22.5
4	0.999	0.998	$10^{-7}$
11	1	1	0

При learningrate =0.2:

Сравнение методов

Название метода	Целевая функция	Достоинства	Недостатки	Сходимость
Метод наискорейший спуск	дифференцируемая	-широкий круг применения -простая реализация -низкая цена одной итерации	-глобальный минимум ищется хуже, чем в остальных методах -низкая скорость сходимости вблизи экстремума	локальная
Метод Нютона	дважды дифференцируемая	-высокая скорость сходимости вблизи экстремума -использует информацию о кривизне	-функция должны быть дважды дифференцируема -вернёт ошибку, если матрица Гессе вырождена ( не имеет обратной) -есть шанс уйти не туда, если находится далеко от экстремума	локальная
Метод Гаусса-Нютона	нелинейный МНК	-очень высокая скорость сходимости -хорошо работает с задачей curve-fitting	-колонки матрицы J должны быть линейно-независимы -налагает ограничения на вид целевой функции	локальная
Алгоритм Левенберга — Марквардта	нелинейный МНК	-наибольная устойчивость среди рассмотренных методов -наибольшие шансы найти глобальный экстремум -очень высокая скорость сходимости(адаптивная) -хорошо работает с задачей curve-fitting	-колонки матрицы J должны быть линейно-независимы -налагает ограничения на вид целевой функции -сложность в реализации	локальная

Несмотря на хорошие результаты в конкретном примере рассмотренные методы не гарантируют глобальную сходимость(найти которую — крайне трудная задача). Примером из немногих методов, позволяющих всё же достичь этого, является алгоритм basin-hopping

Совмещённый результат(специально понижена скорость последних двух методов):

Исходники можно скачать с github

Источники

K. Madsen, H.B. Nielsen, O. Tingleff(2004): Methods for non-linear least square
Florent Brunet(2011): Basics on Continuous Optimization
Least Squares Problems

Tags:

Hubs: