Шипастики повсюду
Мы зовём его «Шипастиком» [Spikey], и в своей сегодняшней жизни я встречаюсь с ним постоянно:
Он происходит от трёхмерного объекта, многогранника под названием «ромбический шестидесятигранник».
Но какова его история и почему мы сделали его своим символом?
Происхождение Шипастика
В 1987 году, когда мы разрабатывали первую версию Mathematica, одной из её инноваций стала возможность генерации не зависящей от разрешения трёхмерной графики на основе символьных описаний. В ранних демонстрациях это позволило нам выдавать удивительно чёткие изображения правильных многогранников. Но, приближаясь к релизу Mathematica 1.0, мы захотели использовать какой-то более впечатляющий пример. Поэтому мы решили взять последний правильный многогранник – икосаэдр – и сделать из него что-то более сложное путём придания ему звёздчатой формы, или, что более корректно, кумуляции. Да, именно так выглядел первый интерфейс записной книжки, 30 лет тому назад.
Сначала это была просто симпатичная демонстрация, которая довольно быстро работала на тогдашних наших компьютерах. Но вскоре трёхмерный объект, генерируемый ею, стал де-факто использоваться в качестве логотипа для Mathematica. И к моменту выхода версии 1.0 в 1988 году звёздчатый икосаэдр был повсюду:
Со временем стали появляться различные посвящения нашему звёздчатому многограннику – выполненные в разных материалах и размерах:
Но, спустя всего год после выхода Mathematica 1.0, мы были готовы выпустить Mathematica 1.2, и чтобы передать усложнение продукта, нам требовался усложнённый логотип. Один из наших разработчиков, Игорь Ривин, защитил докторскую на тему многогранников в гиперболическом пространстве – и благодаря его усилиям наши материалы для версии 1.2 украсил гиперболический икосаэдр:
Мои сотрудники подарили на мой 30-й день рождения в 1989 году футболку с современным тогда Шипастиком, и цитатой, которую я поддерживаю и спустя столько лет:
«Компания – это весело»
После выхода Mathematica 1.2 в наших маркетинговых материалах можно было встретить целую коллекцию гиперболических правильных многогранников, но с появлением в 1991 версии 2.0 мы решили, что больше всего нам нравился гиперболический икосаэдр:
Но мы продолжали исследовать и другие шипастые формы. Вдохновившись рисунком Леонардо да Винчи «деревянной модели» звёздчатого икосаэдра (выполненным с удивительно точным соблюдением перспективы) для книги Луки Пачоли «О божественной пропорции», мы заказали плакат версии 2.0, где пять пересекающихся тетраэдров расположены так, что их внешние вершины образуют додекаэдр:
Сегодня, просматривая мои архивы от 1991 года, я нахожу «поясняющий» код, и приятно видеть, что он запросто выполняется в нашей последней версии Wolfram Language (хотя сегодня его можно записать чуть элегантнее):
С годами это стало странным ритуалом – готовясь к запуску следующей основной версии Mathematica, мы организуем серьёзные встречи, где занимаемся «выбором нового Шипастика». Иногда выбирать приходится из сотен разных вариантов, созданных с использованием совершенно разных алгоритмов:
Но, хотя цветовые палитры видоизменяются, и Шипастики часто отражают наличие новых возможностей в системе (пусть и несколько подспудно), у нас есть 30-летняя традиция выбора вариантов гиперболического додекаэдра:
В последнее стало принято изучать параметрическое пространство – хотя сейчас мы накопили уже сотни параметров:
У гиперболического додекаэдра 20 вершин – это идеально подходило для празднования 20-летия Mathematica в 2008-м. Но когда мы захотели сделать что-то подобное на 25-летие в 2013-м, мы столкнулись с проблемой отсутствия правильных многогранников с 25-ю вершинами. Но (по сути, используя функцию SpherePoints[25]), мы смогли создать приблизительную фигуру, и распечатали её на 3D-принтере для всех сотрудников компании, с размерами, соответствующими стажу сотрудников.
Выход Wolfram|Alpha
В 2009 мы готовились к выходу Wolfram|Alpha, и системе требовался логотип. Концепций было множество:
Нам хотелось подчеркнуть, что Wolfram|Alpha работает при помощи вычислений, а не, допустим, как поисковик. И какое-то время мы хотели использовать что-то с шестерёнками. Но нам также хотелось, чтобы логотип напоминал давнишний логотип Mathematica. Это породило один из тех проектов типа «наш генеральный сошёл с ума»: создание шестерёнчатого механизма из шипастых форм.
Давний пользователь Mathematica и Wolfram Language, инженер-механик из Венгрии Сандор Кабай помог нам, предложив «шипастые шестерни»:
Вернувшись к пересекающимся тетраэдрам из 2-й версии, он сотворил нечто такое:
В 2009-м году стали очень популярными 3D-принтеры, и мы думали, что будет неплохо сделать для Wolfram|Alpha логотип, который можно будет распечатать. Гиперболический многогранник не подходил – шипы могли отломаться и представлять угрозу. У фигур вроде шипастика 4-й версии, с «безопасными шипами», недоставало элегантности.
Какое-то время мы цеплялись за идею с шестерёнками. Но в итоге решили, что стоит ещё раз взглянуть на обычные многогранники. Но какой многогранник мы можем себе выбрать?
Конечно, возможных многогранников существует бесконечное количество. Но для нашего логотипа мы хотели выбрать симметричный и до какой-то степени «правильный» многогранник. Пять правильных многогранников (или «Платоновых тел») – грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники – можно считать «самыми правильными» из всех:
Существует ещё 13 архимедовых тел – у них идентичные вершины, а в качестве граней выступают правильные многоугольники, хотя и разных типов:
Типов «правильности» многогранников можно придумать множество. Один из примеров – «однородные многогранники», которые демонстрирует плакат из журнала The Mathematica Journal от 1993:
За те годы, что Эрик Вайштайн собирал коллекцию, которая к 1999 году превратилась в MathWorld, он попытался включить в неё статьи по как можно большему количеству чем-либо примечательных многоугольников. В 2006, в рамках включения в Mathematica и Wolfram Language различных систематизированных данных, мы стали включать в них и данные по многоугольникам с MathWorld. В результате после выпуска версии 6.0 в 2007-м в ней появилась функция PolyhedronData, где содержались исчерпывающие данные по 187 примечательным многоугольникам:
В Mathematica и Wolfram Language всегда можно было генерировать правильные многоугольники, но теперь это стало делать проще. С версией 6.0 мы выпустили также и Wolfram Demonstrations Project, который быстро стал пополняться различными демонстрациями, связанными с многогранниками.
Одна из них была сделана моей дочерью Катериной, когда ей было 10 лет (сегодня она продолжает развиваться в направлениях, связанных с геометрией): это «многогранные коалы», с разбивкой по всем используемым многогранникам из PolyhedronData[]:
Вот на таком фоне в 2009-м мы захотели «выбрать многогранник» для Wolfram|Alpha. Решилось всё в пятницу 6 февраля, когда я взялся за дело сам.
У меня сохранилась та записная книжка, и по ней видно, что сначала я пытался реализовать сомнительную идею размещения сфер в вершинах многогранников:
Но, как записано в истории Notebook History, всего две минуты спустя я уже перешёл к чистым многогранникам – все они были оранжевого цвета, который мы тогда хотели использовать для логотипа:
Многогранники выстраивались в алфавитном порядке по названиям, и на 28-й строке появился он – ромбический шестидесятигранник.
Пару минут спустя, в 00:24:24, 7 февраля 2009 года, я обнаружил этот ромбический шестидесятигранник и развернул его в симметричное положение, которое мы и используем ныне:
Мне захотелось посмотреть, как он будет выглядеть в серых цветах и в виде силуэта, и четыре минуты спустя я использовал ColorSeparate, чтобы выяснить это:
Я сразу начал писать e-mail, который я отправил в 00:32:
Мне очень нравится RhombicHexecontahedron. У него интересная и очень симметричная форма. Мне кажется, его точность как раз подходит нам, а силуэт выглядит довольно разумно.
Я, очевидно, просто скопировал RhombicHexecontahedron из записной книги (сомневаюсь, что смог бы без ошибок написать «шестидесятигранник» [hexecontahedron]). Из моих архивов мне известно, что это был первый раз, когда я написал название многогранника, которому суждено будет стать моим самым любимым.
В Wolfram Language было очень просто получить изображение ромбического шестидесятигранника, и поиграться с ним:
К понедельнику было ясно, что победил ромбический шестидесятигранник – и наш изобразительный департамент занялся его отрисовкой в качестве логотипа для Wolfram|Alpha. Мы пробовали различные его ориентации, но в итоге остановились на симметричном положении «в анфас», выбранном мною. (Также нам нужно было выбрать наилучшее «фокусное расстояние» для наиболее подходящего ракурса).
Как и у нашего звёздчатого икосаэдра от версии 1.0, у ромбического шестидесятигранника 60 граней. Но каким-то образом, благодаря «пятилепестковым» комбинациям, он выглядит гораздо более элегантным. Довольно много усилий было потрачено на то, чтобы подобрать такое затенение граней, чтобы двумерный рисунок правильно отражал трёхмерный объект. Но вскоре мы представили первую официальную версию своего логотипа:
Она быстро стала появляться повсеместно, и, как дань нашим ранним идеям, часто на фоне, украшенном шестерёнками:
Несколько лет спустя мы немного подправили затенение граней, что и привело к созданию логотипа Wolfram|Alpha, использующегося до сих пор:
Ромбический шестидесятигранник
Что же такое ромбический шестидесятигранник? По-английский он называется hexecontahedron, поскольку у него 60 граней, а ἑξηκοντα (хексеконта) – это греческое слово, обозначающее «60». Его грани – это золотые ромбы, которые называются так потому, что их диагонали соотносятся друг с другом соответственно золотому сечению: φ = (1 + √5)/2 ≃ 1,618:
Ромбический шестидесятигранник – интересное промежуточное тело между икосаэдром и додекаэдром (с икосододекаэдром между ними). 12 внутренних вершин ромбического шестидесятигранника формируют правильный икосаэдр, а 20 внешних вершин – правильный додекаэдр. 30 «промежуточных вершин» формируют икосододекаэдр, 32-гранник (у него 20 треугольных и 12 пятиугольных граней):
В сумме, у ромбического шестидесятигранника 62 вершины и 120 рёбер (а также 120-62+2 = 60 граней). У него три типа вершин («внутренние», «средние» и «внешние»), соответствующие 12+30+20 вершинам икосаэдра, икосододекаэдра и додекаэдра. У этих вершин сходятся вместе соответственно по 3, 4 и 5 рёбер. У каждой грани есть одна «внутренняя» вершина, в которой сходятся 5 рёбер, одна внешняя вершина, где сходятся три ребра, и две «промежуточные», где сходятся 4 ребра. Внешняя и внутренняя вершины – остроугольные вершины золотых ромбов, а промежуточные – тупоугольные.
Угол у остроконечных вершин золотых ромбов равен 2 tan−1 (φ−1) ≈ 63,43°, а у тупоконечных — 2 tan−1 (φ) ≈ 116,57°. Такие углы позволяют собрать ромбический шестидесятигранник из конструктора Zometool, используя только красные опоры (как и в случае с додекаэдром):
Из 120 рёбер ромбического шестидесятигранника у 60 «внутренних шарниров» двугранный угол равен 4π/5=144°, а у 60 внешних он равен 2π/5=72°. Углы, стягиваемые внешними и внутренними вершинами, равны π/5 и 3π/5.
Чтобы нарисовать ромбический шестидесятигранник, необходимо знать трёхмерные координаты его вершин. Их удобно получить, используя тот факт, что ромбический шестидесятигранник инвариантен относительно группы икосаэдра, поэтому можно начать с одного золотого ромба и просто добавить 60 матриц, формирующих трёхмерное представление группы икосаэдра. Это, к примеру, даёт итоговые координаты вершин в {±φ,±1,0}, {±1,±φ,±(1+φ)}, {±2φ,0,0}, {±φ,±(1+2φ),0}, {±(1+φ),±(1+φ),±(1+φ)} и их циклические перестановки со всеми возможными знаками.
Кроме того, что грани ромбического шестидесятигранника – это золотые ромбы, ромбический шестидесятигранник можно сконструировать из 20 золотых ромбоэдров (у которых все шесть граней – золотые ромбы):
Есть и другие способы создания ромбический шестидесятигранник из других многогранников. Его можно получить из пяти пересекающихся кубов и из 182 додекаэдров, соприкасающихся гранями:
Из ромбических шестидесятигранников нельзя выложить непрерывную мозаику, но они хорошо зацепляются друг с другом (и, да, я видел, как десятки бумажных Шипастиков складывались таким способом):
Также из них можно сделать всякие кольца и другие конфигурации:
Близким родственником ромбического шестидесятигранника (РШ) является ромбический тридцатигранник (РТ). У РШ и РТ есть грани, представляющие собой золотые ромбы. Но у РШ их 60, а у РТ их 30. Вот, как выглядит отдельный РТ:
Несколько РТ прекрасно вкладываются в «кармашки» РШ, и получаются подобные вещи:
Упомянутый ранее Сандор Кабай заинтересовался РШ и РТ около 2002 года. И после запуска Wolfram Demonstrations Project он вместе со словенским математиком Исидором Хафнером добавили к проекту более сотни демонстраций, связанных с РШ, РТ и множеством их свойств:
Бумажные модели Шипастика
Как только мы определились, что Шипастик будет РШ, мы начали делать его 3D-модели. Сейчас это очень просто сделать при помощи функции Printout3D[PolyhedronData[...]], а на сторонних ресурсах можно найти уже просчитанные модели.
В мае 2009 при запуске Wolfram|Alpha у нас было под рукой уже множество трёхмерных Шипастиков:
Но, готовясь к первому праздничному сезону после этого события, мы решили дать каждому возможность сделать своего трёхмерного Шипастика. Сначала мы рассматривали вариант с 20-ю ромбоэдрическими магнитами, покрытыми пластиком. Но они выходили дорогими, и не очень хорошо слипались вместе.
Это привело нас к идее изготовления Шипастика из бумаги или тонкого картона. Поэтому сначала мы захотели сделать схему, которую можно было сложить в Шипастика:
Тестировщиком служила моя дочь Катерина (и тестовый образец до сих пор у неё), но стало ясно, что в процессе складывания проявляется очень много неудобных ситуаций, в которых неясно, как перейти из одного положения в другое. Раскладок можно сделать огромное количество (только для додекаэдра и икосаэдра их существует 43 380) – и мы подумали, что, возможно, из них получится выбрать что-то получше:
Но, когда нам не удалось найти такую схему, у нас появилась новая (пусть и очевидная) идея: если моделька будет держаться за счёт ушек, почему бы не сделать её из нескольких кусочков? Мы быстро поняли, что для этого нужно взять всего 12 идентичных кусочков такого вида:
С их помощью мы и создали наши "наборы для бумажных скульптур":
Интересной задачей стало написание лёгкой для понимания инструкции, но после нескольких итераций инструкции стали хорошо отработанными и простыми:
И после того, как бумажные Шипастики пошли в народ, наши пользователи начали присылать нам всяческие изображения Шипастиков «на местах»:
Путь к ромбическому шестидесятиграннику
Многогранный кубик из древнего Египта
Неизвестно, кто первым описал платоновы тела. Возможно, это сделали пифагорейцы (жившие недалеко от таких больших залежей многогранных кристаллов пирита). Возможно, это сделал кто-то задолго до них. Возможно, это был современник Платона, Теэтет Афинский. Но, в любом случае, ко времени Платона (ок. 400 г. до н.э.), было известно пять платоновых тел. А когда Евклид писал свои «Элементы» (ок. 300 г до н.э.), одним из столпов этого труда было доказательство отсутствия других правильных многогранников. Это доказательство известно тем, что делает наибольшее количество шагов от изначальных аксиом Евклида — 32.
Платоновы тела использовали для игральных костей и орнаментов. Но ещё им была отведена центральная роль в размышлениях о природе – к примеру, Платон предполагал, что в некотором смысле из них может состоять всё: земля из кубов, воздух из октаэдров, вода из икосаэдров, огонь из тетраэдров, а небеса («эфир») из додекаэдров.
А что насчёт других многогранников? В IV веке н.э. Папп Александрийский писал, что за пару столетий до этого Архимед открыл 13 других «правильных многогранников» – видимо, то, что сейчас называется архимедовыми телами – хотя подробности этого утеряны. И в течение тысячи лет с многогранниками мало что происходило. Но в XV веке с началом эпохи Возрождения многогранники внезапно снова вошли в моду. Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер регулярно использовали их в искусстве и дизайне, заново открывая некоторые из архимедовых тел – а также обнаруживая новые многогранники, например, икосододекаэдр.
Но самым крупным шагом вперёд для многогранников стала работа Иоганна Кеплера в начале XVII века. Всё началось с элегантной, пусть и совершенно неверной теории. Кеплер, исходя из теологических предпосылок, считал, что Вселенная должна быть создана с математической точностью, и предположил, что шесть планет, известных в то время, двигаются по вложенным сферам, вписанным и описанным вокруг пяти платоновых тел:
В своей книге 1619 года Harmonices mundi, «Гармония мира», Кеплер доказывал, что многие особенности музыки, планет и душ работают согласно схожим геометрическим соотношениям и принципам. Для подтверждения аргументов Кеплер изучал многоугольники и многогранники, особенно интересуясь объектами, составляющими полные наборы, вроде платоновых тел.
Он изучал «контактные многогранники», которыми можно вымостить плоскость – и нашёл, к примеру, "чудовищные плитки", как он их называл (состоящие из пятиугольников, пентаграмм и десятиугольников). Он изучал «звёздчатые многогранники» и нашёл различные звёздчатые варианты платоновых тел (и тело Кеплера — Пуансо). В 1611 он опубликовал небольшую книгу касаемо шестигранной структуры снежинок, написанную в качестве подарка на новый год одному из его покровителей. В этой книге он обсуждал трёхмерную упаковку сфер (и сферических атомов), предложив гипотезу о том, что плотнейшей упаковкой шаров в трёхмерном пространстве (мы регулярно наблюдаем её реализацию в упаковках фруктов в магазинах) является гранецентрированная кубическая упаковка (эту гипотезу формально доказали только после 2000 года – с помощью Mathematica).
В различных упаковках Кеплера скрываются разные многогранники. Начнём с любой сферы, возьмём её соседей и соединим их центры, чтобы получились вершины многогранника. В плотнейшей упаковке Кеплера любой сферы касаются 12 других, и из их центров получается кубооктаэдр с 12 вершинами и 14 гранями. Но Кеплер описывал и другую упаковку, на 8% менее плотную, в которой каждой сферы касается по 8 других, и ещё 6 стоят очень близко. Если соединить их центры, мы получим ромбический додекаэдр, с 14 вершинами и 12 гранями:
Обнаружив это, Кеплер начал поиски других «ромбических многогранников». В найденном им ромбическом додекаэдре ромбы состояли из пар равносторонних треугольников. Но к 1619 году Кеплер изучал и золотые ромбы – и нашёл ромбический тридцатигранник, после чего нарисовал в своей книге его красивое изображение, рядом с ромбическим додекаэдром:
Кеплер сразу же нашёл применение ромбическим многоугольникам: он хотел использовать их и куб, чтобы построить модель вложенных сфер, подходящую к орбитам четырёх лун Юпитера, открытых Галилеем в 1610-м.
Почему Кеплер не открыл ромбический шестидесятигранник? Думаю, он подошёл к нему довольно близко. Он изучал невыпуклые звёздчатые многогранники. Он рассматривал ромбические многогранники. Но, видимо, для его астрономических теорий хватило и ромбического тридцатигранника, после чего он прекратил поиски.
В итоге, конечно, законы Кеплера, не имеющие отношения к многогранником, стали главным вкладом в астрономию, пережившим его. Но работа Кеплера по многогранником – пусть и проведённая в рамках неверной физической теории – остаётся вечным вкладом в математику.
За последующие три столетия было найдено больше многогранников различной правильности – и к началу XX математикам было известно уже множество их видов:
Но, насколько я могу судить, РШ среди них не было. Его открытие ждало работы Гельмута Ункельбаха. Он родился в 1910, защитил докторскую по математике в Мюнхенском университете в 1937 (хотя сначала изучал физику). Написал несколько работ по конформному отображению, и – возможно, благодаря изучению отображения многогранников, — в 1940 году опубликовал на немецком языке работу «Рёбро-симметричные многогранники».
Он пояснил, что его целью было всеобъемлющее исследование всех возможных многогранников, удовлетворявших особому новому определению правильности: все рёбра имеют одинаковую длину, и находятся в плоскости симметрии многогранника. Основным результатом работы стала таблица с 20 различными многогранниками такого свойства:
Кликабельно
Большая часть из них уже была известной. Но Ункельбах выделил три из них, которые считал новыми: два гекзакисоктаэдра (или дисдакисдодекаэдра), два гекзакисикосаэдра (или дисдакистриаконтаэдра) и то, что он назвал Rhombenhexekontaeder, или ромбический шестидесятигранник. И он явно считал РШ своим главным достижением, и включил фотографию его модели, сделанной им самим:
Как же он вывел РШ? Он начал с додекаэдра, и определил две его плоскости симметрии:
Затем разделил каждую из его граней:
Затем, по сути, выдавил центры каждой из граней на расстояние, равное обычному расстоянию до центра, умноженному на некое α:
Для α < 1 получавшиеся грани не пересекались. Но для большинства значений α их стороны не были равными. Это происходит только в определённом случае – когда итоговый многогранник точно совпадает с РШ.
Ункельбах считал свою работу 1940 года «разогревом» для более обширного исследования «k-симметричных многогранников» с менее жёсткими требованиями к симметрии. Но уже, конечно, чудом было то, что в Германии после начала Второй Мировой войны публиковался математический журнал – вскоре после этой публикации Ункельбаха призвали на фронт, где он несколько лет разрабатывал акустические торпеды для немецкого флота.
Больше работ по многогранникам он не публиковал, и умер в 1968. После годы он вернулся к конформному отображению, а ещё начал публиковаться по теории голосований, считая её ключом к созданию хорошо работавшей демократии, и думая, что математики были обязаны сделать так, чтобы люди начали её использовать.
Но, даже появившись в работе 1940 года, РШ мог прозябать там вечно, если бы в 1946 году некто Гарольд Скотт Макдональд Коксетер не написал небольшой обзор этой работы для относительно нового журнала American Mathematical Reviews. В его обзоре перечисляются многогранники, упомянутые в работе, как у натуралиста могут быть перечислены новые виды, открытые им в экспедиции. Главное, что он описал там и «примечательный ромбический шестидесятигранник», и упомянул, что «форма его граней совпадает с формой граней тридцатигранника, из которого он получен приданием звёздчатой формы».
Многогранники не были популярной темой в математике середины XX века, но Коксетер был их главным сторонником – и так или иначе был связан со всеми, кто их изучал. В 1948 году он опубликовал книгу «Правильные политопы». В ней систематически описываются различные семейства правильных многогранников, в частности, и великий звёздчатый тридцатигранник – по сути, содержащий в себе РШ:
Но в своей книге Коксетер не упоминает прямо РШ, и хотя он удостоился упоминаний некоторых любителей многогранников, РШ продолжал оставаться малоизвестным.
Квазикристаллы
Кристаллы всегда были важными примерами многогранников в природе. Но к XIX веку, когда всё больше признания получала атомная теория, учёные начали проводить всё более серьёзные исследования в области кристаллографии и расположения атомов в кристаллах. Многогранники стали часто появляться, в частности, в представлениях геометрии повторяющихся блоков атомов («ячеек») в кристаллах.
К 1850-му было известно, что таких геометрий может быть только 14 – среди них есть и основанная на ромбическом додекаэдре. Они примечательны наличием у них симметрий второго, третьего, четвёртого или шестого порядков – что, по сути, является следствием того факта, что пространство можно заполнить лишь определёнными многогранниками, точно так же, как двумерную плоскость могут заполнить только такие правильные многоугольники, как квадраты, треугольники и шестиугольники.
А что насчёт других, не кристаллических материалов — например, жидкостей или стекла? Людей ещё с начала XX века интересовала возможность наличия там хотя бы приблизительных симметрий пятого порядка. Правильными икосаэдрами заполнить пространство не получится, но, возможно, получится создать двадцатигранные участки пространства с небольшими промежутками между ними.
Этот вопрос оставался нерешённым до 1980-х, когда электронная дифракционная кристаллография на быстро охлаждаемом сплаве алюминия и марганца продемонстрировала наличие пятикратной симметрии. Теории достижения такой симметрии уже существовали, и через несколько лет появились также изображения, сделанные электронным микроскопом, на которых были видны частички, имеющие форму ромбического тридцатигранника:
И, пока люди представляли себе, как эти тридцатигранники могут совмещаться друг с другом, появился ещё и ромбический шестидесятигранник – в виде «дырки» в скоплении 12 ромбических тридцатигранников:
Сначала его называли 20-конечной звездой. Но затем его связали с описаниями в литературе по многогранником, и определили, как РШ.
Тем временем идея создавать предметы из ромбических элементов набирала всё больше популярности. К массовому увлечению присоединился Майкл Лонге-Хиггинс, океанограф и эксперт по формированию волн в океане, и в 1987 году запатентовал игрушку, основанную на ромбоэдрических элементах, из которой можно было собрать «звезду Кеплера» (РШ) или «шар Кеплера» (ромбический тридцатигранник):
И – хотя я узнал об этом только сейчас – ромбоэдрические блоки, которые мы в 2009 году рассматривали, как вариант для создания «Шипастиков», реально выпускала компания Dextro Mathematical Toys (Rhombo.com), работавшая на базе дома Лонге-Хиггинса в Сан-Диего.
Вопрос успешного заполнения пространства трёхмерными фигурами – или даже плоскости двумерными фигурами – довольно сложен. Ещё с 1960-х известно, что в общем случае задача о том, может ли определённый набор форм заполнить плоскость, является неразрешимой. (В принципе, можно проверить, могут ли 1000 этих форм быть составлены друг с другом, но чем больше форм мы будем рассматривать, тем больше вычислительных ресурсов это потребует).
Такие люди, как Кеплер, вероятно, предполагали, что если набор форм может заполнить плоскость, то это можно будет сделать в виде повторяющегося узора. Однако после того, как стало понятно, что в общем случае эта задача не решается, Роджер Пенроуз в 1974 году придумал две формы, которые могут заполнить плоскость без повторяющихся узоров. К 1976 году Пенроуз (и Роберт Амманн) придумали упрощённую версию этих форм:
И, да, эти формы имеют вид ромбов, хотя и не золотых. Но с углами в 36°, 144° и 72°, 108° они имеют 5-кратную и 10-кратную симметрию.
Этими ромбами нельзя выложить повторяющиеся узоры. Но, оказывается, что ими можно выложить узор, построенный систематическим вложенным способом:
И, да, средняя часть 3-го шага очень похожа на уплощённого Шипастика. Но она не полностью совпадает с ним, внешние ромбы имеют немного другой формат.
Однако, близкая связь между ними всё же существует. Представьте, что мы начнём не с плоскости, а с половины трёхмерного ромбического тридцатигранника, состоящего из золотых ромбов:
Сверху он выглядит точно так же, как начало вложенной конструкции мозаики Пенроуза. Если продолжить этот процесс, мы получаем эту мозаику:
Если посмотреть на него «сбоку», то видно, что это всё ещё одинаковые золотые ромбы:
Составив четыре этих «крыши Вайринга» [Wieringa roof], можно получить как раз РШ:
Какова же связь этих вложенных конструкций и реального способа формирования физических квазикристаллов? Пока неясно. Но довольно интересно наблюдать за тем, как намёки на РШ появляются в природе.
Исторически именно благодаря обсуждению квазикристаллов Сандор Кабаи начал изучать РШ при помощи Mathematica, что привело Эрика Вайштайна к их открытию, что привело к их включению в Mathematica и Wolfram Language, что привело к тому, что я выбрал один из них для нашего логотипа. В честь этого мы печатаем внутри нашего бумажного Шипастика мозаику Пенроуза:
Уплощение Шипастика
Наш Шипастик для Wolfram|Alpha ворвался в мир в 2009 году с выходом Wolfram|Alpha. Но у нас есть ещё и наш Шипастик для Mathematica, который давно развивается и эволюцинирует. Поэтому, когда мы в 2011 построили нашу новую европейскую штаб-квартиру, за присутствие в ней соперничали два Шипастика.
Наш давний арт-директор Джереми Дейвис придумал следующее: взять одного из Шипастиков, и «идеализировать» его, используя один лишь его «скелет». Решение начать с РШ было несложным. Но затем мы расплющили его, и так появилась первая версия ныне знакомого логотипа:
Бразильский сюрприз
Когда я начинал эту статью, я думал, что вся история на этом и закончится. Ведь я уже описал, как мы выбрали для себя РШ, и как его придумали математики. Но перед тем, как закончить писать, я решил: «Просмотрю-ка я все письма по поводу Шипастика за все годы, просто чтобы убедиться, что я ничего не упустил».
И тогда я заметил e-mail от июня 2009 года от бразильского художника Иоланды Киприано. Она писала, что увидела статью о Wolfram|Alpha в бразильском новостном журнале, обратила внимание на Шипастика, и привела ссылку на свой сайт. С тех пор прошло уже больше 9 лет, но я всё равно пошёл по этой ссылки, и был поражён, увидев следующее:
Я продолжил читать её письмо: «У нас в Бразилии этот объект называется Giramundos или „цветок мандакару“ и его в качестве художественного орнамента делают из салфеток».
Что?! В Бразилии есть традиция, связанная с Шипастиком, и за все годы мы о ней не слышали? Вскоре я обнаружил его изображения в сети. Малая часть моделей была сделана из бумаги, большая часть была из ткани – но их было множество:
Я написал своему бразильскому другу, работавшему над первыми версиями Wolfram|Alpha. Он быстро ответил: «Эти объекты и правда кажутся знакомыми. К стыду своему, мне не хватило стремления сопоставить два и два», — и отправил мне картинки из местного каталога произведений искусства и поделок:
Охота началась: что это были за объекты и откуда они взялись? Некто из нашей компании сообщил, что его прабабушка из Чили вязала такие штуки крючком, и всегда делала им хвост. Мы начали связываться с людьми, размещавшими в сети фотографии «народных шипастиков». Довольно часто оказывалось, что они купили свои экземпляры в магазинах. Но иногда люди говорили, что знают, как их делать. И у всех была практически одна и та же история: они научились этому от бабушек.
Типичный способ собрать народного шипастика – по крайней мере, в наше время – заключается в том, чтобы вырезать 60 ромбов из картона. Затем каждый нужно обернуть в ткань, и сшить их вместе:
Но тут сразу возникает математическая проблема. Правда ли эти люди правильно размечают и вырезают золотые ромбы с углом в 63°? Обычно нет. Они делают ромбы с 60° из пар равносторонних треугольников – это стандартная ромбовидная форма, используемая при изготовлении лоскутных одеял. Так как же получаются Шипастики? Ну, разница между 60° и 63° невелика, и если сшивать грани, то между ними останется достаточно пространства для манёвра, поэтому достаточно просто можно сделать многогранник, не добиваясь абсолютно точных углов. (Бывают ещё и квази-Шипастики, у которых, как в конструкции Ункельбаха, вместо граней не ромбы, а острые «внешние треугольники»).
Народные шипастики в интернете обозначаются по-разному. Чаще всего – Giramundos. Часто их называют Estrelas da Felicidade («звёзды счастья»). Запутывает дело то, что иногда их называют «моравскими звёздами», но на самом деле моравские звёзды – это куда как более острые многогранники (чаще всего сделанные из ромбокубооктаэдра), в последнее время набирающие популярность в роли светильников.
Несмотря на долгое расследование, мне до сих пор неизвестна вся история народных шипастиков. Вот, что я обнаружил. Во-первых, в основном существующие сегодня народные шипастики сконцентрированы в Бразилии (хотя у нас есть истории об их появлении в других местах). Во-вторых, традиция выглядит довольно старой, она однозначно появилась задолго до XX века, и, возможно, за несколько столетий до этого. Насколько я могу судить, она передаётся из уст в уста, как обычно бывает с народным творчеством, и никаких реальных исторических документов на этот счёт я не нашёл.
Лучшую информацию предоставила мне некто Паула Гуэрра, продававшая народных шипастиков в туристическом кафе, которым она управляла десять лет назад, расположенном в историческом городе Сан-Луис-ду-Парайтинга. Она сказала, что в её кафе приезжали люди со всей Бразилии, видели народных шипастиков, и говорили что-то вроде «Я не видел таких штук уже лет 50».
Сама Паула узнала про народных шипастиков (она называет их «звёздами») от более старой женщины, жившей на семейной ферме, которая делала их с тех пор, когда была ещё девочкой, и научилась этому от своей матери. Её процесс – судя по всему, типичный – состоял в том, чтобы раздобыть где угодно картон (изначально это было что-то вроде шляпных коробок), покрыть кусочки тканью и сшить их вместе, получив объект размером порядка 15 см.
Насколько стар народный шипастик? Это можно оценить только по устной традиции. Мы нашли несколько людей, которые видели, как шипастиков делали их родственники, родившиеся в районе 1900 года. Паула сказала, что десять лет назад она встречалась с 80-летней женщиной, которая рассказала ей, что когда она росла на кофейной ферме 200-летней давности, там была целая полка, где стояли народные шипастики, сделанные четырьмя поколениями женщин.
Часть истории народного шипастика, судя по всему, вращается вокруг традиций, передаваемых от матери к дочери. Говорят, что матери часто делали шипастиков в качестве свадебных подарков для своих дочерей. Обычно шипастиков делали из обрезков одежды и других вещей, напоминающих дочерям о детстве – что-то типа того, как лоскутные одеяла сегодня делают для детей, отправляющихся в колледж.
Однако с народными шипастиками обнаружился ещё один поворот: часто перед зашиванием игрушки мать клала внутрь деньги, которые её дочь могла использовать в критических случаях. А дочь хранила своего шипастика вместе со своими швейными принадлежностями, где его вряд ли нашёл бы её муж. Некоторые шипастики использовались как подушки для булавок – что, возможно, служило дополнительным препятствием для мужей.
В каких семьях поддерживалась традиция изготовления народных шипастиков? Примерно с 1750 года в сельских местностях Бразилии было много кофейных и сахарных плантаций, удалённых от городов. Примерно до XX века фермеры часто брали себе в невесты девушек – нередко очень молодых, вплоть до 13 лет – из удалённых городов. Возможно, эти невесты – обычно происходившие из хороших семей португальского происхождения, с относительно неплохим образованием – имели при себе народных шипастиков.
Судя по всему, со временем традиция распространилась на семьи победнее, и в основном там и сохранялась. Но где-то в середине XX века – вероятно, когда в стране начали появляться дороги, запустилась урбанизация, и люди начали уезжать с ферм – традиция практически вымерла. Однако в сельских школах южной Бразилии в 1950-х девочек в художественных классах обучали изготовлению народных шипастиков со специальной щелью для использования в качестве копилок.
Народные шипастики имеют в разных частях Бразилии разную историю. В южных приграничных регионах (рядом с Аргентиной и Уругваем) есть традиция, по которой «звезда св. Мигеля» (она же – народный шипастик) изготавливалась в деревнях женщинами-ворожеями (т.е. «ведьмами»), которые во время изготовления игрушки должны были думать о здоровье больного.
В других частях Бразилии игрушки часто называли именами цветов и фруктов, которые слегка её напоминали. На северо-востоке — Flor Mandacarú (по названию цветов кактуса). В тропических заболоченных территориях – Carambola (в честь плодов карамболы, которые иногда называют «тропическими звёздами»). В центральных лесистых регионах – Pindaíva (в честь красного шипастого фрукта).
Но чаще всего народного шипастика называют Giramundo – довольно старым португальским словом, дословно означающим «кружащийся мир». Судя по всему, игрушки использовались в качестве амулетов, приносящих удачу своим вращением на ветру. Хвосты стали приделывать им недавно, но, судя по всему, их было принято развешивать в домах, возможно, на праздники.
Часто неясно, какая из традиций, породивших шипастика, была оригинальной, а какая появилась недавно. На параде в честь праздника Богоявления (местное название — «день трёх царей») в Сан-Луис-ду-Парайтинга народные шипастики использовались в качестве символа Вифлеемской звезды – но это, судя по всему, традиция не очень древняя, и явно не демонстрирует связей с религией.
Мы обнаружили несколько примеров народных шипастиков, появлявшихся на художественных выставках. Одну из них, проходившую в 1963 году, и посвящённую народному творчеству северо-восточной Бразилии, организовала архитектор Лиина бо Барди. Другую, где выставлялся самый большой из виденных мною трёхмерных шипастиков, организовал в 1997 году архитектор и дизайнер Влавио Империо:
Так откуда пошли народные шипастики? Этого я не знаю до сих пор. Они могли появиться в Бразилии, могли прийти из Португалии или другой части Европы. То, что для их изготовления использовались отрезки ткани и шитьё, может быть аргументов в пользу их африканского или индейского происхождения.
Одна современная ремесленница, делающая шипастиков, сказала, что её прабабушка – делавшая такие игрушки, и родившаяся в конце XIX века – происходит из района Италии под названием Романья (а одна сказала, что научилась делать шипастиков у своей бабушки, происходившей из французских канадцев). Думаю, вполне возможно, что народные шипастики когда-то были распространены в Европе, но вымерли много поколений назад, и эта традиция там не сохранилась. И хотя в европейских картинах предыдущих веков появляется довольно много различных многогранников, мне не известно ни об одном изображении Шипастика среди них (также я не видел Шипастика в исламском искусстве).
Но я вполне уверен, что у народных шипастиков есть одна точка происхождения. Такую вещь вряд ли бы изобрели дважды.
Надо сказать, что это моя не первая охота в области искусства. Более удачным оказался поиск первого вложенного узора (Серпинского) – который в итоге привёл меня в крипту в итальянской церкви, где я наблюдал за тем, как этот узор постепенно открывали на примере каменной мозаики, датируемой XIII веком.
Пока что Шипастик так легко не сдался – и усложняет ситуацию тот факт, что в основном его делали из ткани, которая не сохраняется так хорошо, как камень.
Шипастики оживают
Какого бы ни было его происхождение, Шипастик хорошо играет роль сильного и достойного логотипа. Но иногда забавно оживить Шипастика – и с годами мы изготовили различных персонифицированных Шипастиков по различным поводам:
При использовании Wolfram|Alpha система обычно показывает геометрического Шипастика. Но иногда ваш запрос оживляет его – как, например, запросы о π в день пи:
blog.stephenwolfram.com/data/uploads/2018/12/spikey-lives-happy-pi-day-video.mp4
Шипастики навсегда
Многогранники вечны. Их можно увидеть в изображении 500-летней давности, которое выглядит таким же чётким и современным, как многогранник на моём компьютере.
Я потратил довольно много своего времени на поиски абстрактных вычислительных вещей (к примеру, клеточных автоматов). Им тоже присуще некоторое безвременье. Но для них я не нашёл никаких исторических свидетельств. Как абстрактные объекты, их могли создать в любое время. Но они появились сегодня благодаря имеющимся у нас концептуальным платформам и инструментам – и раньше их никто не видел.
Богатая история и постоянство многогранников имеют возраст в тысячи лет. Внешним видом они напоминают драгоценные камни. Обнаружить правильный многогранник определённого вида – всё равно, что обнаружить драгоценный камень в геометрической вселенной всех возможных форм.
РШ – один из таких удивительных камней, и, изучая его свойства, я стал ещё больше ценить его. Но ещё это драгоценный камень с человеческой историей – и ужасно интересно наблюдать за тем, как такая абстракция, как многогранник, может объединять людей со всего мира с такой разной историей и целями.
Кто первым придумал ромбический шестидесятигранник? Мы не знаем, и, возможно, никогда не узнаем. Но теперь, когда он у нас есть, он останется с нами вечно. Мой любимый многогранник.
