### Часть 1. Золотое «Ку»
Лет в шесть мне попался в руки дедовский справочник[50] по грузовым автомобилям середины 20-го века. Добротный, напечатанный на гладкой плотной бумаге раритет. Единственное, что вообще осталось на память от деда после распада страны, войн и переездов.
В справочнике содержалось множество интересных ТТХ, так что слово «грузоподъёмность» стало мне знакомо с раннего детства. И когда отец на прогулке упомянул, что любой грузовик весит столько же, сколько увозит сам, я это запомнил. Запомнил и, много позже, заинтересовался.
Отец был прав. Для грузовиков 60-х годов это правило выполняется с довольно удивительной точностью:
Гораздо любопытнее, что эта закономерность соблюдается и для совершенно непохожих на грузовики транспортных средств.
Сначала, хохмы ради, я нанёс на график грузовые самолёты. И удивился. Я стал добавлять другие транспортные средства. Ездящие, плавающие и летающие, построенных в веках 19-м, 20-м, и 21-м, работающие на энергии тепловой, атомной, ветровой и даже конной. Результат? Слабо степенная (показатель 1.125), если не просто линейная, зависимость. На массах от сотни килограмм до шестидесяти тысяч тонн. С отклонениями, конечно, куда же без них, до 10 раз иногда, но на шести порядках масс это, очевидно, мелочи.
Вот она, эта зависимость, жмущаяся к диагонали необъятного пустого поля:
На графике отметились: грузовые самолёты; транспортные вертолёты; дирижабли, современные и начала века; космические ракеты-носители (на низкую орбиту); советские грузовики 60-х; современные карьерные самосвалы; современные грузовики России, США, Китая и Индии; электрические кары и грузовые мотороллеры; поезда (с рельсами); атомные контейнеровозы; морские контейнеровозы и грузовые корабли (не танкеры); парусные грузовые корабли 17-20 веков; конвейерные ленты для передачи руды; насовский тягач для вывоза ракет на старт; и, наконец, телеги, запряжённые лошадью.
Если ввести величину Q, определяемую как масса перевозимого груза по отношению к сухой массе транспортного средства, то вот как она выглядит для каждой из групп:
В цифрах значения Q составляют:
Как видно, Q хоть и не везде строго единично, но в рамках каждой группы тяготеет к общему значению, близкому к единице.
Мне это показалось… загадочным. Почему деревянный парусник, алюминиевый электрокар, и атомный контейнеровоз, вмещающий сто тысяч электрокаров, все поднимают более-менее свой вес? Что заставляет нас создавать транспортные средства с качеством Q ≈ 1 на массах, различающихся в тысячи раз? Проявление ли это свойств мировой физики, земной экономики, ограничение ли это человеческого интеллекта? Насколько универсален этот закон, будет ли он выполняться для цивилизаций с других звёзд? Вопросы глобальные. Вряд ли их удастся разрешить здесь и сейчас. Но вот рассмотреть и понадкусать, сколько получится, можно и нужно. Этим мы и займёмся.
Мировой рекорд[180] подъёма штанги человеком среднего веса превышает 200 кг. Теоретически это означает, что в наше тело заложен запас прочности для рывковых нагрузок по крайней мере до Q = 2.5. Однако это требует таких непомерных сил и тренировок, что в повседневной деятельности никогда не применяется. Целесообразнее фасовать сахар в мешки по 50 килограмм, хотя это и требует вчетверо больше грузчиков или ходок. Заметим, что данная ситуация — результат биологической эволюции, в которой человеческий интеллект участия (почти) не принимал, а следовательно, имеет в ней «алиби».
Физика и инженерия сами по себе высоких Q тоже не запрещают. Вон, водородный турбонасосный агрегат для маршевого двигателя Шаттла, та маленькая штучка справа на картинке, развивает мощность в 54 мегаватта[60] при вполне автомобильной массе в 350 кг:
[Image credit: [10]]
Если, упрощая, оценивать Q по мощности на килограмм массы, то это раз в 100 выше, чем у приличного автомобиля. Только ведь и стоит эта штука почти как ракета! Дешевле сделать 100 автомобилей с Q = 1 и перевезти груз ими, нежели пытаться «запрячь» данный агрегат в колёсную тележку.
Подобные соображения наводят на мысль: причины здесь экономические. Причём не в узком смысле конкретных экономик и стран (ибо наши устройства порождены самыми разными народами и системами), а скорее в смысле «целесообразности усилий». Целесообразности достаточно универсальной, чтобы, видимо, распространяться на очень разные изделия и где-то даже на животных.
Статья написана для сайта https://habr.com. При копировании просьба ссылаться на исходник. Автор статьи Евгений Бобух.
Попробуем исследовать границы этой целесообразности количественно. Поставим вопрос: как стоимость устройства с фиксированной массой зависит от Q? Вот, допустим, есть самосвал весом в 10 тонн, увозит 10 тонн груза. Мы хотим сделать тоже 10-тонный, но увозящий 20 тонн (Q = 2) или даже 50 (Q = 5). На том же уровне развития технологий, того же объёма выпуска. Понятно, что большие нагрузки повысят требования и к материалам (сталь -> титан?), и к двигателям (другие температуры, давления), и к инженерии (меньше допуски на ошибки, более хитрые конструкции). Ясно, что с ростом Q всё будет дороже. Но во сколько раз, по сравнению с десятитонным?
Задача эта, конечно, нетривиальна. Тем не менее, кое-какие оценки для неё можно получить из самых общих соображений. Что мы сейчас и проделаем.
Введём функцию C(Q). Она описывает минимально возможную стоимость устройства с эффективностью Q, выраженную в стоимостях аналогичного устройства той же массы при Q = 1. Что про неё известно?
1. С(1) = 1, по определению.
2. C(Q) — непрерывная функция, по крайней мере, пока разница в массе не измеряется штучными атомами. Интуитивно она кажется достаточно гладкой, чтобы иметь несколько первых производных. Думаю, можно допустить (как и с большинством физических функций), что она вообще аналитическая.
3. C(Q) — строго возрастающая функция. Чем выше качество Q, тем труднее сделать конструкцию, и тем она дороже. Т.е. dC(Q)/dQ > 0 по крайней мере для Q > 0.
4. При Q больше примерно 3-х C(Q) начинает возрастать быстрее, чем линейно. Почему? Потому что мы видим, что людям дешевле сделать три грузовика на десять тонн с Q = 1, чем один на тридцать c Q = 3. Обобщая, пишем: k*C(1) < C(k) при k >≈3 — иными словами, C(k) растёт быстрее, чем k, при k >≈3.
5. Аналогично, поскольку десять самолётов с Q = 0.1 явно неэкономичнее одного с Q = 1 (ибо строят вторые, а не первые), то для k >≈3 имеем: k*C(1/k) > C(1), или C(1/k) > 1/k.
6. Стоимость насоса от Шаттла намекает, что по крайней мере до Q ~ 100 величина C(Q) нарастает ещё не как экспонента с существенным показателем. Иначе бы этот ТНА стоил не миллионы долларов, а эдак от $1020, и вряд ли бы мы вообще его сделали. Т.е. C(100) — это где-то 103 — 108, но никак не 1015.
7. Чему равно C(0)? Это стоимость устройства, которое ещё может сдвинуть с места себя, но неспособно увезти никакой груз. Очевидно, такой «грузовик» дешевле полноценного. Но во сколько раз? История показывает, что скорее в разы, чем в десятки или сотни. От первого самолёта, способного перемещать только себя (Q = 0), до перевозки грузов по воздуху прошло каких-то лет 15. От первых бензиновых автомобилей до вполне приличных грузовиков с Q = 1.5 ([120] + [130]) ненамного больше. Если бы это развитие представляло собой неимоверную сложность, оно вряд ли завершилось бы так быстро. Следовательно, трудность изготовления и стоимость транспортного средства с Q = 0 не должна совсем уж радикально отличаться от оной при Q = 1. Отсюда ожидаем, что C(0) — это где-то 0.1 — 0.5.
8. Имеет ли эта функция смысл при отрицательных Q? Вполне! Грузовик с Q = -0.5 — это такой, который сдвинется с места, только если башенным краном «снять» с него половину его веса. А Q = -1 — это повозка, развивающая нулевую тягу. Способная перевозить груз, только если взять её на буксир. То есть, вообще без двигателя. Очевидно, её стоимость если и не равна нулю, то очень мала. Поэтому положим C(-1) ≈ 0.
9. А что такое C(-2)? Это стоимость устройства, которое нужно тянуть вверх не менее чем с удвоенным его весом, чтобы сдвинуть! Да, области Q < -1 — это якоря, фундаменты, сваи, тормоза. Устройства, препятствующие движению. Там, конечно, совсем другая динамика и свои законы, но по крайней мере мы видим, что C(Q) не обрывается особенностью при Q < -1, и что в районе Q = -1 у неё минимум, а значит, хотя бы на небольшой окрестности этой точки C(Q) должна вести себя как парабола.
Таким образом, эскизно C(Q) выглядит как-то так:
Разложим C(Q) в ряд Тэйлора в точке Q = -1:
Из свойства (8) следует, что a0 = 0. Свойства (4), (5) и отчасти (9) намекают, что a1 близко к нулю, или уж во всяком случае что его вклад не доминирует на диапазоне 0...3.
А тогда получается, что первый ненулевой член в разложении C(Q) — параболический, и что при Q в районе единиц C(Q) ведёт себя примерно как функция квадратичная или чуть более быстро возрастающая:
C(Q) ≈ a2*(Q+1)2/2 + O((Q+1)3)
И из [1] следует, что a2 ≈ 1/2.
Наконец, поскольку по крайней мере до Q ~ 100 функция C(Q) всё ещё не экспоненциальна (свойство (6)), то можно положить её там равной Qp с показателем степени p где-то в районе 2...4. Вряд ли больше.
Вывод: При фиксированной массе стоимость устройства C(Q) возрастает не слабее, чем (Q+1)2/4, но не быстрее, чем примерно O(Q4) [1]
Можно ли взглянуть на реальную зависимость C(Q), чтобы понять, насколько корректен этот вывод? Трудно. Большинство механизмов, изготовляемых человеком — это разные массы, но фиксированные Q в районе единички. Нам же надо наоборот: примерно одинаковая масса, но разные Q. Сначала я надеялся на данные по авиационным двигателям… но работы[70][80] по их ценообразованию устроены очень смешно. Цены двигателей там засекречены, а опубликованы лишь формулы для предсказания и средние ошибки.
К счастью, помощь пришла со стороны легковых автомобилей[150]. Именно у них, при примерно одинаковой массе, встречаются двигатели самых разных мощностей. И хотя мощность — это ещё не перевозимый груз, но при некотором инженерном усилии он ей примерно пропорционален. Что позволяет прикинуть, близка ли наша формула к реальности.
Похоже, что да:
[Источник: [150]]
Синие точки — реальные легковые автомобили. В первом приближении их цена растёт как удельная мощность в степени 2.3.
Красные точки — цена, рассчитанная по формуле [1], исходя из предположения, что Q = 1 соответствует наиболее дешёвым за килограмм легковушкам в диапазоне $20-30 тысяч. Видно, что формула действительно даёт неплохую оценку C(Q) снизу (куда мы и целились).
При взгляде на массу этих вкусных точек возникает сильный соблазн: провести через них C(Q) и, таким образом, исследовать зависимость непосредственно. Делать этого нельзя. Главным образом потому, что цена легковушки определяется не только её тяговыми характеристиками. Трудно вообразить себе машину за сто килобаксов, в которой нет самого хорошего кондиционера, самых удобных кресел и «платиновой пепельницы с родиевой окантовкой». А всё это стоит денег, не имеющих никакого отношения к нашей C(Q). Однако вот нижняя «ветвь» автомобилей, проходящая почти в точности по рассчитанной C(Q), выглядит интересно. Смею допустить, что это — как раз машины без наворотов. Где «не шашечки, а чтобы ехать». Но дороже примерно $100K за автомобиль таких уже нет.
Статья написана для сайта https://habr.com. При копировании просьба ссылаться на исходник. Автор статьи Евгений Бобух.
Итак, стоимости устройств с высокими Q мы, хотя бы по порядку величины, прикидывать умеем. Зачем это было надо?
А вот зачем. Взглянём на первую ступень космического носителя. Ну вот хотя бы Протона-М[110], для конкретности. Она — почти полноценное транспортное средство, с двигателями, системой управления, приличным запасом прочности и сухой массой в 31 тонну. При этом на старте ракеты она тащит на своём горбу не только полезную нагрузку, но и всё топливо, все верхние ступени, и, конечно же, себя. В сумме — 683 тонны. Плюс стартовая перегрузка, итого (эффективно) 1068 тонн нагрузки! С точки зрения первой ступени она работает в жутком режиме Q = (1068/31) = 34.4! Это эквивалент 50 тонн груза, наваленного на легковушку.
И мы знаем, что стоимость устройства с высоким Q как минимум в (Q+1)2/4 раз выше, чем чего-то аналогичного с Q ≈ 1. Для «Протона» это составляет… 313 раз.
То есть, «Протон» должен обходиться раз в 300 дороже похожего устройства с Q = 1. И эта цифра мало зависит от прогресса и технологий. Ибо как только «британские учёные» изобретают супер-сплав, делающий ракету дешевле, тут же дешевеют и наземные двигатели. Поэтому химическая ракета, даже многоразовая, будет всегда очень дорога. Как ни крути.
Хорошо. Допустим, в 300 раз. Но по сравнению всё-таки с чем? Неплохо бы сверить наши выкладки с какими-нибудь объективно существующими устройствами, для исключения грубых ошибок?
К сожалению, тридцатонных ракет с Q = 1 нет. Но есть приблизительные аналоги, пригодные для сравнения:
Вроде, мы не совсем уж оторваны от реальности.
Подведём итоги. Поскольку ракеты, даже многоразовые, стоят на 2-3 порядка дороже грузовиков, то и любое космическое поселение из наземных материалов тоже обойдётся в 100-1000 раз дороже наземного аналога. Это очень высокий барьер на освоение.
Ракеты же дороги потому, что они очень тяжёлые и вынуждены работать при нездорово высоких Q. Но почему ракеты тяжёлые? Ответ (который несколько глубже, чем формула Циолковского) мы рассмотрим во второй части.
Продолжение.
Update: несколько человек пытались мне указать на неоднозначности с учётом топлива при рассмотрении ракет. Я об этом подумал. И понял, что в статье действительно есть некоторая неточность. Рассмотренная в комментарии здесь.
Лет в шесть мне попался в руки дедовский справочник[50] по грузовым автомобилям середины 20-го века. Добротный, напечатанный на гладкой плотной бумаге раритет. Единственное, что вообще осталось на память от деда после распада страны, войн и переездов.
В справочнике содержалось множество интересных ТТХ, так что слово «грузоподъёмность» стало мне знакомо с раннего детства. И когда отец на прогулке упомянул, что любой грузовик весит столько же, сколько увозит сам, я это запомнил. Запомнил и, много позже, заинтересовался.
Отец был прав. Для грузовиков 60-х годов это правило выполняется с довольно удивительной точностью:
Гораздо любопытнее, что эта закономерность соблюдается и для совершенно непохожих на грузовики транспортных средств.
Сначала, хохмы ради, я нанёс на график грузовые самолёты. И удивился. Я стал добавлять другие транспортные средства. Ездящие, плавающие и летающие, построенных в веках 19-м, 20-м, и 21-м, работающие на энергии тепловой, атомной, ветровой и даже конной. Результат? Слабо степенная (показатель 1.125), если не просто линейная, зависимость. На массах от сотни килограмм до шестидесяти тысяч тонн. С отклонениями, конечно, куда же без них, до 10 раз иногда, но на шести порядках масс это, очевидно, мелочи.
Вот она, эта зависимость, жмущаяся к диагонали необъятного пустого поля:
На графике отметились: грузовые самолёты; транспортные вертолёты; дирижабли, современные и начала века; космические ракеты-носители (на низкую орбиту); советские грузовики 60-х; современные карьерные самосвалы; современные грузовики России, США, Китая и Индии; электрические кары и грузовые мотороллеры; поезда (с рельсами); атомные контейнеровозы; морские контейнеровозы и грузовые корабли (не танкеры); парусные грузовые корабли 17-20 веков; конвейерные ленты для передачи руды; насовский тягач для вывоза ракет на старт; и, наконец, телеги, запряжённые лошадью.
Если ввести величину Q, определяемую как масса перевозимого груза по отношению к сухой массе транспортного средства, то вот как она выглядит для каждой из групп:
В цифрах значения Q составляют:
| Класс средств | Среднее Q | Среднеквадратичное отклонение Q |
| Грузовые самолёты | 0.667091 | ± 0.206162 |
| Транспортные вертолёты | 0.681605 | ± 0.225062 |
| Дирижабли, современные и начала века | 0.842673 | ± 0.374622 |
| Космические ракеты-носители (низкая орбита) | 0.372446 | ± 0.155810 |
| Советские грузовики 60-х | 0.777435 | ± 0.232425 |
| Современные карьерные самосвалы | 1.349610 | ± 0.136840 |
| Современные грузовики России, США, Индии, Китая | 1.293679 | ± 0.604313 |
| Электрические карты и грузовые мотороллеры | 1.098433 | ± 0.343791 |
| Поезд (с рельсами) | 2.275989 | ± 0.205999 |
| Атомные контейнеровозы | 1.035233 | ± NA |
| Морские контейнеровозы и грузовые корабли (не танкеры) | 2.556004 | ± 0.378040 |
| Парусные грузовые корабли 17-20 веков | 2.488461 | ± 0.671785 |
| Грузовые конвейерные ленты | 3.703704 | ± NA |
| Насовский тягач для вывоза ракет на старт | 2.355919 | ± 0.525174 |
| Телеги, запряжённые лошадью | 1.203061 | ± 0.389183 |
Как видно, Q хоть и не везде строго единично, но в рамках каждой группы тяготеет к общему значению, близкому к единице.
Как же к единице?
Update. Тут в комментариях несколько человек выразили недоумение: как же к единице, когда у нас там и тройка, и 0.37 есть? Общая идея такая: если бы грузоподъёмность и масса были абсолютно несвязаны, то, деля первое на второе, на имеющихся данных мы получили бы разброс значений Q эдак от 10-5 до 105. Очевидно, плюс-минус три раза на фоне этого — пренебрежимо мало, и имеет смысл говорить о «тяготении» к единице и сильной связи параметров. Второй вопрос: а при каком разбросе это уже не имело бы смысла? Краткий ответ: чем ниже разброс значений Q, тем ниже вероятность, что сложившаяся на графике «грузоподъёмность-масса» линейная зависимость — просто случайность. В зависимости от того, какую вероятность этой случайности Вы считаете пренебрежимо малой, Вы получите разные «приемлемые» значения отклонения Q от единицы. Так (я насчитал), при вероятности 10-11 это ±3 раза. При 10-9 это ±10 раз. При 10-8 ±30. При 10-5 ±100 раз. И так далее. Мне лично вероятность ошибки 1 к миллиарду кажется ещё приемлемой, поэтому я готов назвать «близкими к единице» любые Q от 0.1 до 10.
Мне это показалось… загадочным. Почему деревянный парусник, алюминиевый электрокар, и атомный контейнеровоз, вмещающий сто тысяч электрокаров, все поднимают более-менее свой вес? Что заставляет нас создавать транспортные средства с качеством Q ≈ 1 на массах, различающихся в тысячи раз? Проявление ли это свойств мировой физики, земной экономики, ограничение ли это человеческого интеллекта? Насколько универсален этот закон, будет ли он выполняться для цивилизаций с других звёзд? Вопросы глобальные. Вряд ли их удастся разрешить здесь и сейчас. Но вот рассмотреть и понадкусать, сколько получится, можно и нужно. Этим мы и займёмся.
Мировой рекорд[180] подъёма штанги человеком среднего веса превышает 200 кг. Теоретически это означает, что в наше тело заложен запас прочности для рывковых нагрузок по крайней мере до Q = 2.5. Однако это требует таких непомерных сил и тренировок, что в повседневной деятельности никогда не применяется. Целесообразнее фасовать сахар в мешки по 50 килограмм, хотя это и требует вчетверо больше грузчиков или ходок. Заметим, что данная ситуация — результат биологической эволюции, в которой человеческий интеллект участия (почти) не принимал, а следовательно, имеет в ней «алиби».
Физика и инженерия сами по себе высоких Q тоже не запрещают. Вон, водородный турбонасосный агрегат для маршевого двигателя Шаттла, та маленькая штучка справа на картинке, развивает мощность в 54 мегаватта[60] при вполне автомобильной массе в 350 кг:
[Image credit: [10]]
Если, упрощая, оценивать Q по мощности на килограмм массы, то это раз в 100 выше, чем у приличного автомобиля. Только ведь и стоит эта штука почти как ракета! Дешевле сделать 100 автомобилей с Q = 1 и перевезти груз ими, нежели пытаться «запрячь» данный агрегат в колёсную тележку.
Подобные соображения наводят на мысль: причины здесь экономические. Причём не в узком смысле конкретных экономик и стран (ибо наши устройства порождены самыми разными народами и системами), а скорее в смысле «целесообразности усилий». Целесообразности достаточно универсальной, чтобы, видимо, распространяться на очень разные изделия и где-то даже на животных.
Статья написана для сайта https://habr.com. При копировании просьба ссылаться на исходник. Автор статьи Евгений Бобух.
Попробуем исследовать границы этой целесообразности количественно. Поставим вопрос: как стоимость устройства с фиксированной массой зависит от Q? Вот, допустим, есть самосвал весом в 10 тонн, увозит 10 тонн груза. Мы хотим сделать тоже 10-тонный, но увозящий 20 тонн (Q = 2) или даже 50 (Q = 5). На том же уровне развития технологий, того же объёма выпуска. Понятно, что большие нагрузки повысят требования и к материалам (сталь -> титан?), и к двигателям (другие температуры, давления), и к инженерии (меньше допуски на ошибки, более хитрые конструкции). Ясно, что с ростом Q всё будет дороже. Но во сколько раз, по сравнению с десятитонным?
Задача эта, конечно, нетривиальна. Тем не менее, кое-какие оценки для неё можно получить из самых общих соображений. Что мы сейчас и проделаем.
Введём функцию C(Q). Она описывает минимально возможную стоимость устройства с эффективностью Q, выраженную в стоимостях аналогичного устройства той же массы при Q = 1. Что про неё известно?
1. С(1) = 1, по определению.
2. C(Q) — непрерывная функция, по крайней мере, пока разница в массе не измеряется штучными атомами. Интуитивно она кажется достаточно гладкой, чтобы иметь несколько первых производных. Думаю, можно допустить (как и с большинством физических функций), что она вообще аналитическая.
3. C(Q) — строго возрастающая функция. Чем выше качество Q, тем труднее сделать конструкцию, и тем она дороже. Т.е. dC(Q)/dQ > 0 по крайней мере для Q > 0.
4. При Q больше примерно 3-х C(Q) начинает возрастать быстрее, чем линейно. Почему? Потому что мы видим, что людям дешевле сделать три грузовика на десять тонн с Q = 1, чем один на тридцать c Q = 3. Обобщая, пишем: k*C(1) < C(k) при k >≈3 — иными словами, C(k) растёт быстрее, чем k, при k >≈3.
5. Аналогично, поскольку десять самолётов с Q = 0.1 явно неэкономичнее одного с Q = 1 (ибо строят вторые, а не первые), то для k >≈3 имеем: k*C(1/k) > C(1), или C(1/k) > 1/k.
6. Стоимость насоса от Шаттла намекает, что по крайней мере до Q ~ 100 величина C(Q) нарастает ещё не как экспонента с существенным показателем. Иначе бы этот ТНА стоил не миллионы долларов, а эдак от $1020, и вряд ли бы мы вообще его сделали. Т.е. C(100) — это где-то 103 — 108, но никак не 1015.
7. Чему равно C(0)? Это стоимость устройства, которое ещё может сдвинуть с места себя, но неспособно увезти никакой груз. Очевидно, такой «грузовик» дешевле полноценного. Но во сколько раз? История показывает, что скорее в разы, чем в десятки или сотни. От первого самолёта, способного перемещать только себя (Q = 0), до перевозки грузов по воздуху прошло каких-то лет 15. От первых бензиновых автомобилей до вполне приличных грузовиков с Q = 1.5 ([120] + [130]) ненамного больше. Если бы это развитие представляло собой неимоверную сложность, оно вряд ли завершилось бы так быстро. Следовательно, трудность изготовления и стоимость транспортного средства с Q = 0 не должна совсем уж радикально отличаться от оной при Q = 1. Отсюда ожидаем, что C(0) — это где-то 0.1 — 0.5.
8. Имеет ли эта функция смысл при отрицательных Q? Вполне! Грузовик с Q = -0.5 — это такой, который сдвинется с места, только если башенным краном «снять» с него половину его веса. А Q = -1 — это повозка, развивающая нулевую тягу. Способная перевозить груз, только если взять её на буксир. То есть, вообще без двигателя. Очевидно, её стоимость если и не равна нулю, то очень мала. Поэтому положим C(-1) ≈ 0.
9. А что такое C(-2)? Это стоимость устройства, которое нужно тянуть вверх не менее чем с удвоенным его весом, чтобы сдвинуть! Да, области Q < -1 — это якоря, фундаменты, сваи, тормоза. Устройства, препятствующие движению. Там, конечно, совсем другая динамика и свои законы, но по крайней мере мы видим, что C(Q) не обрывается особенностью при Q < -1, и что в районе Q = -1 у неё минимум, а значит, хотя бы на небольшой окрестности этой точки C(Q) должна вести себя как парабола.
Таким образом, эскизно C(Q) выглядит как-то так:
Разложим C(Q) в ряд Тэйлора в точке Q = -1:
Из свойства (8) следует, что a0 = 0. Свойства (4), (5) и отчасти (9) намекают, что a1 близко к нулю, или уж во всяком случае что его вклад не доминирует на диапазоне 0...3.
А тогда получается, что первый ненулевой член в разложении C(Q) — параболический, и что при Q в районе единиц C(Q) ведёт себя примерно как функция квадратичная или чуть более быстро возрастающая:
C(Q) ≈ a2*(Q+1)2/2 + O((Q+1)3)
И из [1] следует, что a2 ≈ 1/2.
Наконец, поскольку по крайней мере до Q ~ 100 функция C(Q) всё ещё не экспоненциальна (свойство (6)), то можно положить её там равной Qp с показателем степени p где-то в районе 2...4. Вряд ли больше.
Вывод: При фиксированной массе стоимость устройства C(Q) возрастает не слабее, чем (Q+1)2/4, но не быстрее, чем примерно O(Q4) [1]
Можно ли взглянуть на реальную зависимость C(Q), чтобы понять, насколько корректен этот вывод? Трудно. Большинство механизмов, изготовляемых человеком — это разные массы, но фиксированные Q в районе единички. Нам же надо наоборот: примерно одинаковая масса, но разные Q. Сначала я надеялся на данные по авиационным двигателям… но работы[70][80] по их ценообразованию устроены очень смешно. Цены двигателей там засекречены, а опубликованы лишь формулы для предсказания и средние ошибки.
К счастью, помощь пришла со стороны легковых автомобилей[150]. Именно у них, при примерно одинаковой массе, встречаются двигатели самых разных мощностей. И хотя мощность — это ещё не перевозимый груз, но при некотором инженерном усилии он ей примерно пропорционален. Что позволяет прикинуть, близка ли наша формула к реальности.
Похоже, что да:
[Источник: [150]]
Синие точки — реальные легковые автомобили. В первом приближении их цена растёт как удельная мощность в степени 2.3.
Красные точки — цена, рассчитанная по формуле [1], исходя из предположения, что Q = 1 соответствует наиболее дешёвым за килограмм легковушкам в диапазоне $20-30 тысяч. Видно, что формула действительно даёт неплохую оценку C(Q) снизу (куда мы и целились).
При взгляде на массу этих вкусных точек возникает сильный соблазн: провести через них C(Q) и, таким образом, исследовать зависимость непосредственно. Делать этого нельзя. Главным образом потому, что цена легковушки определяется не только её тяговыми характеристиками. Трудно вообразить себе машину за сто килобаксов, в которой нет самого хорошего кондиционера, самых удобных кресел и «платиновой пепельницы с родиевой окантовкой». А всё это стоит денег, не имеющих никакого отношения к нашей C(Q). Однако вот нижняя «ветвь» автомобилей, проходящая почти в точности по рассчитанной C(Q), выглядит интересно. Смею допустить, что это — как раз машины без наворотов. Где «не шашечки, а чтобы ехать». Но дороже примерно $100K за автомобиль таких уже нет.
Статья написана для сайта https://habr.com. При копировании просьба ссылаться на исходник. Автор статьи Евгений Бобух.
Итак, стоимости устройств с высокими Q мы, хотя бы по порядку величины, прикидывать умеем. Зачем это было надо?
А вот зачем. Взглянём на первую ступень космического носителя. Ну вот хотя бы Протона-М[110], для конкретности. Она — почти полноценное транспортное средство, с двигателями, системой управления, приличным запасом прочности и сухой массой в 31 тонну. При этом на старте ракеты она тащит на своём горбу не только полезную нагрузку, но и всё топливо, все верхние ступени, и, конечно же, себя. В сумме — 683 тонны. Плюс стартовая перегрузка, итого (эффективно) 1068 тонн нагрузки! С точки зрения первой ступени она работает в жутком режиме Q = (1068/31) = 34.4! Это эквивалент 50 тонн груза, наваленного на легковушку.
И мы знаем, что стоимость устройства с высоким Q как минимум в (Q+1)2/4 раз выше, чем чего-то аналогичного с Q ≈ 1. Для «Протона» это составляет… 313 раз.
То есть, «Протон» должен обходиться раз в 300 дороже похожего устройства с Q = 1. И эта цифра мало зависит от прогресса и технологий. Ибо как только «британские учёные» изобретают супер-сплав, делающий ракету дешевле, тут же дешевеют и наземные двигатели. Поэтому химическая ракета, даже многоразовая, будет всегда очень дорога. Как ни крути.
Хорошо. Допустим, в 300 раз. Но по сравнению всё-таки с чем? Неплохо бы сверить наши выкладки с какими-нибудь объективно существующими устройствами, для исключения грубых ошибок?
К сожалению, тридцатонных ракет с Q = 1 нет. Но есть приблизительные аналоги, пригодные для сравнения:
- Самый первый — карьерный самосвал. Да, не ракета. Но всё-таки тоже тепловой двигатель, не совсем тривиальная инженерия, и одно из самых дешёвых средств для перевозки грузов. И если уж мы говорим об освоении космоса, то не грузовик ли должен быть прообразом бизнес-модели космического извозчика? Так что попробуем, хотя бы для общей прикидки. Вот 30-тонный Белаз-7540. Рыночная цена[140] — 3.7 миллиона рублей, т.е. $62K. Для «Протона» это пересчитывается в стоимость первой ступени в районе $19 миллионов. Википедия обозначает[100] стоимость пуска как $65 миллионов. Довольно близко, учитывая, что в эту сумму входит ещё много чего, кроме цены самой первой ступени.
- В [160] описана экспериментальная ракетная платформа на рельсах. Массой под 10 тонн, пять ступеней, разгоняется до 4 км/с. Цена 750 килобаксов. Судя по опубликованным картинкам и параметрам, работает это устройство где-то при Q = 10. Не единица, но всё-таки и не 34. Если отталкиваться от этих цифр, первая ступень «Протона» должна стоить где-то $23 миллиона.
- Вообще, когда я пытаюсь представить себе ракету с Q = 1, перед мысленным взором возникает этакая здоровенная болванка с ма-аленькой выемкой, наполненной порохом. Порох выгорает и толкает болванку вперёд. Совсем чуток, сильно так не разгонишься. Я два дня мусолил эту картину, пока не понял, что она мне напоминает. Это же… пневматический молот! Где газ расширяется и толкает болванку. Предельная бастардизация идеи реактивного двигателя, ещё сохраняющая какое-то родство. Что ж, ищем. Ага, вот[170] пневматический молот Stanko M212. Вес болванки 2 тонны, всей конструкции — 58.3 тонн. Q системы, таким образом, составляет скромненькие 0.034. Продаётся за 40 тысяч евро. Если экстраполировать стоимость этой шутки на Q = 34.4 по формуле [1], то получится… 47 миллионов евро. Или 24 миллиона в пропорции за 30 тонн.
Вроде, мы не совсем уж оторваны от реальности.
Подведём итоги. Поскольку ракеты, даже многоразовые, стоят на 2-3 порядка дороже грузовиков, то и любое космическое поселение из наземных материалов тоже обойдётся в 100-1000 раз дороже наземного аналога. Это очень высокий барьер на освоение.
Ракеты же дороги потому, что они очень тяжёлые и вынуждены работать при нездорово высоких Q. Но почему ракеты тяжёлые? Ответ (который несколько глубже, чем формула Циолковского) мы рассмотрим во второй части.
Продолжение.
Update: несколько человек пытались мне указать на неоднозначности с учётом топлива при рассмотрении ракет. Я об этом подумал. И понял, что в статье действительно есть некоторая неточность. Рассмотренная в комментарии здесь.
Про данные
Желающие самостоятельно проанализировать данные могут найти их (вместе с источниками) здесь в формате CSV. (Кстати, какие на Хабре есть лучшие варианты, кроме выкладывания файла на сторонний хостинг?) При работе с ними следует учесть следующее.
1. Рассматривались только грузовые транспортные средства. Пассажирская Тесла с вместимостью багажника в 70 кг — не грузовик. Грузовые фургоны тоже (почти) исключены — у них средства защиты груза вносят существенные искажения.
2. С советскими грузовиками работать было одно удовольствие. Вот вес, вот допустимая нагрузка, всё чётко. С современными, особенно американскими — беда. Мало кто публикует их максимальную грузоподъёмность. Вместо этого есть законы, разрешающие ту или иную нагрузку для каждого типа бизнеса и дорог. Плюс приписка к грузовику: «удовлетворяет стандарту № такой-то, § такой-то». Полная, разгромная победа бюрократии над физической реальностью. В тех случаях, когда грузоподъёмность всё-таки публикуется, она сплошь и рядом взятаот балды из маркетинговых соображений. Строишь график — а там явная «ёлочка», пардон, линейка продуктов. По этой причине, увы, данные современных грузовиков более зашумлены (± 0.60), нежели старых (± 0.23). Положение отчасти спасли Китай, Россия и Индия: у них ТТХ грузовиков по-прежнему легкодоступны.
3. Самые лёгкие электрические кары и мотоциклы весят зачастую по 30-70 кг, перевозя при этом по 200-400 кг груза. На первый взгляд, это выглядит как Q в районе десятки. Но я подумал и кое-что осознал. Все эти транспортные средства не ездят без человека. Более того, человек в них выполняет ещё и структурно-силовую и балансирующую роль. Он в них — не полезная нагрузка, без которой можно и уехать, а неотъемлемая запчасть. Поэтому и массу их надо считать с водителем (+80 кг). А это уже 100-150 кг. Аналогичная поправка вносилась в характеристики конных экипажей, с массой лошади принятой за 500 кг.
4. Массу поезда я считал с массой подстилающих его рельсов. Ибо, в отличие от прочих транспортных средств, перемещаться поезд может только по рельсам, а они весят существенно и держат транспортную нагрузку. Как гусеницы у бульдозера. Только не носимые с собой. При этом на сами рельсы, вагоны и электровозы существует куча запутанных спецификаций, в которых я не факт, что правильно разобрался.
5. Атомный грузовой ледокол в мире один: российский Севморпуть[600], так что и точка в этой группе лишь одна.
6. С грузовыми мореходными судами тоже не всё просто. Для большинства из них не публикуется ни максимальная масса груза, ни пустая масса конструкции. Для второго, правда, есть всё-таки термин: LWT — Light Weight Tonnage, и его значения изредка встречается на корабельных аукционах (типа [610] и [620]). Долгим ручным вычитыванием этих сайтов я надёргал цифр по LWT, но как быть с перевозимым грузом? Вместо него обычно используется величина DWT (Deadweight Tonnage), представляющая собой полный максимально возможный вес корабля. В который входят не только вес груза, но и конструкции, топлива, вспомогательных жидкостей, и ещё каких-то мелочей. Пошарившись по разным сайтам, я установил, что на практике предельный вес груза обычно составляет 85% от (DWT — LWT), с разбросом в 65-90%. Этим пришлось и удовлетвориться. Так что грузоподъёмность считалась как Г = 0.85*(DWT — LWT). Что, возможно, внесло погрешность до 30%.
7. По космическим носителям я опирался в основном на [110]. Там лежит разбивка многих ракет по ступеням и их массам. К сожалению, иногда с пометкой, что масса ступени включает остатки несгоревшего топлива, которые толком неизвестны. По этой причине величина Q для ракет, возможно, занижена процентов на 10.
8. Были ли транспортные средства, в эту картину не вписывающиеся? Конечно. Во-первых, негрузовые. Танки. Пассажирские автомобили, круизные пароходы. У них Q существенно меньше единицы. С последними всё понятно: их цель — не груз увезти, а людей, да ещё с комфортом. Вес средств комфорта портит им картину. Во-вторых, сюда не вписываются танкеры, у которых Q нередко достигает 3-8 единиц. Но у танкеров особенный и очень «удобный» груз, допускающий равномерное распределение нагрузки по корпусу и удержание её не столько собственной прочностью, сколько внешним давлением моря. На суше аналогом этого был бы грузовик с «костылями», но таких нет, сравнивать не с чем, а потому танкеры я на графике не указал (хотя вот упоминаю здесь).
Желающие самостоятельно проанализировать данные могут найти их (вместе с источниками) здесь в формате CSV. (Кстати, какие на Хабре есть лучшие варианты, кроме выкладывания файла на сторонний хостинг?) При работе с ними следует учесть следующее.
1. Рассматривались только грузовые транспортные средства. Пассажирская Тесла с вместимостью багажника в 70 кг — не грузовик. Грузовые фургоны тоже (почти) исключены — у них средства защиты груза вносят существенные искажения.
2. С советскими грузовиками работать было одно удовольствие. Вот вес, вот допустимая нагрузка, всё чётко. С современными, особенно американскими — беда. Мало кто публикует их максимальную грузоподъёмность. Вместо этого есть законы, разрешающие ту или иную нагрузку для каждого типа бизнеса и дорог. Плюс приписка к грузовику: «удовлетворяет стандарту № такой-то, § такой-то». Полная, разгромная победа бюрократии над физической реальностью. В тех случаях, когда грузоподъёмность всё-таки публикуется, она сплошь и рядом взята
3. Самые лёгкие электрические кары и мотоциклы весят зачастую по 30-70 кг, перевозя при этом по 200-400 кг груза. На первый взгляд, это выглядит как Q в районе десятки. Но я подумал и кое-что осознал. Все эти транспортные средства не ездят без человека. Более того, человек в них выполняет ещё и структурно-силовую и балансирующую роль. Он в них — не полезная нагрузка, без которой можно и уехать, а неотъемлемая запчасть. Поэтому и массу их надо считать с водителем (+80 кг). А это уже 100-150 кг. Аналогичная поправка вносилась в характеристики конных экипажей, с массой лошади принятой за 500 кг.
4. Массу поезда я считал с массой подстилающих его рельсов. Ибо, в отличие от прочих транспортных средств, перемещаться поезд может только по рельсам, а они весят существенно и держат транспортную нагрузку. Как гусеницы у бульдозера. Только не носимые с собой. При этом на сами рельсы, вагоны и электровозы существует куча запутанных спецификаций, в которых я не факт, что правильно разобрался.
5. Атомный грузовой ледокол в мире один: российский Севморпуть[600], так что и точка в этой группе лишь одна.
6. С грузовыми мореходными судами тоже не всё просто. Для большинства из них не публикуется ни максимальная масса груза, ни пустая масса конструкции. Для второго, правда, есть всё-таки термин: LWT — Light Weight Tonnage, и его значения изредка встречается на корабельных аукционах (типа [610] и [620]). Долгим ручным вычитыванием этих сайтов я надёргал цифр по LWT, но как быть с перевозимым грузом? Вместо него обычно используется величина DWT (Deadweight Tonnage), представляющая собой полный максимально возможный вес корабля. В который входят не только вес груза, но и конструкции, топлива, вспомогательных жидкостей, и ещё каких-то мелочей. Пошарившись по разным сайтам, я установил, что на практике предельный вес груза обычно составляет 85% от (DWT — LWT), с разбросом в 65-90%. Этим пришлось и удовлетвориться. Так что грузоподъёмность считалась как Г = 0.85*(DWT — LWT). Что, возможно, внесло погрешность до 30%.
7. По космическим носителям я опирался в основном на [110]. Там лежит разбивка многих ракет по ступеням и их массам. К сожалению, иногда с пометкой, что масса ступени включает остатки несгоревшего топлива, которые толком неизвестны. По этой причине величина Q для ракет, возможно, занижена процентов на 10.
8. Были ли транспортные средства, в эту картину не вписывающиеся? Конечно. Во-первых, негрузовые. Танки. Пассажирские автомобили, круизные пароходы. У них Q существенно меньше единицы. С последними всё понятно: их цель — не груз увезти, а людей, да ещё с комфортом. Вес средств комфорта портит им картину. Во-вторых, сюда не вписываются танкеры, у которых Q нередко достигает 3-8 единиц. Но у танкеров особенный и очень «удобный» груз, допускающий равномерное распределение нагрузки по корпусу и удержание её не столько собственной прочностью, сколько внешним давлением моря. На суше аналогом этого был бы грузовик с «костылями», но таких нет, сравнивать не с чем, а потому танкеры я на графике не указал (хотя вот упоминаю здесь).
Ссылки
[10] Схема SSME: http://www.jht.com/icuf/Space-Science/LiquidRockets/PT-04-125.htm
[50] А. П. Рунова, А. А. Вагнер. ГРУЗОВЫЕ АВТОМОБИЛИ. КАТАЛОГ. Типография ЦИНТИМАШ, 1960 г.
[60] Power-to-weight ratios: https://en.wikipedia.org/wiki/Power-to-weight_ratio#Heat_engines_and_heat_pumps
[70] Development and Production Cost Estimating Relationships for Aircraft Turbine Engines by John Birkler, Jeffrey B. Garfinkle, Kenneth E. Marks, https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/notes/2005/N1882.pdf
[80] Military Jet Engine Acquisition (Technology Basics and Cost-Estimating Methodology), Obaid Younossi, Mark V. Arena, Richard M. Moore
Mark Lorell, Joanna Mason, John C. Graser, https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/monograph_reports/2005/MR1596.pdf
[100] Стоимость пуска Протона-М: https://en.wikipedia.org/wiki/Proton-M
[110] Данные по ступеням «Протона»: http://www.spacelaunchreport.com/proton.html
[120] Ford TT curb weight: https://www.conceptcarz.com/s13963/ford-model-tt-type-c.aspx
[130] Ford TT load capacity: https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_TT
[140] Цена на Белаз-7540: http://www.raise.ru/market/mining/haul-trucks/id-market_43697/
[150] Подборка ста с лишним автомобилей с данными по мощности, весу, цене, и удельным параметрам: https://oppositelock.kinja.com/whats-the-best-power-weight-ratio-per-dollar-1699756090 (автор проделал нетривиальную работу, но почему-то гадает, нужны ли эти данные. Да ещё как нужны!)
[160] Ракетные сани: http://www.impactlab.net/2006/01/15/the-fastest-rocket-sled-on-earth/
[170] Пневматический молот https://www.machineseeker.com/Air-steam-Forging-Hammer-double-action-Stanko-M212-RAM-2000kg/i-3521173
[180] Мировые рекорды в тяжёлой атлетике: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B4%D1%8B_%D0%B2_%D1%82%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BB%D0%BE%D0%B9_%D0%B0%D1%82%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5
[10] Схема SSME: http://www.jht.com/icuf/Space-Science/LiquidRockets/PT-04-125.htm
[50] А. П. Рунова, А. А. Вагнер. ГРУЗОВЫЕ АВТОМОБИЛИ. КАТАЛОГ. Типография ЦИНТИМАШ, 1960 г.
[60] Power-to-weight ratios: https://en.wikipedia.org/wiki/Power-to-weight_ratio#Heat_engines_and_heat_pumps
[70] Development and Production Cost Estimating Relationships for Aircraft Turbine Engines by John Birkler, Jeffrey B. Garfinkle, Kenneth E. Marks, https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/notes/2005/N1882.pdf
[80] Military Jet Engine Acquisition (Technology Basics and Cost-Estimating Methodology), Obaid Younossi, Mark V. Arena, Richard M. Moore
Mark Lorell, Joanna Mason, John C. Graser, https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/monograph_reports/2005/MR1596.pdf
[100] Стоимость пуска Протона-М: https://en.wikipedia.org/wiki/Proton-M
[110] Данные по ступеням «Протона»: http://www.spacelaunchreport.com/proton.html
[120] Ford TT curb weight: https://www.conceptcarz.com/s13963/ford-model-tt-type-c.aspx
[130] Ford TT load capacity: https://en.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_TT
[140] Цена на Белаз-7540: http://www.raise.ru/market/mining/haul-trucks/id-market_43697/
[150] Подборка ста с лишним автомобилей с данными по мощности, весу, цене, и удельным параметрам: https://oppositelock.kinja.com/whats-the-best-power-weight-ratio-per-dollar-1699756090 (автор проделал нетривиальную работу, но почему-то гадает, нужны ли эти данные. Да ещё как нужны!)
[160] Ракетные сани: http://www.impactlab.net/2006/01/15/the-fastest-rocket-sled-on-earth/
[170] Пневматический молот https://www.machineseeker.com/Air-steam-Forging-Hammer-double-action-Stanko-M212-RAM-2000kg/i-3521173
[180] Мировые рекорды в тяжёлой атлетике: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B4%D1%8B_%D0%B2_%D1%82%D1%8F%D0%B6%D1%91%D0%BB%D0%BE%D0%B9_%D0%B0%D1%82%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5
[600] Севморпуть, советское ледокольно-транспортное судно (лихтеровоз) с атомной силовой установкой: https://ru.wikipedia.org/wiki/Севморпуть_(лихтеровоз)
[610] Доска объявлений по продаже кораблей: http://www.seaboats.net
[620] Доска объявлений по продаже кораблей: http://www.vedshipping.com