Comments 13
Хорошая задача!
В решении с деревом на узлах можно посчитать вероятности аналитически.
Дерево исходов матча — обычное биномиальное дерево, нарисованное до уровня 2n-1.
Нас интересуют только вероятности в вершинах, отмеченных зеленым. (Поэтому мы не рисуем вершины левее и правее — они не влияют на зеленые вершины, хотя и присутствуют в биномиальном дереве).
В случае игры до 11 голов, зеленые вершины — это вероятности матча со счетом 11-0, 11-1,… 11-10 в нашу пользу.
Ну и надо просто их просуммировать (это уже можно и на компьютере сделать).
P.S. Только заметил — у меня немного другие обозначения вероятностей гола, p и q. Но это ни на что не влияет, понятно.
В решении с деревом на узлах можно посчитать вероятности аналитически.
Дерево исходов матча — обычное биномиальное дерево, нарисованное до уровня 2n-1.
Нас интересуют только вероятности в вершинах, отмеченных зеленым. (Поэтому мы не рисуем вершины левее и правее — они не влияют на зеленые вершины, хотя и присутствуют в биномиальном дереве).
В случае игры до 11 голов, зеленые вершины — это вероятности матча со счетом 11-0, 11-1,… 11-10 в нашу пользу.
Ну и надо просто их просуммировать (это уже можно и на компьютере сделать).
P.S. Только заметил — у меня немного другие обозначения вероятностей гола, p и q. Но это ни на что не влияет, понятно.
Всё ещё проще. Пусть игроки играют не до k=11 очков, а фиксированные 2k-1 = 21 раунд. Тогда тот, кто в течение игры первым наберёт 11 очков, гарантировано выиграет по результатам 21 раунда. В результате мы получаем биномиальное распределение очков x, набранных первым игроком, а нас интересует вероятность P(x >= k), что соответствует кумулятивной вероятности 1-F(k; 2k-1, p) = F(k; 2k-1, q) которая выражается через регулярную неполную бета-функцию. P(x >=k ) = I_p(k, k). Ответ в виде графика можно спросить у вольфрам-альфы.
> Ценный совет напрашивается сам собой — чтобы выигрывать матчи, надо работать над выигрышем каждого очка.
Я бы из графика противоположный бы вывод сделал — можно выигрывать 60% подач и при этом выигрывать 90% матчей. График, кстати, не подписан.
На схожую тему есть ещё один прикол. Как-то раз я писал программу, играющую в футбол, и решил посчитать, сколько мне надо времени играть, чтобы узнать, улучшился алгоритм или ухудшился. Не помню точных цифр, но получалось, что чтобы сколько-либо надёжно заметить разницу частоты забития голов в 10%, надо играть хотя бы до 200 голов.
А теперь вспомним, что начинается после каждого футбольного матча. Каждый первый зритель сразу начинает делать далеко идущие выводы — у кого сегодня зубы болели, кто играть не умеет, кого надо уволить, кого отправить на мыло, кто с кем сговорился, какие национальные традиции помешали забить гол и т. п. Хотя на самом деле с таким смешным количеством голов, как в футболе, результат матча ненамного отличается от результата подбрасывания монетки.
В баскетболе чуть получше, но и там надо помнить, что, как правило, после гола одной команды мяч получает другая и с довольно большой вероятностью сама забьёт гол. Так что от счёта надо отнять эдак половину (и ещё поделить на два — большинство голов-то двухочковые).
Я бы из графика противоположный бы вывод сделал — можно выигрывать 60% подач и при этом выигрывать 90% матчей. График, кстати, не подписан.
На схожую тему есть ещё один прикол. Как-то раз я писал программу, играющую в футбол, и решил посчитать, сколько мне надо времени играть, чтобы узнать, улучшился алгоритм или ухудшился. Не помню точных цифр, но получалось, что чтобы сколько-либо надёжно заметить разницу частоты забития голов в 10%, надо играть хотя бы до 200 голов.
А теперь вспомним, что начинается после каждого футбольного матча. Каждый первый зритель сразу начинает делать далеко идущие выводы — у кого сегодня зубы болели, кто играть не умеет, кого надо уволить, кого отправить на мыло, кто с кем сговорился, какие национальные традиции помешали забить гол и т. п. Хотя на самом деле с таким смешным количеством голов, как в футболе, результат матча ненамного отличается от результата подбрасывания монетки.
В баскетболе чуть получше, но и там надо помнить, что, как правило, после гола одной команды мяч получает другая и с довольно большой вероятностью сама забьёт гол. Так что от счёта надо отнять эдак половину (и ещё поделить на два — большинство голов-то двухочковые).
В данном случае мы имеем вероятность выигрыша очка (7/(11+7)) ~=0.39.
Существенная неточность…
Из того факта, что мы выиграли 7 и проиграли 11 очков вовсе не следует, что вероятность выигрыша очка равна ровно 7/(7+11).
Вообще о точном значении вероятности исходя из этих данных утверждать нельзя. Можно только утверждать, что данная вероятность имеет некоторое непрерывное распределение, называемое бета-распределением.
А уж дальше можно заниматься монте-карлой. Только придется брать не конкретное значение вероятности, а некоторые интегральные значения на узеньких диапазонах с некоторыми вероятностями каждое.
В общем, все не так просто, как на самом деле…
вы пишите что
но моделируемая вами ситуация со счетом 11:7 — предполагает что первый игрок — должен иметь 11 очков а не 7…
Допустим Вы – первый игрок. В данном случае мы имеем вероятность выигрыша очка (7/(11+7)) ~=0.39.
но моделируемая вами ситуация со счетом 11:7 — предполагает что первый игрок — должен иметь 11 очков а не 7…
Интересный пост. Вопрос: в случае с настольным теннисом учитывался ли дальнейший розыгрыш «Больше-меньше» при счёте 20:20?
Задача о разорении игрока. Старая как мир, имеющая аналитическое решение. Или это для «финансового математика» недостаточно хайпово?
Ещё бы это всё разжевать, а то за такой стеной математики мне не понять.
Это не совсем задача о разорении игрока, т.к. там игрок может выиграть только «забрав деньги» у соперника. Она бы подходила, если бы победа в спортивном матче присуждалась когда кто-то из игроков «оторвался» от другого на фиксированное количество очков.
Задача в статье — это вариант Задачи о разделении ставки, достаточно подробно описанная в этой статье (обе ссылки на англоязычные источники).
Но и у этой задачи (набрать
очков до того, как соперник наберёт очков, при вероятности 
выигрыша одного очка) есть интересные аналитические решения:
Я использовал эти формулы для создания модификации рейтинга Эло, который учитывает матчи «до побед». Вот ссылка на хабр-статью, если вдруг интересно.
Задача в статье — это вариант Задачи о разделении ставки, достаточно подробно описанная в этой статье (обе ссылки на англоязычные источники).
Но и у этой задачи (набрать
очков до того, как соперник наберёт очков, при вероятности выигрыша одного очка) есть интересные аналитические решения:- В виде суммы
- Использующее неполную бета-функцию:
Я использовал эти формулы для создания модификации рейтинга Эло, который учитывает матчи «до
побед». Вот ссылка на хабр-статью, если вдруг интересно.
Sign up to leave a comment.
Вероятность выигрыша матча при известной вероятности выигрыша очка