Вейвлет — анализ.Часть 1

[Aoshi77]

«Таким образом, скалограмма дает более детальный ответ на вопрос о распределении частот во времени, а быстрое преобразование Фурье отвечает за сами значения частот. Всё зависит от поставленной задачи даже для такого простого примера.»
А можно ли дать более развернутый ответ, так что же все таки показывает скалограмма, с чем эти показания можно связать, если на частотном спектре, мы явно видим выделенные частоты, то что мы видим здесь?
Спасибо!

[Scorobey]

Допустим на масштабе а=1 сдвиг происходит на b=1. ( к примеру )
соответственно по ((t-b)/a) вейвлет помещается в точки на оси Х
((1-1)/1)=0
((2-1)/1)=1
((3-1)/1)=2…
Тогда на масштабе а=2 по формуле ((t-b)/a) получим сдвиг несколько меньше (ведь на 2 делим).
((1-1)/2)=0
((2-1)/2)=0.5
((3-1)/2)=1…
Т.е на том же временном интервале шагов анализа больше!

[geisha]

Программные средства — это, конечно, замечательно, но неплохо бы в статье про вейвлеты иметь хотя бы одну формулу этого самого вейвлета. И уж совсем замечательно было бы научиться выдерживать отступы и подписывать оси в matplotlib.

Справедливости ради: Фурье-преобразование справляется с "нестационарными" сигналами посредством супер-нетривиального хака: берётся необходимый кусок сигнала и преобразуется. Преимущества над вейвлетами очевидны: никаких требований к памяти, фиксированная сложность и получение коэффициентов на лету.

[Scorobey]

Формулы для материнских вейвлетов я приводил в статье Вейвлет-анализ основы. Повторяю для Вас:

Что касается «супер-нетривиального хака» поделитесь ссылкой ознакомлюсь. Спасибо за комментарий.

[Colorbit]

Под «супер-нетривиальным хаком» наверное понимается Оконное преобразование Фурье.

[Scorobey]

Оконное Фурье преобразование не обладает свойствами масштабирования и задержки.

[geisha]

Я не совсем понимаю, почему вы так утверждаете: сам выбор окна обладает свойствами масштабирования (размер окна) и задержки (положение окна на временной шкале).

[Scorobey]

При использовании оконного преобразования Фурье невозможно одновременно обеспечить хорошее разрешение по времени и по частоте. Чем уже окно, тем выше разрешение по времени и ниже разрешение по частоте.Разрешение по осям является постоянным. Это нежелательно для ряда задач, в которых информация по частотам распределена неравномерно. В таких задачах в качестве альтернативы оконному преобразованию Фурье может использоваться вейвлет-преобразование, временное разрешение которого увеличивается с частотой.

[ValeriyS]

Название статьи «Часть 1» и отсутствие ссылки на предыдущую вводную статью делает вопрос о формулах вполне резонным. Я на месте автора сразу бы добавил в свою статью отсутствующую ссылку вместо того, чтобы пенять на невнимательность (? — скорее слабое владение телепатией) спрашивающего.

[Scorobey]

Из текста в начале статьи «При обработке данных на компьютере может выполняться дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования, основы которого описаны в моей предыдущей статье». Но ссылку уже добавил потому что «предыдущая статья» это не ссылка.Спасибо за замечание.

[ValeriyS]

Спасибо за позитивную реакцию. Давно присматриваюсь к вейвлет-преобразованиям, но пока что на самом деле в железе (FPGA) проще делать FFT после оконной функции на перекрывающихся участках входного сигнала. Прорывным для практического использования вейвлетов, которые выдают двумерную картинку, было бы последующее использование сверточных нейронных сетей, т.к. они наиболее проработаны для обработки двумерных входных данных — изображений.

[Refridgerator]

Справедливости ради: Фурье-преобразование справляется с «нестационарными» сигналами посредством супер-нетривиального хака: берётся необходимый кусок сигнала и преобразуется. Преимущества над вейвлетами очевидны: никаких требований к памяти, фиксированная сложность и получение коэффициентов на лету.

Справедливости ради: вейвлет-анализ придумали совсем не глупые люди и с Фурье-преобразованием, в том числе и оконным, совершенно точно хорошо знакомыми. И когда вам понадобится, к примеру, определить локальный максимум некоторой частоты во времени с максимально возможной точностью — то внезапно окажется, что использовать для этого SFFT с перекрытием в один семпл очень, очень накладно.

[akhkmed]

Спасибо за статью. Подскажите, какие есть применения у синтеза сигнала из вэйвлет-образа и любой ли вэйвлет позволяет делать обратное преобразование?

[Refridgerator]

1) шумоподавление, нелинейная фильтрация
2) нет

[akhkmed]

Спасибо, подскажите, пожалуйста, что почитать об этом?

[Refridgerator]

Например. Хотя для начала не помешает разобраться в теории ЦОС (включая теорию функции комплексной переменной) достаточно для того, чтобы уметь самостоятельно синтезировать свои банки фильтров в логарифмической шкале частот. После этого все вопросы о вейвлетах отпадут сами собой.

[akhkmed]

промазал с веткой

[cjmarse]

Большое спасибо за статью и жду следующие части. Отдельное спасибо за примеры на python.
Попытаюсь применить вейвлеты для обработки геофизических данных.

[DIA25]

Начал прогонять приложенный скрипт и при отработке вышла ошибка в:
boundary_mode_subplot(x, 'zeros', axes[8], symw=False).
Вместо 'zeros' сейчас используется мода 'zero'.