В других сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (РЕГУЛИРОВАНИЯ).
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка (инерционное звено). На примере входной камеры ядерного реактора.
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка.
3.5 Колебательное звено.
3.7. Форсирующие звено.

Тема сегодняшней статьи: 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено

В качестве примера инерционно-дифференцирующего звена рассмотрим электрическую схему приведенную на рисунке 3.6.0, в которой входным воздейстиве является напряжение источника $U_{вх}(t)$ , а выходом явяляется напряжение на резисторе $U_R=U_{вых}$ .

Рисунок 3.6.0 Электрическая схема инерционно-дифференцирующего звена

Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, сумма Э.Д.С равна сумме напряжения на резистивных элементах контура:

$U_{вх} = U_R+U_C$

где: $U_R = I \cdot R$ - напряжение на резисторе;

Ток в замкнутом контуре одинаковый на всех элементах, запишем выражение для силы тока на конденсаторе: $I = \frac{dq_c}{dt}$ ;

где: $q_c = C \cdot U_c$ - заряд на конденсаторе; Выразим напряжение на конденсаторе через входное напряжения и напряжения на резисторе: $U_c = U_{вх}-U_R$ , и подставим в выражение второго закона Киргофа:

$U_{вх}=\underbrace{С \cdot \frac{d(U_{вх}-U_R)}{dt}\cdot R}_{U_R=I \cdot R} +\underbrace{U_{вх}-U_{R}}_{U_c} \Rightarrow$ $U_{вх} = C \cdot R \cdot \frac{dU_{вх}}{dt} - C \cdot R \cdot \frac{dU_R}{dt}+ U_{вх}-U_R \Rightarrow$ $C\cdot R \cdot \frac{d U_{R}}{dt}+U_R = C \cdot R \cdot \frac{dU_{вх}}{dt}$

заменяя на привычные и $x(t) = U_{ВХ}$ получим уравнение звена в классической форме:

$\underbrace{C\cdot R}_T \cdot y'(t)+y(t) = \underbrace{C \cdot R}_\tau \cdot x(t)$

Посмотрим какая размерность у нас получилась в коффициентах:

$[С\cdot R]= [Ф \cdot ОМ] = \left[\frac{A^2 \cdot c^4}{кг \cdot м^2} \cdot \frac{кг \cdot м^2}{A^2 \cdot c^3} \right] =[c]$

Мы видим, что несмотя на то, что у нас используются электрические единицы измерения, мы опять в коэффициентах уравнениях динамики пришли к размерность времени - секунды. Так же как для уравнений динамики груза на пружинке, где использовались законы мехники. (см. раздел 2.1)

Уравнение динамики инерционно-дифференцирующего звена имеет вид:

$T \cdot y'(t)+y(t) = \tau \cdot x'(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.1)}$

иногда в выражении уравнения динамики и соотвественно звена, используется обозначение вместо обозначение $\tau$ , т.е. $\tau \cdot x'(t) = k \cdot x'(t)$ ;

Перейдем к изображением $x(t) \rightarrow X(s)$ , $x'(t) \rightarrow s \cdot X(s)$ , $y(t) \rightarrow Y(t)$ , $y'(t) \rightarrow s \cdot Y(s)$ уравниние динамики в изображения Лапласа:

$(T\cdot s+1)\cdot Y(s) =\tau \cdot s \cdot X(s)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.2)}$

Передаточная функция звена:

$W(s) = \frac{\tau \cdot s}{T\cdot s+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.3)}$

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.6.3) значения $s = i \cdot \omega$ :

$W(s)_{s \rightarrow i \cdot \omega} =\frac{ \tau \cdot i \cdot \omega}{T \cdot i \cdot \omega+1} = \frac{\tau \cdot i \cdot \omega \cdot (1- T\cdot i\cdot \omega)}{1+T^2\cdot \omega^2} =\\ \underbrace{\frac{\tau \cdot T\cdot \omega^2}{1+T^2 \cdot \omega^2}}_{Re}+i \cdot \underbrace{\frac{\tau \cdot \omega}{1+T^2 \cdot \omega^2}}_{Im}$ $U(\omega) = \frac{\tau \cdot T\cdot \omega^2}{1+T^2\cdot \omega^2};\ \ \ \ \ \ \ \ V(\omega) = \frac{\tau\cdot\omega} {1+T^2 \cdot \omega^2}.$ $\omega \rightarrow 0 \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} u(\omega) \rightarrow 0 \\ v(\omega) \rightarrow 0\ \end {gathered} \right. ; \ \ \ \ \ \ \ \omega \rightarrow \infty \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} u(\omega) \rightarrow \tau/T \\ v(\omega) \rightarrow 0\ \end {gathered} \right. .$

Легко видеть, что годограф этого звена – полукруг (см. рисунок 3.6.2)

Рисунок 3.6.2 Годограф АФЧХ инерционно-дифференцирующего звена

Модуль АФЧХ определяется по формуле:

$A(\omega) =\sqrt{U(\omega)^2+V(\omega)^2}= \frac{\tau \cdot\omega}{\sqrt{1+T^2 \cdot \omega} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.5)}$

Cдвиг фазы $\phi (\omega)$ определяется по формуле:

$\phi(\omega)= arctg\frac{V(\omega)}{U(\omega)} =arctg \frac{1}{T\cdot \omega} = arcctg (T \cdot \omega)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.6)}$

Логрифмическая амплитундая характеристика ЛАХ определяется по формуле:

$Lm(\omega) = 20 \cdot lg(\tau \cdot \omega) - 20 \cdot lg \sqrt{1+T^2\cdot \omega^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.7)}$

Постороим графики соотвесвующих функций см рис. 3.6.3 и 3.6.4

Рисунок 3.6.3 АЧХ и ФЧХ инерционно-дифференцирующего звена

Рисунок 3.6.4 ЛАХ и ЛФЧХ инерционно-дифференцирующего звена

Для инерционно-дифференцирующего звена частота сопряжения: $\omega_{сопр} = 1/T;$

частота среза: $\omega_{срез}= \frac{1}{\sqrt{\tau^2-T^2}}$ , если $\tau>>T$ , то $\omega_{среза} \approx \frac{1}{\tau}.$

Анализируя поведение ЛАХ $Lm(\omega)$ можно сказать что:

Если $\omega <<\frac{1}{T}$ - звено ведет себя как идеальное дифференцирующее $W(s) \approx \tau \cdot s;$

если $\omega >> \frac{1}{T}$ - звено ведет себя как идеальное усиливающие звено $W(s) \approx \frac{\tau}{T}$ .

Переходная функция

$h(t) = L^{-1} \left [ Н(s) \right ]=L^{-1} \left[ \frac{W(s)}{s} \right] = L^{-1} \left[ \frac{\tau \cdot s }{(T\cdot s+1) \cdot s}\right] =\frac{\tau}{T}L^{-1} \left[\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$ $h(t)=\frac{\tau}{T}\cdot e^{-\frac{t}{T}}\cdot 1(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.8)}$

где - единичная функция обеспечивающая .

Рисунок 3.6.5 Переходная функция инерционно-дифференцирующего звена

Весовая функция получается путем диференцирования по времени переходной функции:

$\omega(t)= h'(t) = \frac{\tau}{T}\cdot e^{-\frac{t}{T}} \cdot\delta(t)-\frac{\tau}{T^2}\cdot e^{-\frac{t}{T}}\cdot1(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.6.9)}$

Рисунок 3.6.6 Весовая функция инерционно-дифференцирующего звена

Примерами инерционно-дифференцирующего звена является:

Пассивная RC- цепочка
Трансформатор
Пассивная RL-цепочка
Механически демпфер с пружиной

Пример 1

В качестве примера возьмем модель электрического контура, уравнения физики которого мы использовали для вывода дифференциального уравнения для инерционно-дифференцирующего звена. Сравним модель в виде расчётной электрической схемы и в виде стандартного блока "инерционно-дифференцирующего звена". (см. рис. 3.6.7)

Для электрической схемы мы используем блок "Гармонический анализатор", который обеспечивает тестовое воздействие в заданном диапазоне частот и осуществляет построение характеристик по отклику системы.

Для звена мы используем блок "Построение частотных характеристик", который осуществляет расчёт характеристик в начале или конце расчёта. Для линейных динамических объектов реализованные численные алгоритмы блока позволяют определять амплитудно-фазовые частотные характеристики напрямую, по общеизвестным формулам.

3.6.7 Расчетная схема контура с инерционно-дифференцирующим звеном

В качестве характеристик звена используем k и Т используем выражение $R \cdot C$ , полученное в начале статьи.

3.6.8 Праметры инерционно-дифференуируюещго звена

Результаты моделирования для электрического контура представлены на рисунке 3.6.9. Результаты моделирования для звена представлены на рисунке 3.6.10.

3.6.9 Результат гармонического анализа электрического контура.

3.6.10 Результаты гармонического анализа звена

Сравнение графиков модели электрического контура и модели в виде одного звена показывает их практическое совпадение. На рис. 3.6.9 в правой верхней части приведена увеличенная часть графика выходного напряжения и выхода блока. Видно что синусойды совпадют.

Годограф, построенный для электрического контура, представляет собой круг, как и предсказывает теория. Диаметр круга годографа равен $\tau/T$ (см. рисунок 3.6.2). В случае рассмотренного электрического контура $\tau = T = R \cdot C$ , соответственно $\tau/T = 1$ . Что мы и наблюдаем на годографе (правый нижний график рис. 3.6.9).

Пример 2

В качестве второго примера инерционно-дифференцирующего звена рассмотрим R-L электрический контур, представленный на рисунке 3.6.11

3.6.11 R-L цепь в качестве инерционно-диффернцируемого звена

Результат анализа (см. рис. 3.6.12) показывает, что данный конутр так же ведет себя как и предсказывает теория, годограф представлет собой круг, ЛАХ и ФЧХ выглядят так же.

3.6.12 Результаты гармонического анализа R-L цепочки.

Примеры для самостоятельного изучения можно взять здесь.

Предыдущая статья: 3.5. Колебательное звено.

Следующая статья: 3.7. Форсирующие звено.

Дргуие лекции:

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.6 Инерционно-дифференцирующее звено