Двойственная задача линейного программирования

Прочие статьи цикла

1. Исследование операций

2. Метод ветвей и границ. Задача коммивояжера

3. Симплексный метод решения задач линейного программирования

4. Симплексный метод решения ЗЛП. Пример

5. Двойственная задача линейного программирования

6. Транспортная задача линейного программирования

7. Задача выбора (назначения). Венгерский метод решения

8. Управление запасами

Обычно с задачей линейного программирования (ЗЛП) связана другая линейная задача, называемая двойственной. Обе эти задачи можно считать двойственными одну по отношению к другой, считать равносильными. Первая задача называется обычно исходной, или прямой, другая - обратной. Переменные, используемые в двойственной задаче называются двойственными или множителями Лагранжа. На них не накладывается ограничений по знаку. Рассматриваются двойственные критерии оптимальности. Специальные случаи называют симметричными двойственными задачами линейного программирования. Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается теоремой двойственности.

Теорема двойственности

Важнейшие свойства пары двойственных задач математического программирования сформулированы в трех основных теоремах.

Теорема двойственности

Допустимый вектор решения прямой задачи программирования оптимален тогда и только тогда, когда существует такой допустимый вектор решения двойственной задачи, что целевые функции прямой и двойственной задачи равны. Допустимый вектор двойственной задачи оптимален тогда и только тогда, когда существует допустимый вектор прямой задачи и целевые функции обеих задач равны.

Теорема существования решения

Если существуют допустимые векторы решений прямой и двойственной задач, то обе задачи имеют оптимальные векторы. Если одна из двух задач не имеет допустимого вектора, то ни одна из них не имеет оптимального вектора решения.

Теорема (принцип) дополняющей нежесткости

1. Если (x_Q , x_L) – оптимальное решение прямой задачи, а (y_Q, y_L) – решение двойственной задачи, то (x_Q , x_L, y_Q , y_L) – решение задачи Лагранжа. В частности, в этом случае удовлетворяются соотношения между переменными прямой и двойственной задач и условия дополняющей нежесткости.

2. Оптимальное решение прямой задачи программирования получается только при одном значении x_Q. Это справедливо и для переменной y_Q в двойственной задаче.

Теоремы двойственности

Основное неравенство двойственности. Для любых допустимых решений Х_<n> и Y_<n>пары двойственных ЗЛП имеет место неравенство

Экономически это означает, что для любого допустимого плана производства и любого дополнительного вектора оценок ресурсов (на складе) стоимость изготовленного продукта не превосходит оценки ресурсов.

Теорема существования (малая тероема двойственности)

Чтобы прямая и двойственная задачи имели opt решения, необходимо и достаточно, чтобы существовали допустимые решения для каждой из них.

Теорема 1 двойственности.

Если одна из пары двойственных задач имеет opt решение, то и другая его имеет. Причем экспериментальные решения их целевых ф. равны; если же ЦФ одной из задач не ограничена, то система ограничений другой противоречива. Интерпретация: оптимальное использование ресурсов – opt план. Суммарная оценка ресурсов = оценке продукта полученного при opt плане. Любой другой план не рентабелен. C_j – стоимость единицы продукции (внешняя оценка) y_i – стоимость единицы ресурса (внутренняя оценка). Эти двойственные оценки выступают как инструменты балансирования затрат и результатов. Имеет место x_j ​<->​ y_m +_j ; x_n+i <-> y_i.

Теорема 2 двойственности (о дополняющей нежесткости)

Для того, чтобы допустимые решения X и Y пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнить условия:

То есть, если какое-либо ограничение одной ЗЛП обращается ее opt планом в строгое равенство, то соответствующая переменная двойственной задачи в ее opt плане равна нулю; если же какая-либо переменная opt-го решения одной ЗЛП положительна, то соответствующее ограничение в двойственной ЗЛП ее opt планом обращается в точное равенство.

Теорема Кёнига хорошо иллюстрирует использование принципа двойственности ЗЛП.

Формулирование теоремы. Максимальное число попарно неколлинеарных единиц любой булевой матрицы равно минимальному числу линий, покрывающих все единицы матрицы.

Доказательство. Для нахождения максимального числа попарно неколлинеарных единиц булевой матрицы достаточно сформулировать и решить линейную задачу:

Минимальное число линий, покрывающих все единицы матрицы [C_ij], найдем, решив линейную задачу:

Оптимальному решению (u*_i, v*_j)  последней задачи отвечает минимальное покрытие, состоящее из множества строк I,  для которых u*_i = 1  и столбцов J, для которых u*_j =1.

Матрицы  А и А^Т коэффициентов (*), (**), (***) являются абсолютно унимодулярными, как матрицы двудольного графа. Поэтому условия целочисленности переменных заменяем  на условие их неотрицательности, и тогда получаем пару двойственных задач линейного программирования и согласно теореме двойственности имеем:

Линией матрицы называется ее строка или столбец. Два элемента матрицы называются неколлинеарными, если они не лежат на одной линии.

Матрица называется абсолютно унимодулярной, если все ее ненулевые миноры равны 1, либо -1.

Следствие. Матрица инциденций неориентированного графа G абсолютно унимодулярна тогда и только тогда, когда G – двудольный граф. В двудольном графе все простые циклы имеют четкую длину                                  

Принцип двойственности в задачах линейного программирования.

Предположим, что руководство предприятия из анализа конъюнктуры рынка продукции приняли решение: производство сократить, а от запасов сырья избавиться, (продать на рынке) и при этом не нанести себе убытков.

С этой целью руководство должно назначить стоимости y_i за единицу сырья вида S_i, стремясь при этом минимизировать общую стоимость сырья (чтобы быстрее продать сырье): Ф = Σ⁴_i=1 b_iy_i

Выручка предприятия от продажи сырья, расходуемого на единицу продукции П_i, составит: Σ⁴_i=1 a_ij y_i

И по условию она не должна быть меньше С_j (в противном случае предприятию выгоднее не продавать сырье, а использовать его для нужд производства, выпуска продукции).

Сформулируем исходную и двойственную задачи:

Обе задачи по отношению друг к другу называются двойственными или сопряженными. Анализ таблицы позволяет сделать выводы:

1. Если первая задача сформулирована на поиск максимума, то вторая формулируется на поиск минимума линейной функции.

2. Коэффициенты ЦФ первой задачи являются свободными членами системы ограничений второй.

3. Свободные члены системы ограничений первой задачи являются коэффициентами линейной системы во второй задаче.

4. Матрица коэффициентов второй задачи является транспонированной к матрице коэффициентов ограничений первой задачи.

5. Знаки неравенств в ограничениях второй задачи противоположны знакам неравенств в ограничениях первой задачи.

Оптимальный план X^opt_<n> одной из задач тесно связан с оптимальным планом Y^opt_<n> другой. Если одна из задач имеет решение, то другая также разрешена, причем для оптимальных клонов X^opt_<n> =<x₁, x₂,...x_n> и Y^opt_<m> =<y₁, y₂,...y_m> справедливо равенство Q( X^opt ) =Q'( Y^opt ). Если линейная форма одной из задач неограниченна, то условия другой задачи несовместны. Если A^-1 обратная матрица к матрице В, состоящей из векторов базиса оптимального плана исходной задачи, то оптимальный план двойственной задачи равен Y^opt_<m> =СВ ^-1, здесь С – вектор базисных переменных. Решение двойственной задачи получается в последней симплексной таблице исходной задачи, в (m+1) строке, в столбцах, соответствующих дополнительным параметрам.

Для того чтобы векторы X^opt_<n> =<x₁, x₂,...x_n> и Y^opt_<m> =<y₁, y₂,...y_m> были решениями пары задач, необходимо и достаточно, чтобы их компоненты удовлетворяли следующим условиям:

Эти условия называют принципом дополняющей нежесткости. Если исходная (прямая) задача задана в канонической форме, то двойственная к ней называется несимметричной. Для несимметричной двойственной задачи соблюдается условие y_i  ≥ 0.

Теория ЗЛП доказывает, что компоненты оптимальных планов взаимно двойственных задач, приведенных к каноническому виду, соответствуют одни другим. То есть базисные переменные основной задачи соответствуют свободным переменным двойственной задачи и наоборот, j = 1(1)n, x*_j ​ y*_{m +j} ; x*_n+i ​ y*_i ; i = 1(1)m.

Размерности в табличке m и n берутся в задаче для y-ков записанной в канонической форме.

Пример. Двойственный симплекс метод.  

Исходная задача. Имеется три вида продуктов П_j, причем единица веса каждого из видов продуктов содержит a_ij  единиц (питательных веществ). Для нормальной жизнедеятельности человек должен потреблять не менее b_i единиц вещества B_i в сутки. Стоимость единицы продукта П_j равняется C_j. Требуется составить оптимальный суточный рацион питания, т.е. найти количество x_j продукта, которое должен потреблять человек, чтобы стоимость питания была бы минимальной, если известно, что

такие значения его компонентов x_j,  j = 1(1)3, которые минимизируют целевую функцию (Ц) Q = 3x₁ + 2x₂ + x₃ и удовлетворяют ограничениям неравенствам

0,3x₁ + 0,2x₂ + 0, 4x₃  ≥ 0,2;

0,4x₁ + 0,3x₂ + 0,45x₃  ≥ 0,5;

0,2x₁ + 0,3x₂  + 0, 1 x₃  ≥ 0,6;

0,1x₁ + 0,2x₂ + 0,05x₃  ≥ 0,1;

x_j ≥ 0; j = 1(1)3 = n

Для приведения задачи к каноническому виду введем дополнительные переменные x₄, x₅, x₆, x₇, переменных стало больше чем уравнений n – m = 7 – 4 = 3, следовательно, части из них (трем любым,) для получения решения можно задать произвольные значения (задают, как правило, нулевые значения), возникает число сочетаний из n по m вариантов. Система ограничений примет вид равенств

0,3x₁ + 0,2x₂ + 0,4x₃ – x₄ = 0,2;

0,4x₁ + 0,3x₂ + 0,45x₃     – x₅ = 0,5;

0,2x₁ + 0,3x₂ + 0,1x₃                     – x₆ = 0, 6;                   

0,1x₁ + 0,2x₂ + 0,05x₃                             – x₇ = 0, 1;

x_j ≥ 0; j = 1(1)3 = n, i = 1(1)4 = m.

Назначаем опорный план. Выбор в качестве базисных переменных x₄, x₅, x₆, x₇ приводит к недопустимому опорному плану. Так как знаки левой и правой частей различны. (Свободные переменные x₁ = x₂ = x₃ = 0) Метод искусственного базиса приводит к увеличению числа неизвестных задач, что нежелательно. Анализ задачи показывает, что число уравнений в системе ограничений больше числа переменных. Поэтому попытаемся применить принцип двойственности, т.е. вначале решим двойственную ЗЛП, а затем найдем решение исходной.

Двойственная задача. Коэффициентами линейной формы в двойственной задаче выступают правые части b_i , i = 1(1)4 = m, исходной основной задачи. Переменные получают другие имена y₁, y₂, y₃, y₄, и формулируется двойственная задача иначе. Найти максимум линейной формы Q':

Q'=0,2y₁ + 0,5y₂ + 0,6y₃  + 0,1y₄;

при ограничениях

0,3y₁ + 0, 4y₂ + 0,2y₃ + 0,1y₄  ≤ 3;

0,2y₁ + 0, 3y₂  + 0,3y₃ + 0,2y₄  ≤ 2;   

0,4y₁ + 0,45y₂ + 0,1y₃ + 0,05y₄ ≤ 1;

y_i ≥ 0; i = 1(1)4.

Приведем задачу к каноническому виду, вводим дополнительные неотрицательные переменные y₅ , y₆ , y₇ : 

Найти минимум ЦФ (знаки у коэффициентов ЦФ поменяли на противоположные): Q'= - 0,2y₁ - 0,5y₂ - 0, 6y₃  - 0,1y₄;

при ограничениях (в ограничения добавили новые переменные):

 0,3y₁ + 0, 4y₂ + 0,2y₃ + 0, 1y₄ + y₅ = 3;

0,2y₁ + 0, 3y₂ + 0,3y₃ + 0, 2y₄ + y₆ = 2;

0,4y₁ + 0,45y₂ + 0,1y₃ + 0,05y₄           + y₇ = 1,

y_i ≥ 0; i = 1(1)7.

Задача решается симплекс методом. Исходный опорный план в качестве переменных может иметь y₅, y₆, y₇ и свободные переменные y₁ = y₂ = y₃ = y₄ = 0, т.е. Y_<7> = [0, 0, 0, 0, 3, 2, 1] .

Базисные переменные y₅, y₆, y₇ и ЦФ выражаем через свободные переменные, т.е. из свободных членов (правых частей, обозначенных γ_i )  вычитаем левые части ограничений

y₅ = 3 – (0,3y₁ + 0,4y₂ + 0,2y₃ + 0,1y₄);

y₆ = 2 – (0,2y₁ + 0,3y₂ + 0,3y₃ + 0,2y₄);

y₇ = 1 – (0,4y₁ + 0,45y₂ + 0,1y₃ + 0,05y₆);

Q'₁=γ₀ - Σ⁴_i=1 γ_i y_i = 0 -(0,2y₁ + 0,5y₂ + 0, 6y₃  + 0,1y₄);

γ₀ =0, так как ЦФ не содержит свободного члена.

и строим симплекс таблицу с двумя полуклетками. Направляющий столбец y₃, направляющая строка y₆.

Анализ таблицы показывает, что все коэффициенты ЦФ при свободных переменных положительны. Следовательно, план Y_<7> не является оптимальным, ЦФ можно уменьшить, увеличивая значения соответствующих свободных переменных.

Находим γ = max{γ_i} =max {0,2; 0,5; 0,6; 0,1} = 0,6. Переменную y₃ надо ввести в базис. После этого устанавливаем, существует ли оптимальный план. В направляющем столбце все коэффициенты положительны, следовательно, оптимальный план существует. В базисе есть переменные, которые можно уменьшать до нуля увеличивая значения y₃, тем самым минимизируя ЦФ. Раньше других в нуль обратиться переменная y₆ и ее исключаем из базиса.

После замены переменных в базисе переходим к новой симплексной таблице.

Анализ этой таблицы показывает, что все коэффициенты в выражении ЦФ свободных переменных отрицательны. Следовательно, опорный план Y_<7>= [0, 0, 20/3, 0, 5/3, 0, 1/3] является оптимальным. ЦФ при этом Q'₁ = - 4  достигла наименьшего значения. Возвращаемся к двойственной задаче. Используя соответствие между оптимальными планами двойственных задач ЛП, определяем: базисными переменными в оптимальном плане будут x₂ x₄ x₅ x₇; их значения с противоположным знаком записаны в последней строке таблицы. Таким образом, X^opt_<n> =<0; 2; 0; 0; 2; 0; 1; 0; 1/30>, т.е. оптимальный рацион из двух единиц продукта П₂. Стоимость такого рациона минимальна и составляет 4 единицы. Это значение с противоположным знаком записано в той же таблице.

Литература

1. Ваулин А. Е. Методы цифровой обработки данных.– СПб.: ВИККИ им. А. Ф. Можайского, 1993.– 106 с.

2. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982.

3. Квейд Э. Методы системного анализа // Новое в теории и практике управления производством в США.–М.: Прогресс, 1971.– с.78-99. .

4. Корбут А.А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969.

5. Макаров И. М. и др. Теория выбора и принятия решений.– М.: Наука, 1982.– 328 с.

6. Пфанцагль  И. Теория измерений. – М.: Наука, 1988.–384 с.

7. Таха Х. А. Введение в исследование операций. 7-е изд. М.: Изд. дом «Вильямс», 2005.

8.  Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений. – М.: Наука,1978. –352 с.