madschumacher Jul 31 2021 at 17:03

Сфера Блоха для бройлеров

5 min

9.1K

В этой публикации мы попробуем подробно разобрать, что же такое сфера Блоха, иллюстрирующая пространство состояний одного двухуровневой квантовой системы, что в области квантовых вычислений зовётся "кубитом". Для тех, кто желает понять, ~~зачем на математике мучают бесполезными комплексными числами,~~ узреть одно из красивейших применений комплексных чисел и сферической системы координат.

Центральной идеей квантовых компьютеров является переход от использования кодировки информации в виде последовательности битов, которые могут принимать значения 0 и 1, к последовательностям кубитов. Каждый кубит -- это двухуровневая квантовая система далее мы будем использовать эти определения как эквивалентные понятия: у нас есть состояние |0⟩, являющееся аналогом 0 бита, и состояние |1⟩, аналог 1 бита. Вариантов того, что из себя могут представлять |0⟩ и |1⟩, очень много: спины |0⟩ = |↑⟩, |1⟩= |↓⟩ "вверх"/"вниз", состояния ангармонического осциллятора, поляризации фотонов (см. подробнее, например, здесь). Но в квантовой механике, согласно принципу суперпозиции, все подобные кубиты описываются при помощи волновой функции, вектора состояния |ψ⟩:

$|\psi\rangle = c_0 |0\rangle + c_1 |1\rangle$

Поскольку наша система по нашему же предположению, имеет только два возможных состояния для финального измерения, то получается, что состояние описывается двумерным вектором комплексных коэффициентов перед состояниями c₀ и c₁, т.е. (c₀,c₁)^T, а наши состояния |0⟩ и |1⟩ являются базисными векторами, причём перпендикулярными друг другу, записывается это как

$\begin{cases} \langle 0 | 0\rangle = \langle 1|1\rangle =1 \\ \langle 0 | 1\rangle = 0 \end{cases}$

Но не всё так просто с этим выражением, по своему смыслу, коэффициенты c₀ и c₁ связаны с вероятностью обнаружить кубит в состоянии |0⟩ или |1⟩, обозначим их p₀ и p₁:

$\begin{cases} p_0 = \frac{|c_0|^2}{|c_0|^2 + |c_1|^2} \\ p_1 = \frac{|c_1|^2}{|c_0|^2 + |c_1|^2} \end{cases}$

Мы, конечно, можем позволить себе выбирать эти коэффициенты какими угодно, но физически значимыми являются т.н. нормированные коэффициенты, такие что

$\langle \psi | \psi \rangle = |c_0|^2 + |c_1|^2 = 1$

Т.е. полная вероятность найти систему в состоянии |ψ⟩ равна единице, в этом случае квадрат модуля каждого из коэффициентов -- это просто вероятность найти кубит в соответствующем базисном состоянии |n⟩ (p_n=|c_n|², n=0,1). Выражение |c₀|²+|c₁|²=1 можно легко параметризовать при помощи основного тригонометрического тождества:

$\overbrace{ \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) }^{|c_0|^2} + \overbrace{\sin^2\left( \frac{\theta}{2} \right)}^{|c_1|^2} = 1$

Любое комплексное число z=a+b·i можно представить в показательной форме:

$z = a+b\cdot i = \underbrace{A}_{\sqrt{a^2 + b^2}} \cdot \exp(i\varphi)$

где A=|z|≥0 -- это модуль комплексного числа, а φ -- фаза z, вычисляемая через преобразование в полярные координаты:

$\begin{cases} a = A \cdot \cos(\varphi) \\ b= A \cdot \sin(\varphi) \end{cases} \Rightarrow \frac{b}{a} = \tan(\varphi)$

Отсюда видно, что модули коэффициентов c₀ и c₁ должны быть неотрицательными. Исходя из основного тригонометрического тождества, мы можем определить коэффициенты волновой функции |ψ⟩ как

$\begin{cases} |c_0| = \cos(\theta/2) \\ |c_1| = \sin(\theta/2) \end{cases}$

При такой параметризации, из условия |c_n|≥0, у нас получается, что угол θ может меняться от 0 до π, и мы выбираем это, осознанно, чтобы этот угол был похож на полярный азимутальный угол в сферических координатах, собственно, для этого и нужна двойка в θ/2. Но на самом деле для этого есть и более физические предпосылки

И, само, собой, используя показательную форму комплексных чисел, мы можем представить коэффициенты волновой функции в виде:

$\begin{cases} c_0 = \cos(\theta/2) \cdot e^{i\varphi_0} \\ c_1 = \sin(\theta/2) \cdot e^{i\varphi_1} \end{cases}$

Где по смыслу углы φ_n -- это полярные углы. Вроде всё хорошо, но у нас оказывается, что состояние |ψ⟩ определяют три числа: азимутальный угол (θ) и два полярных (φ₀ и φ₁). Но возникает резонный вопрос: а все ли они нужны, и ответ, как все уже догадались, нет.

В квантовой механике нас интересуют наблюдаемые величины, а представляются они в виде операторов, например, если у нас есть величина O от слова "observable", то её оператор обозначается добавлением сверху крышечки. В случае двухуровневой системы, оператор -- это по-сути, матрица, действующая на вектор коэффициентов (c₀,c₁)^T, и превращающая его в вектор новых коэффициентов:

$\hat{O} = \begin{pmatrix} \langle 0 | \hat{O} | 0\rangle & \langle 0|\hat{O} |1 \rangle \\ \langle 1|\hat{O}|0\rangle & \langle 1 | \hat{O} | 1 \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O_{00} & O_{01} \\ O_{10} & O_{11} \end{pmatrix}$

где Onm=⟨n|O|m⟩ -- это обозначение соответствующих матричных элементов. Стоит заметить, что матрица оператора у нас эрмитова, т.е. ⟨0|O|1⟩=⟨1|O|0⟩^* звёздочка в верхнем индексе обозначает комплексное сопряжение. Для нас важно, что среднее значение любой произвольной наблюдаемой для заданного состояния было бы одним и тем же числом, т.е. если

$\langle \psi | \hat{O} | \psi \rangle = \langle \psi' | \hat{O} | \psi'\rangle$

то мы разницы между состояниями |ψ⟩ и |ψ'⟩ не увидим: для нас они будут наблюдаемо одним и тем же состоянием. Теперь предположим, что |ψ'⟩=eⁱ^φ·|ψ⟩, тогда ⟨ψ'|=e^-i^φ·⟨ψ|, а значит

$\langle \psi' | \hat{O} | \psi' \rangle = \exp(-i\varphi + i\varphi) \cdot \langle \psi | \hat{O} | \psi\rangle = \langle \psi| \hat{O} | \psi \rangle$

т.е. фаза всего состояния даёт нам то же самое наблюдаемое состояние. Поэтому мы можем переписать наше двухуровневое состояние

$|\psi\rangle = \cos(\theta/2) e^{i\varphi_0} |0\rangle + \sin(\theta/2) e^{i\varphi_1} |1\rangle$

как

$|\psi\rangle = e^{i\varphi_0} \cdot ( \cos(\theta/2) |0\rangle + \sin(\theta/2) e^{i(\varphi_1 - \varphi_0)} |1\rangle )$

Соответственно, исходя из вышесказанного, можно спокойно проигнорить множитель eⁱ^φ0, и тогда единственным полярным углом, который у нас останется, будет разность фаз φ=φ₁-φ₀, и только сий угол определяет наше квантовое состояние.

В сухом остатке, наше состояние |ψ⟩ имеет вид:

$|\psi\rangle = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) |0\rangle + e^{i\varphi} \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) |1\rangle$

и параметризуется двумя параметрами:

углом φ в интервале от 0 до 2π имеющим смысл разности фаз между двумя двумя базисными состояниями,
углом θ, от 0 до π, задающим относительное "содержание" базисных состояний |0⟩ и |1⟩ в нашей волновой функции |ψ⟩.

Но вся наша конструкция очень подозрительно напоминает сферические координаты, которые, традиционно, задаются следующим образом:

$\begin{cases} x = r \cos(\varphi) \sin(\theta) \\ y = r \sin(\varphi) \sin(\theta) \\ z = r \cos(\theta) \end{cases}$

где r -- радиус, φ -- полярный угол (от 0 до 2π), а θ -- азимутальный угол (от 0 до π). Если мы зафиксируем радиус, то изменение углов опишет нам сферу в трёхмерном пространстве, а поскольку углы определены точно так же, как и для нашей волновой функции для двухуровневой системы, то мы можем отобразить все возможные состояния, как точки на сфере фиксированного радиуса r, и такое представление состояний двухуровневой системы зовётся сферой Блоха, в честь Нобелевского лауреата по физике Феликса Блоха.

Разберёмся как эта сфера устроена см. рисунок в самом начале статьи, разобрав, какие вектора (x,y,z)^T в трёхмерном пространстве соответствуют каким состояниям |ψ⟩.

При θ=0 (и любом значении φ) мы получим состояние |ψ⟩=|0⟩, это будет соответствовать вектору (0,0,r)^T, это верхняя точка сферы, её "северный полюс".
Напротив "северного полюса" будет южный полюс (0,0,-r)^T, при θ=π (и любом значении φ), это соответствует состоянию |ψ⟩=|1⟩. В этом смысле, наши базисные состояния -- это уникальные противоположности.
При θ=π/2 и каком-то значении φ, мы окажемся на экваторе (z=0, x²+y²=r²), когда в нашем состоянии |ψ⟩ ровно 50/50 вкладов от состояний |0⟩ и |1⟩.
Соответственно, в "северном полушарии" (выше экватора, при z>0) у нас будет больше |0⟩ в состоянии |ψ⟩, а в "южном полушарии" (ниже экватора, при z<0), наоборот, больше |1⟩.

Вот таким вот нехитрым способом можно легко и просто визуально изображать всякие весёлости, происходящие с состоянием двухуровневой системы. Конечно, физический смысл этого изображения существенно богаче: например, для частиц со спином 1/2 эта сфера будет давать пространственное направление спина, но это уже отдельный интересный вопрос.

UPDATE:

Спасибо за комментарии к статье, благодаря ним я вспомнил, что совсем забыл о важном куске: зачем в принципе нужен угол φ. Распишем, как выглядит для произвольного состояния |ψ⟩ среднее значение некоторой наблюдаемой O заданной оператором с матричными элементами :

$\langle \psi | \hat{O} | \psi\rangle = |c_0|^2 \overbrace{ \langle 0|\hat{O}|0 \rangle }^{O_{00}} + 2 \mathrm{Re} (c_0^* c_1 \overbrace{\langle 0 | \hat{O}|1\rangle}^{O_{01}} ) + |c_1|^2 \overbrace{\langle 1|\hat{O}|1 \rangle}^{O_{11}}$

Здесь мы использовали тот факт, что сумма комплексного числа z=a+i·b и его комплексно-сопряжённого числа z^*=a-i·b равна удвоенной действительной части любого из них, т.е. z+z^*=2·a=2·Re(z)). Если переписать это выражение в терминах полярного и азимутального угла сферы Блоха, мы получим

$\langle \psi | \hat{O}|\psi \rangle = \cos^2\left(\frac{\theta}{2} \right) O_{00} + \sin(\theta) \mathrm{Re}(e^{i\varphi} O_{01}) + \sin^2\left(\frac{\theta}{2} \right) O_{11}$

то есть значение каждой из наблюдаемых в явном виде зависит от обоих углов, поэтому ни один из них выкинуть из рассмотрения уже не получится. Как-то так.

Tags:

Hubs: