Comments 17
Прекрасный обзор, очень интересно!
Пара дополнений. Задолго до всех этих событий Бьянки придумал для синус-Гордона преобразование. В координатах, в которых уравнение принимает вид u_{xy}=sin(u), преобразование задается соотношениями u_x+v_x=2sin((u-v)/2), u_y-v_y=2sin((u+v)/2). Позже эту конструкцию назовут преобразованием Беклунда.
Крускал со товарищи заметил, что уравнение Кортевега-де Фриза является условием совместности уравнения Шредингера с еще одним, причем искомая функция КдФ входит в уШ в качестве потенциала. Удивительным совпадением было, что как раз где-то в это время обсуждалась работа Гельфанда и Левитана, которые объяснили обществу, как по спектру уШ можно восстановить (неизвестный) потенциал. Эта работа и была недостающим кирпичиком метода обратной задачи рассеяния (собс-но, отсюда возник и сам термин), без нее не было бы работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и, соответственно, солитонной тематики.
носит имена Гельфанда-Левитана-Марченко.
Я имел честь слушать теорию обратной задачи рассеяния в изложении самого В.А.Марченко, когда учился в университете. Правда, позднее в жизни этой тематикой мне заниматься не довелось
Спасибо. Замечательно, что Вам удалось побывать на его лекциях. К сожалению тем, кто занимался в шестидесятых-семидесятых теперь уже за восемьдесят. Людвиг Фаддеев, А. Б. Шабат наш мир недавно покинули. Ученики есть, но в научно-популярной сфере чувствуется некоторый информационный пробел об истории и положении теории солитонов.
В различных книжных публикациях она, конечно, была описана (из них и черпаю), но этих книг сейчас практически нет, они стали редкостью даже в букинистике, их трудно найти в библиотеках. Да и кто сейчас читает старые книги. После бума мода на солитоны тоже прошла, а сейчас интерес общества сместился в основном в сторону информационных технологий.
Собственно поэтому и возникла идея написать цикл статей на уровне введения и "пощупать", чтоб собрать основные понятия в научно популярной форме для ориентации и для расширения кругозора, попутно "подтянуть" основную библиографию (из которой, возможно предоставлю ознакомительные страницы, чтоб не повторять подробные выводы формул, или сформирую торрент, чтоб не пропало)
Роль уравнения ГЛМ, которое в общем случае не интегрируемое, но для для случая применения в методе обратного рассеяния солитонных уравнений почему-то решается, будет упомянута в третьей части.
Спасибо за дополнение!
Про Бьянки сначала вставлю во вторую главу, которая почти написана. В ней запланирован обзор с разных точек зрения на уравнение СГ. И один из ракурсов будет посвящен как раз историческому "бэкфлэшу" к геометрической интерпретации и деформации поверхностей.
Но более подробно преобразование Бэклунда (ПБ) вместе с другими методами решений во вторую главу все-же не помещается и будет описано в третьей, так как тема многогранна, к тому же хотелось бы их разобрать в приложении к нескольким уравнениям.
Вставил в статью о продолжении следующих частях, а то было не очень понятно написано.
Спасибо, интересно. Но у меня другие кинки
Мне такие нравились в своё время: https://www.youtube.com/watch?v=g-cLaPUOtzU
The Kinks - "Sunny Afternoon" (1966) и "Shangri-La"
про бризер - очень интересно! я думал что они таки аннигилируют (изза потерь "на трение"). А можете сказать - почему так не происходит?
Если в модели будет трение, то они конечно же будут постепенно "умирать". Похожим образом как себя ведет обычный маятник с трением. А насчет мгновенной аннигиляции, одномерная модель СГ упрощенная и ограничена, в ней как бы нет выхода структур "в сторону" на ортогональное направление. Да и сами волны в модели СГ отличаются от электромагнитных волн реального мира., обладают дисперсией, то есть зависимостью скорости от частоты.
Раз Вы упомянули дисперсию, то, на мой взгляд, разбираясь в основах, стОило бы явно упомянуть физику процесса, а именно то, что уединённые волны есть результат конкуренции нелинейности и дисперсии. Грубо говоря, нелинейность обогощает спектр, а дисперсия, напротив, обедняет. Случай равновесия и есть уединённая волна. Это было бы совсем просто.
Интересно, а кто-то работает с солитонами 3-х и более мерном пространстве?
Еще было бы, наверное, интересно посмотреть, что будет происходить, если рассмотреть солитон в N-мерном пространстве, в котором присутствуют параметрические осцилляции. В качестве примера я имею в виду опыт с активной средой, у которой параметры зависят от освещенности, и которая освещается модулированным потоком света. Известно, что в такой среде возникают спиральные автоволны, которые будут двигаться по прямой, если частота вращения этих волн совпадает с частотой параметрических осцилляций, а направление даижения будет определяться сдвигом фазы относительно осцилляций. Я когда-то читал об этом в брошюре об автоволнах, надеюсь, ничего не наврал. Там речь шла о 2-мерной активной среде.
Мне кажется, что автосолитоны могут быть неплохой моделью для квантовых частиц, а "синхронизация с параметрическими осцилляциями пространства" -- описывать частицы с нулевой массой покоя (те же фотоны). Правда, подобная модель на данный момент, наверное, слишком сложна по сравнению с существующей. Лично мне такой подход нравится тем, что тут можно иметь дело с физическими моделями, из которых выводить свойства мира, а не просто "заткнуться и считать" ))
Работали причем много и глубоко (сотни публикаций), работают и, надеюсь, будут продолжать. Но для понимания различных вариантов, думаю, желательно ознакомиться с общим бэкграундом о простейших моделях. Мы как бы сначала смотрим на один и тот же математический объект с нескольких сторон. Даже если модели описывают одинаковое одномерное уравнение, они отличаются по устройству, и, значит, идеи об их расширении могут быть принципиально разные и приводить к разнообразным вариантам. Некоторые пути расширения намереваюсь описать в следующих частях. Но есть еще один интересный вопрос: почему они не сработали? Мне кажется, что по некоторым причинам теория солитонов имеет некоторые скрытые ограничения в самой себе, по своему построению. Например, солитоны как решения излишне детерминированы (их взаимодействие упругое, спектр сохраняется, их ничего не разрушает, значит аннигиляция невозможна), возможно, например, должны быть какие-то "перемычки" между разными видами солитонов.
Про спиральные автосолитоны мои знания сильно ограничены. Что-то похоже на "электромагнитно индуцированную прозрачность"? А про квантовые частицы коснусь во второй части.
Спасибо за статью, с нетерпением ждем продолжения! Особенно, про многомерные солитоны - так-то я уже вдоволь наигрался со сфероподобным солитоном из трехмерного нелинейного Шрёдингера, а до остальных вариаций уже не хватает мотивации разбираться. На счет квантов, в последнее время часто всплывают топологические солитоны - как раз хотел накатать статью по теме, но на всякий случай оставлю здесь список заинтересовавших статей, вдруг кому пригодится (в нынешних реалиях высок риск утратить всякую возможность заниматься исследованиями и популяризацией, да и вообще, чем-либо заниматься)
список
https://link.springer.com/article/10.1007/s11071-020-05860-8
https://sci-hub.ru/https://doi.org/10.1515/9783110549638-011
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0550321315003697
https://sci-hub.ru/https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.183901
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/361/1/012022/pdf
https://sci-hub.ru/https://doi.org/10.1140/epjd/e2012-30214-2
Спасибо за подборку. Во второй части будет история про модель Скирма (история его исследований, положение и роль в физике элементарных частиц), как одно из направлений соприкосновения с СГ. Всю тему за один раз не подыму и во вторую часть не вместится, но литература пригодится, а потом скорее всего будет отдельная и более подробный обзор. Обстановка да, немного нервирует, но тем более нужно подсобрать литературу.
Такое надо в раздел "математика" обязательно. Тут же как раз стык наук.
Солитоны. Модель Френкеля-Конторовой