Comments 24
Мне нравится вот так - рисуем квадраты и треугольники и всё понятно.
https://medium.com/paradox-review/визуальное-доказательство-теоремы-пифагора-8f9c796cae2c
Откуда вы получили, что sinβ = b/c
теорема синусов имеет в своем основании теорему Пифагора и в итоге опять выходим сами на себя...
На последнем слайде, в первом равенстве описка? Должно быть "a² + b²" в знаменателе.
Три вещи.
1) Вот это откуда следует?
2) Как вы можете видеть по пункту (1), я даже в комментариях хабра могу набрать с клавиатуры tex-формулу. Почему вы заставляете нас разбираться в ваших невразумительных планшетных каракулях с многочисленными опечатками?
3) При чем здесь тригонометрия? "Синус" используется здесь только отношение сторон. Никаких функциональных или тригонометрических свойств его здесь не эксплуатируется. Так-то в той же книге Лумиса говорится о нескольких сотнях оригинальных доказательствах теоремы, большинство из которых куда проще, и хотя прием с бесконечным рядом, конечно, забавный, выглядит всё это как извращение ради извращения.
соглашусь, кроме последней фразы.
Наличие такого доказательства опровергает предположение, что "тригонометрия существует из-за теоремы пифагора", и это, в принципе, важно.
Но в этом доказательстве синус используется только в качестве замены дроби отношения противолежащего катета к гипотенузе. Это не более чем замена переменных, и её можно использовать в любом другом доказательстве, где есть дроби.
Вот, например, из Википедии: если там заменить a/c на sin(α) — можно ли это будет считать доказательством "через тригонометрию" только лишь потому что мы "использовали" sin где-то в доказательстве?
Кстати, это доказательство не до конца верное, потому что упускает важный случай когда катеты равны, о чём я писал в комментарии в предыдущей итерации.
Это что же, судя по ссылке, доказали две американские студентки?
По поводу теоремы синусов в интернете тоже интересный круговорот. Теорема синусов доказывается через площадь произвольного треугольника, а площадь произвольного треугольника через теорему синусов или опять же через Пифагора.
у вас на первом и втором рисунке с бесконечной цепочкой треугольников разные результаты почему-то
CH1=bc/2a и CH1=2ac/b
первое очевидно неправильно
считалось, что любое доказательство теоремы Пифагора через
тригонометрические функции так или иначе сводится к применению основного
тригонометрического тождества
А кем это так считалось? Можно ссылку какую-нибудь?
Это невозможное доказательство теоремы Пифагора нашли в 2023 году
Нужен всего лишь простой советский...
Я с детства вообще не очень понимаю смысл геометрических доказательств, и чем больше я изучал математику, тем меньше их понимал.
Все эти рисунки с построением треугольников верны только для евклидовой метрики. А функции sin(x) и cos(x) существуют совершенно независимо от пятого постулата Евклида, они могут быть заданы чисто аналитически. Их можно, наверное, хоть из пустого множества аксиоматически вывести (хотя в этом я не уверен).
Основное тригонометрическое тождество верно просто потому, что это и есть часть определения синуса и косинуса.
Вы правы в том, что тригонометрия и свойства гармонических функций могут быть получены аналитически, как собственные решения уравнения Лапласа, или уравнения
Из него, в частности, выводится и тригонометрическая единица. Геометрическое представление этих функций, действительно, приводит к евклидовой метрике и эквивалентно выполнению теоремы Пифагора.
Однако геометрия и еë построения имеют самостоятельную ценность, давая связь между пространством и его симметриями (инвариантами). Евклидова метрика примечательна тем, что инвариантна относительно изометрий, изоморфных базовым операциям над числами (комплексными) и линейным преобразованиям, потому она чрезвычайно практична, а геометрические построения настолько плодотворны. Для того, чтобы исследовать свойства неевклидовых геометрии и римановых пространств мы опираемся на этот изоморфизм.
Так что геометрические доказательства не ценнее алгебраических, но они прекрасно их дополняют, во многом оказываясь проще. В изоморфных структурах никто не "главный", но наличие разных подходов сильно расширяет наш инструментарий.
Уж извините, 15 лет я ничего не комментил на хабре, даже весёлые темы про ассемблер или же наоборот, как ребята не вкуривают в ковариантность и контравариантность интерфейсов...
Господа, у меня не то чтобы неприятные, но не очень хорошие новости для тех, кто доказал... Если внимательно прочитать учебник 7-го класса геометрии(советский точно, хотя сам я 92го), то там на пальцах объясняется, в чем суть, и 5-30 минут размышлений приводят к доказательству, только не через такие "заумные" дебри (а доказательство, кстати, так и не вышло, про равные катеты забыли), а через круг, квадрат (фигура) и квадрат координат, что не требует теоремы Пифагора, а как раз таки ее геометрически выводит. Более того, можно только из квадрата(фигура) вывести основу, перенести на круг с синусом и косинусом и далее... Что-то мне кажется, что такими темпами скоро найдут не менее кривое доказательство, что PR² действительно неоспорим/применим, и PR² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Пойду за чипсами.
Это доказательство весьма сходно с доказательством №100 вот здесь:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
Вот комментарий Марка Гриншпона, который руководил секцией, на которой выступали эти девочки:
Сначала они сослались на эту книжку Лумиса. Хорошая книжка, и я готов ей доверять. Но: она была написана где-то в самом начале 1900-х, а второе и последнее издание, из которого и взят этот скриншот, вышло в 1940-м. Я не хочу подвергать сомнению утверждение Лумиса, но с тех пор много воды утекло. Это первая грубая неточность с их стороны.
Во-вторых, судя по всему, дела так и обстояли довольно долго (наверное, никому этот вопрос не был интересен и не приходил в голову). Похоже, что первое чисто тригонометрическое доказательство опубликовал Jason Zimba в 2009-м: https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf . Но они от него отмахнулись, и это вторая грубая ошибка. После этого появилась ещё и онлайн-публикация https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Proof109.shtml . Короче, то, что они первые — это, конечно же, неправда.
Но они, под руководством учителя, придумали что-то чуть-чуть другое по мотивам этих уже опубликованных доказательств. Гениальностью там и рядом не пахнет, конечно. Но повторю ещё раз: за то, что они в чем-то разобрались и что-то похожее придумали сами, девочки вполне достойны похвалы. За враньё по части приоритетов их — вместе с учительницей — надо как следует пожурить (мягко говоря). И да, каюсь, мы не обратили на это внимания когда планировали сессию.
Но то, что из этого раздули в масс-медиа и в интернете — я в шоке. (И это эвфемизм, потому что я не могу описать мои ощущения не нарушая правила группы по части допустимых выражений. ?)
В общем давать свои ученикам подобные задачи (придумайте новое доказательство той или иной теоремы) - это правильно, а вот раздувать шум вокруг этого дела не стоит.
Автор. Не в упрёк, но на будущее: в русском языке есть прекрасное слово для подобных случаев. "Курьёзный".
Такое ли невозможное?
Это невозможное доказательство теоремы Пифагора нашли в 2023 году