Comments 14
Есть ли какой-нибудь пример реальной задачи, в которой может пригодиться Жорданова форма?
Честно говоря, я не знаю никакого прикладного применения(с точки зрения решения задач на компьютере). Мне кажется, что это не очень хороший способ решения ЛНДУ(да и каких-либо задач), так как вычислительная устойчивость в любом случае будет плохая, так как проблемы могут быть везде: от собственных чисел и координат корневых векторов, до вычисления обратной матрицы(как в примере). Если с обратной матрицей и с базисными векторами еще можно что-то придумать, то с собственными числами уже ничего не сделать.
Но я не могу сказать, что я эксперт по численным методам, поэтому если я не прав, и применения есть, то я буду очень рад об этом узнать))
Тут и возникает вопрос, озвученный одним уважаемым человеком. В универе преподают множество "фишек", которые потом оказываются бесполезными. А вещи полезные (типа работы с разреженными матрицами) не преподаются. К сожалению, Жорданова форма пока не находит широкого применения, и это снижает интерес к теме Вашей публикации. Возможно, я ошибаюсь.
У Вас в статье есть "косяки" типа
линейного оператора
, отвечающим числу
, если
Непонятно, что такое id. Похоже, единичная матрица? Обозначение неожиданно образовалось.
Это довольно распространенное обозначение тождественного линейного оператора. "Красивыми" буквами обозначаются операторы, а обычными их матрицы, поэтому писать тут матрицу - это не очень хорошая идея
Просто этот символ заранее не описан, просто неожиданно возникает. И к чему здесь операторы? Можно остаться в рамках матриц и не усложнять.
Я добавил определение, спасибо, что указали. Надеюсь кому-то от этого станет понятнее)
Мне кажется, что писать в матрицах - это плохая идея, так как смысл ЖНФ заключается в том, чтобы перевести оператор из одного базиса в другой. Это позволяет нам говорить о подобии матриц(принадлежности одному оператору).
Операторы все-таки более общая вещь, которая не зависит от базиса. И уже ее матрица имеет определенный вид в конкретном базисе.
Так можно сделать, и это не нарушит верности утверждений, но мне кажется, что нужно уметь писать в операторах, чтобы понимать, что матрица - это лишь способ записать оператор.
Если говорить про применение, то так можно сказать про большинство математики(да и про всю математику целиком, так как она появилась раньше компьютеров), но это не значит, что она не имеет смысла.
В мою бытность жорданова форма была ещё как полезна) Как-то раз было объявлено негласное правило, что, если на экзамене запахло перездачей, согласно ответам на вопросы билета, то можно было попросить матрицу на жорданизацию, и, в случае успеха, получить 3. Много двоечников тогда спаслись...
Вот если автор хотел всё усложнить и запутать - то ему это успешно удалось.
ЖНФ - лишь инструмент, как и другие инструменты. Для решения одних задач на компьютере нужна, для других - нет:
Наша цель построить такой базис в V, в котором матрица оператора T имеет максимально простой вид. Это полезно для решения разностных и дифференциальных уравнений.
Валентина Кириченко
http://me.hse.ru/wp-content/uploads/sites/13/2019/02/AG_JordanForm.pdf
PS Рекомендую заглянуть в материал по ссылке, там тоже коротенькие и простые объяснения по теме ЖНФ.
Либо я невнимательно читал, либо Ker и Im не определены при первом появлении.
Жорданова нормальная форма