Comments 108
А можно ли сказать, что все эти мощности сами по себе образуют некое бесконечное множество? Из того что я понял - счетное множество это нолик, континуум это единичка, 2^0==1. А где нолик и единичка - там и числовая ось, и арифметические операции...
Ну а есть ли числа между ноликом и единичкой мы знаем - есть, бесконечно много, но не целые. Правда, эта аналогия противоречит тому, что вы написали: "число таких множеств с промежуточной мощностью не может быть бесконечным по довольно сложным причинам" :)
Я для статьи немного упростил ситуацию. Множество континуума не может быть Aleph_Omega, так как мощность континуума регулярна, а aleph_omega сингулярна. Но, как я понимаю, континуум может быть, например
но я не хотел писать об ординалах (порядковых числах)
Еще бы знать что такое "мощность регулярна" и "мощность сигнулярна":)
Грубо говоря, регулярная мощность не может быть разложена на меньшее число простых.
Пример: бесконечная счетная мощность не может быть составлена из конечного числа конечных множеств. Либо надо взять хоть одно бесконечное множество, либо взять бесконечное число конечных множеств.
Счетное число счетных множеств счетно, поэтому относительно континуума это тоже верно
Кажется, что так всегда - но нет, не всегда. Сингулярные мощности могут быть разложены на меньшие
Да тут вообще всю статью надо предварить математическим бэкграундом этак раз в 10, а то и 20 больше самой статьи :) Потому что через слово вводятся какие-то «очевидные понятия» (тм) и галопом по европам скачем дальше.
Можно придумать любой математический объект, например множество с дробной мощностью. Только вот зачем это делать?
Внезапно может оказаться что это удобно для описания каких-нибудь процессов.
Чистая математика сама по себе не имеет смысла. Особенно современная теоретическая математика. Но потом внезапно оказывается что физикам без какого-то раздела теоретической и вроде бы бесполезной математики очень неудобно мир описывать.
Так что пусть развивают. Может и пригодится. И стоит недорого.
Это если вы не платонист. Для платониста математика описывает реально существующие вещи
Странно быть платонистом более чем через 2000 лет после Платона. Примерно как всерьёз обсуждать устройство мира по Аристотелю. Это ценно с исторической точки зрения, а с практической как-то нелепо. Может, конечно, и существуют сейчас платонисты, Юрий Лоза ведь существует.
А ещё странно верить в теорему Пифагора спустя 2500 лет, не правда ли?
Вы правы, в теорему Пифагора очень странно верить. Странно верить в то, что доказано. Предупреждая вопрос об аксиомах - в них верить нет необходимости, достаточно отсутствия явных указаний на их противоречивость.
Что касается платонизма, тут нужно договариваться о значении слов. В общепринятом смысле про платонизм в Википедии можно прочитать вот это:
Philosophers who affirm the existence of abstract objects are sometimes called Platonists; those who deny their existence are sometimes called nominalists. The terms "Platonism" and "nominalism" also have established senses in the history of philosophy. They denote positions that have little to do with the modern notion of an abstract object. (Выделение моё).
А можно ли верить в теорему, доказанную, например с помощью аксиомы выбора, которую принимают не все?
Или верить в неконструктивной доказательство - есть конструктивная математика, где не работает принцип исключённого третьего
Если для теории чисел, как правило, такие вопросы не поднимаются, то теория множеств - это на 80 процентов метаматематика, и в ней важна разность философских подходов
Это всё же не вопрос веры, а скорее вопрос возможности получения полезных выводов. Помимо упомянутого парадокса Банаха-Тарского или разрешения квадратуры круга, аксиома выбора (в виде расширения ZF до ZFC) много где нужна.
Парадокс Банаха-Тарского называется "парадокс", потому что содержит в себе внутреннее противоречие. Его доказательство строится на аксиоме выбора, которая называется "аксиома", потому что было введено бездоказательно - для того чтобы было можно рассмотреть всю (на тот момент) математику исключительно через теорию множеств. И если раньше был такой метод доказательства "от противного", когда получение противоречия означало, что исходные посылки неверны - то на этот раз математики (не все) решили "Да не, всё норм. Это не баг, это фича".
Ну какого-либо запрета на удвоение объёмов в математике нет. А парадоксом это называется только потому что противоречит физике. Но в физике нет бесконечно большого числа бесконечно малых величин - там всё даже не счётно, а конечно.
Так чисто математически тут никаких противоречий нет.
Если уж хотите атаковать этот парадокс - то атаковать надо отель Гильберта, в который всегда можно добавить ещё посетителей (это можно сделать, но там понадобится дополнительная аксиома, например: "нельзя пересчитать все натуральные числа"). По сути парадокс с удвоением шара есть просто развитие и использование идей этого отеля (раз можно всегда поселить ещё одного, то можно и отселить половину (например, чётных) постояльцев в такой же отель напротив и получить два идентичных отеля, идентичных же первоначальному)
В физике может и нет бесконечно большого числа бесконечно малых величин, зато там есть непрерывные и дискретные функции. Дельта Дирака, Гребень Дирака, функция Хэвисайда - всё то, из чего состоит электрическая часть современной цивилизации, включая эти ваши интернеты. Ну а конфликты что Оливера Хэвисайда, что Жан-Батиста Жозефа Фурье с математиками были настолько сильными, что до сих пор не все математики их нововведения признают.
Но в физике нет бесконечно большого числа бесконечно малых величин — там всё даже не счётно, а конечно.
Кстати, это не доказано и вообще вряд ли может быть доказано.
Ну нет же. Парадокс Б-Т мало того, что не содержит в себе противоречие, он еще и парадоксом не является. Он лишь так называется в силу абсолютной контринтуитивности вывода из теоремы Б-Т. Но эта контринтуитивность не больше таковой, скажем, чем у геометрии Лобачевского - кстати, хорошего примера, как введение аксиомы !|| так же получаются контринтуитивные выводы.
Аксиома выбора и вводится «бездоказательно», на то она и аксиома. Важны выводы. Если парадокс Б-Т не имеет практического применения, то например в теории чисел уже есть таковые - в криптографии через слабую проблему Гольдбаха, например.
Да, мы ж на Хабре. Аксиома выбора говорит о том, что еще не инициализированная переменная существует, но не дает понимания о ее значении.
еще не инициализированная переменная существует, но не дает понимания о ее значении
В ряде языков высокого уровня не инициализированная переменная гарантированно имеет значение "ноль" или битовое представление из нулей. В ряде языков низкого уровня не инициализированная переменная гарантированно имеет конкретный адрес, благодаря чему возможны взломы через переполнение буфера, кража секретных данных, защищённых невзламываемыми математически доказанными криптостойкими алгоритмами и прочие meltdown-ы. Выглядит как натягивание совы на глобус ваш пример.
Так это же аксиомы. Принимайте, какие удобно.
Тем не менее, считать, что в мире абстракций существует абстрактная кровать, а все реальные кровати лишь тени той единственной вряд ли удобно.
Вы же не будете также укорять геделя, убежденного платониста, в наивности?
Извините, но основываться на взглядах, мотивациях и убеждениях последовательно разрушавшейся (или возносившейся, как Вам угодно) личности конкретно Курта Гёделя -- довольно опрометчиво. Но, как сказано о другом гении по другому поводу: "ценим ми его не за это".
Что вы имеете в виду под разрушением личности Геделя?
Ну у него была именно болезненная параноя, как я слышал, которая прогрессировала всю его жизнь. Даже холодильников боялся - потому что могут отравить еду.
Непосредственно к математике это имеет отношение слабое, но в от к тому что он платонист - вполне себе прямое. Параноики всегда верят в существование каких-то неведомых объективных сил и сущностей.
Подходить чисто формально к вычислениям когда за тобой вселенные люди телепатически следят - довольно сложно.
Он наверное имел ввиду что Гедель под конец жизни стал параноиком с психическим расстройством личности. Наверное думает что платонизм его до такого довел, ну или что платонизм следствие этих проблем.
Очень странно как раз не быть платонистом. Потому что тогда приходится встречаться с разными проблемами вроде того, что пока люди не придумали четных чисел, то их не существовало.
Ну да в общем. В чём проблема-то? Чётность это - не само число, а его свойство (так же как и простота и магичность) - пока свойство не придумали, его не существовало. Да и самих чисел не существовало, пока их не придумали. Странно думать обратное!
Экстремальный номинализм *
(*) пока ещё не запрещен в России
)))
Да и самих чисел не существовало, пока их не придумали
Но так выходит что и, например, планет солнечной системы не существовало. Ведь планеты тоже люди придумали. Как и солнечную систему)
А платонист вкладывает в множество существующих вещей вещи еще не познанные, неисследованные наукой?
Если "да", то какими свойствами он наделяет такие объекты?
Если "нет" и при этом отрицать поиск инструментов для их познания и изучения, то как он познает новое?
Не совсем понятно, если Универсум фон Неймана конструируется каждый раз при помощи операции множества подмножеств, то он счетен, так как у него есть механизм построения и L=V.
Так что скорее всего универсуум определялся как-то более сложно...
Странно, что в вашей статье отсутствует упоминание результатов П.Дж. Коэна (см. например:
1. Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза
2. Ю.И. Манин, “Проблема континуума”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 5, ВИНИТИ, М., 1975, 5–72; J. Soviet Math., 5:4 (1976), 451–501 - https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intd&paperid=14&option_lang=rus)
Спасибо, благодаря Вашей статье я узнал, что я — платонист
indiscernibles -можно хорошо перевести как "непознаваемые". Или "неписанные" - если хочется больше колорита.
Скорее "неописуемые", но это слово уже нагружено другим смыслом...
Нет. Здесь речь идёт именно о (невозможности) восприятии объекта , а не о выражении, описании его (там нет корня scribe). Т.е. надо передать смысл что мы не можем эти числа увидеть или понять, а не то что мы их не можем записать.
А это разве не трансцендентные числа? Они так и определяются, как все вещественные, которые не алгебраические, то есть не корни алгебраических уравнений.
нет. трансцендентое число определяется строкой конечной длины, например, 'sqrt(2)', '4*arctan(1)' (вторая строка определяет pi)
для indiscernibles определяющих их строк нет
Гм, Вики с вами не согласна, как и то, как меня учили когда-то: трансцендентные - это все те, что не алгебраические. Впрочем, это вопрос определения, в вашем случае вы расширили список порождающих функций для алгебраических чисел (добавив туда, как явствует из вашего примера, как минимум тригонометрические), и рассматриваете числа вне этого класса. Другими словами, это числа, не описываемые элементарными функциями. Что ж, можно и так, полезно было бы упомянуть, что каждое из них все равно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью, так что "пощупать" их, в каком-то смысле, все же можно.
Что ж, можно и так, полезно было бы упомянуть, что каждое из них все равно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью
А смысл? Любое действительное число выражается бесконечной десятичной дробью, иррациональное - ещё и непериодической, с чего бы indiscernibles оказались исключением?
так что "пощупать" их, в каком-то смысле, все же можно
Разве что при очень богатом воображении (и слабых математических способностях). Если в процессе "щупанья" вы выведите хоть один способ такое число получить - число перестанет быть indiscernible (точнее, окажется что оно никогда и не было indiscernible).
нет, indiscernibles максимально расширено - допускаются ЛЮБЫЕ формулы и функции, если они корректно и однозначно определены. Кстати вводить тригонометрические функции не нужно, достаточно знака бесконечной суммы для рядов.
я вообще не говорил про алгебраические числа. я говорил про ВСЕ вещественные
это числа, не описываемые элементарными функциями - нет. Это числа, которые ВООБЩЕ НИКАК не описать
Безликие по определению не могут быть представлены отношением в виде формулы или какого-нибудь свойства. Теоретически они не должны быть трансцендентными исходя из этого.
Почему? Трансцендентные числа - числа которые не могут быть корнем многочлена бла бла. Среди трансцендентных числе есть безликие и не безликие.
Пример: число e трансцендентно, но прекрасно описывается формулой - сумма бесконечного ряда.
Исходя из определения в вики свойство тоже не должно определять безликих. Если мы невычислимость и трансцендентность не относим к ним, тогда да.
'безликость' - это мета свойство. Оно не выразимо в самой теории, так как теория оперируют формулами, и следующие вещи являются внешними по отношению к теории:
(не)существует доказательство что...
теория (не)полна/(не)противоречива
модель теории имеет такую то мощность
итд
на мета уровне 'безликость' неконструктивно определяет множество всех безликих чисел (как разность вещественных и подмножества определяемых) но не определяет ни одно безликое число конкретно
Вообще по трансцендентным согласен.
Но вот какая мысль меня посетила:
Ведь пи, е мы можем записать. Собственно записываем. Можем даже i записать - хотя это вообще невозможное число.
Т.е. что нам мешает взять и наречь какое-нибудь непознаваемое число как какое-нибудь кси и назвать его так? А мешает то что мы не сможем это кси никак не определить - нет такой математической операции результатом которой являлось бы кси.
Т.е. эти непознаваемые числа на самом деле - числа бесполезные. Они - типичный "чайник Рассела", лишняя сущность. Что они есть, что их нет - никому ни холодно, ни жарко. Они не могут появиться или участвовать ни каком вычислении и ни в каком доказательстве. У них не может быть каких-либо свойств.
Что делать? Правильно - звать священника. С бритвой! Можем смело считать что таких чисел просто нет (и не мучиться с переводом).
Т.е. что нам мешает взять и наречь какое-нибудь непознаваемое число как какое-нибудь кси и назвать его так?
Конечно можете. Для аксиомы выбора нет никакой проблемы вытащить число из моря безликих. Только это не будет конкретное число - так что в присвоении ему буквы будет мало смысла
Но лишней сущностью они не являются - так как они существуют, их не замести под ковер. Более того, подавляющее большинство вещественных чисел - безликие
А как они существуют? Как их существование проявляется?
Лишняя сущность - она не в плане существования/несуществования а а в плане необходимости для объяснения чего либо. Если числа принципиально бесполезны - их всё равно что нет.
Хотя если вы платновец - тогда да, существуют. Но в этом и проблема платоновщины :)
Я тут больше "алгоритмист": для меня математика - это наука описания произвольных алгоритмов (в частности - алгоритмов вычислений, но не только их). Поэтому то для чего принципиально нельзя написать алгоритм - это для меня уже не математика.
то есть чиcло Хайтина для вас не существует, потому что его нельзя вычислить?
вообще теория алгоритмов интересна не только тем, что модно вычислить (всякие классы P, NP, итд), но и тем, что вычислить нельзя
Для "числа Хайтина " алгоритм нахождения есть. Нет алгоритма вычисления всех цифр этого числа (для конкретного языка) - но это другое. Это как с пи - алгоритм есть и он прост - длина окружности на диаметр, но цифр его мы всех никогда не вычислим.
И когда я говорю алгоритм - я не только о теории алгоритмов говорю.
Например доказательство теоремы Пифагора - это алгоритм того как убедить человека (в том числе и себя) в том, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (предварительно заставив его признать правоту аксиом геометрии и ещё пару построений).
Т.е. это именно рассмотрение всех математический выражений и рассуждений как алгоритмов действий (не обязательно реально исполнимых) необходимых для достижения той или иной цели (вычисления числа или установления истины).
В таком рассмотрении все числа - это тоже алгоритмы (измерений чего-либо). Что и поднимает вопрос о существовании "неведомых зверюшек"
Нет алгоритма вычисления, есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ числа. Нельзя определение числа называть алгоритмом
Множество всех выражений шире чем множество всех алгоритмов. Есть вполне четко определенные, но алгоритмически неразрешимые проблемы
И не надо выдумывать свое определение алгоритма. Возьмем классическое - алгоритм - это программа для машины Тьюринга
Хотелось бы посмотреть как программа для машины Тьюринга приготовит борщ :)
Связи с роботизацией понятие алгоритма слега вылезло за пределы счёт, цифр и бумаг.
Но вообще даже в математическом смысле через Тьюринга это уже суженное определение. Лучше пользоваться чем-то таким
Подводя некоторые итоги: я свою позицию высказал, вашу услышал, принял. Ничего против не имею, но это - не моя позиция :)
Ну так программу написать не проблема.
Проблема в том, что не существует машины U+ (способной вычислить не не останавливающуюся программу и возвращающей not-ended) и U++ (способной вычислить бесконечное количество U+)
я помню их раньше называли "невычислимые"?
Голосую за "безликих"
Сфера отсутствия форм или Арупьядхату (санскр. Ārūpyadhātu, или Arūpaloka, тиб. gzugs.med.pa'i khams), Сфера не-форм — в буддийской космологии совокупность миров где отсутствуют формы, я извиняюсь я не иатематик и даже не буддист, но числа непознаваемые навели меня на мысль, что они вот могут присутствовать в таком мире - мир отсутствия форм, в отличие от нашего мира форм где есть числа и все поддается счислению
Они познаваемы для более высоких сущностей. Я тут об этом писал:
https://habr.com/ru/articles/536804/
Аксиома выбора и принципиальные ограничения человеческого разума
а вы точно математик? правильно я понимаю, что математики могут выходить на какое-то ощущение, что кроме нашего мира может существовать другие, ну раз такие необычные числа существуют (которые для нашего мира бесполезны), или точно в формальном плане, это все платонизм, попытка увидеть, то чего нет, игра разума
прочитал вашу статью, ну еще этим вопросом я правильно уловил вектор вашей мысли, но это уже переход к философии, а как же бритва окама, зачем плодить лишние сущности, вселенные и сверхсущесвт, раз существуют какие-то математические парадоксы?
https://ru.wikipedia.org/wiki/Кантор,_Георг
Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше
Сам Кантор придерживался того же мнения, что и большинство современных нам математиков: любой непротиворечивый математический объект следует считать допустимым и существующим
Поспрашивал математиков вокруг себя - все (оба) единогласно признали сферу в континуально-мерном пространстве (непрерывных на отрезке функций) допустимым но не существующим объектом. Но у нас тут больше материалисты все, а не идеалисты.
Но вообще да, вопреки обывательскому мнению, философия математики касается. Особенно всяких фундаментальных вещей - как тот же континиум, множество и т.п.
Сейчас рулит постмодерн - любую формулу или понятие можно интерпретировать как тебе нужно, но ты не имеешь права навязывать свою интерпретацию - только поделится ей и выводами которые из этого следуют.
Акимчаньяаятана (IAST: Ākiṃcanyāyatana, Ākiñcaññāyatana, тиб. ci.yang.med) — «Сфера, где ничего нет» (буквально отсутствует что бы то ни было) один из миров в буддийской космологии - я конечно извиняюсь -я не математик и не буддист, но размышления о таких цифрах меня на вело на мысль, что такие цифры непознаваемые могут существовать в таком мире, в отличии от нашего, где все почти счисляемо и познаваемо, т..е. числа из мира без форм или неформализуемые
Именно поэтому ни Гедель, ни большинство других математиков не верят в V=L, потому что эта гипотеза делает мир слишком примитивным.
Это конечно самая мякотка. Повернулись направо (в область знания и доказательств) так сильно, что оказались слева (в области веры). Теоремы зато доказывать просто. "Мамой клянусь" или "Так угодно фон Нейману". :)
Ну когда математика доходит до предела - то да там начинается некоторая вольность в поиске новых сущностей.
Очень редко кто расписывает свои рассуждение буквально от аксиом. Это слишком много бумаги переводить на банальнейшие утверждения.
А с помощью выбора из противоречивых аксиом (AC и AD - не единственная пара) можно вообще конструировать математики как из кубиков.
Даже не доходя до парадокса Банаха-Тарского, насколько я помню, "пример" множества, неизмеримого по Лебегу строится через аксиому выбора. Всегда казалось что что то странное с этой конструкцией, это не "нормальное" описание множества, и почему нельзя дать "нормальное"? Получается, именно что нельзя, странность здесь и заключается в том что неизмеримые множества являются indiscernibles?
Верно, неизмеримые множества 'безлики' (indiscernibles)
Из Аксиомы выбора следует закон исключенного третьего, поэтому она так часто создает странные объекты.
Тема наводит на мысли: "а не является ли большая часть математики ерундой, раз реально доступных величин счётное количество". Однако же нет: представим себе, скажем, физическую задачу в которой ответ - вещественное число, и мы можем вычислить его на компьютере с какой угодно точностью. Приближённые решения, конечно, являются рациональными числами из счётного множества, но сама последовательность определяет вещественное число - и по самому факту того, что мы его получили оно не является indiscernible, и оно связано с текстовым описанием исходной задачи (в этом смысле таких текстовых описаний счётное количество). То есть indiscernibles это не числа, которые нам не доступны - это "числа, которые нам никогда не понадобятся". И наперед очертить их множество невозможно, потому что нельзя сказать, какие именно числа будут ответами задач в будущем.
Однако же есть нечто странное в том, что в каждом учебнике по вещественному анализу есть фундаментальный пример неизмеримого множества - и по самой своей конструкции он всегда будет "множеством, которое нам никогда не понадобится"
Если посмотреть со стороны, то я бы сделал вывод, что математики рассуждают о существовании "большого пинка" - и не могут свести концы с концами.
С одной стороны, в самой математике ничего не движется. С другой стороны чтобы что-то существовало надо проявить усилия к появлению, нужен большой пинок. А, возвращаясь обратно к первому варианту, обидно когда тебя пинают. И математиков от этого разрывает изнутри. Как это - пинать самого себя? Раньше математика была защитой от пинков, это что началось-то?
И это как будто парадокс. Но давно известный. Принцип "Я знаю что ничего не знаю" - это именно к этой истории. Математики лучше всех понимают свою собственную не-математичность. И лучше всего это скрывают, в том числе от себя.
Статья о том как стыдно быть математиком, только хорошо что не-математикам можно об этом не признаваться. А просто "мы там кое-чего ещё не понимаем". Посмешище! А ничего что это "кое-что" это сама суть?
Какая-нибудь нулевая аксиома, которая не формализуется, но без понимания которой вся остальная математика - чистейшая безответственная тупость. По типу "Сначала разберись кто и зачем решает, это важно, ведь ограничение в вариантах результата не может быть объективным всегда-всегда".
Аха-ха. Если пинок завершён, он существует или исчезает? Или существует как потребность в новом пинке? Как оказаться на активной стороне пинка, а не на пассивной? Кому всё это надо? При чём здесь политика? Математики не приспособлены решать философские задачи.
Ой. Что вам сделали математики? У Нобеля вроде математик увел невесту, или это легенда, а вы почему не любите математиков?
Психологическая суть математики - смещать с человека ответственность. И это имеет как позитивные так и негативные стороны, как у религии. А когда математика в процессе познания вынуждает немного взять ответственность на себя, и математик ей говорит "ой, а ты нам не для этого" - здесь уместна особенная ирония.
Пришёл просто сказать автору спасибо за статью. Одна из самых моих любимых тем в математике :)
Если такое множество есть, то оно является indiscernible, потому что если бы это было бы не так, то мы могли бы доказать его существование, просто приведя пример его построения.
Не факт. То, что мы могли бы в этом случае доказать его наличие примером ничего не говорит о вероятности возникновения этого случая ?
простите, что? вероятности? с какой вероятностью X>10?
хотя вот пример посложнее: https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бертрана_(вероятность)
Вики всё же настаивает, что indiscernibles очень даже переводимо на русский, причём термин существует ещё со времён Лейбница.
indiscernibles = неразличимые
Начинаешь читать и к сожаленью косяк сразу во второй формуле. Мощность континуума обозначается просто готической c, а не алефом от нее. Ну и разумеется это разные внщи: алеф от континуума больше алефа от омеги, который не может быть равен континууму даже в ZF.
Удивлен как в этой дискуссии не появилось https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_Райо Там есть очень интересный момент (в уточнении): вроде как присутствует некое число из счетного множества (гугол), но по-факту - если разобраться - это число, про которое нельзя сказать "я придумал число еще больше: это число Райо + 1"
Вообще меня смущает вот что. Счетное множество бесконечных строк, причем конечная подстрока может означать бесконечное множество чисел (запись не числами а формулой). По сути мощность должна если не быть равна то довольно сильно приближаться к мощности вещественных чисел, там та же тема с бесконечностью в дырах между натуральными числами.
Вопрос автору статьи. Философско-математический. Платон в диалоге "Парменид" разбирал разные типы бесконечностей (гипотезы 2-8). Это как-то учитывается в соверменной теории множеств (бесконечностей)?.
Я почитал тут:
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B4_(%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BD)
Чего то слишком вода у Платона, во всяком случае в изложении вики
Спасибо за ссылку. Хотя это не самое лучшее изложение платоновского "Парменида" (или даже м.б. ошибочное; я, скорее, философ (и логик), чем математик). Моя идея (предпосылка первого вопроса) в том, что гипотезы 2(3) -7 соответствуют разным типам бесконечности (не предвосхитил ли Платон Кантора и дпугих исследователей бесконечности?). 1 гипотеза - это единое (единица), 2 гипотеза - двоица (как начало множественности), а вот далее "степень" бесконечности нарастает (скорее всего, 3 гипотеза сооответствует натуральному ряду чисел).
Вторая мысль. 8 гипотеза - это как бы "дурная бесконечность" (т.е. о ней даже рассуждать нельзя). Между гипотезами есть водораздел, а именно гипотезы 1-4 "рациональны" (мыслимы), а гиптезы 5 - 8 - совсем плохи /не-мыслимы (т.е. Платон их приводит для полноты картины, но в область гипотез 5-8 луше совсем не идти (тезис неоплатоников, Прокла)). Тогда гипотезы 3 и 4 соответствуют счетной бесконечности и континууму, но м.б. все же гипотезы 5-7 тоже как-то представлены в современной математике (большие кардиналы и т.д.).
Гипотеза континуума, современное состояние