Comments 23
Сжатие файлов (без потерь) – ZIP, RAR, GZ и так далее. [...] Получается парадокс – мы каким-то образом смогли взаимно отобразить бОльшее множество на меньшее!
Нет там парадокса: не каждый сжатый файл меньше оригинала.
Парадокса и в правду нет, просто множество оригинального файла равно множеству алгоритма архивирования помноженному на множество сжатого файла..
В классических число дробилках вообще парадоксов быть не может априори, пока несколько этих дробилок в кучу не собрать, а тут уже реальный мир физики рождает парадоксы типа состояния гонки..
Да, верно. Помнится лет 20+ назад увлекался сжатием данных. На одном форуме, где тусовались такие же задр как я, мы соревновались, кто сделает наиболее несжимаемый файл. На самом деле, сделать файл, который окажется не по зубам архиватору довольно просто - там не должно быть никаких повторяющихся последовательностей, т.е. данные должны быть случайными. Но можно специально заточить данные под конкретный алгоритм, и тогда результат сжатия будет максимально отрицательным, т.е. на выходе размер данных увеличится. (На самом деле, архиваторы, встретив такой файл, просто сохраняют его в архиве без сжатия, но мы там мерялись своими самописанными архиваторами, поэтому всегда видели насколько изменилась длина в результате сжатия).
Аналогичный челендж был и на каком-то англоязычном форуме. Там чувак тоже сделал несжимаемый файл и обещал $100 тому, кто сможет его сжать. Долгое время это никому не удавалось, но, тем не менее, победитель нашелся!
Алгоритм был до ужаса прост: исходный файл разбивался на куски в тех местах где встречалась буква 'А' (к примеру). На выходе получался многотомный архив суммарного размера меньше чем исходный файл. Сами буквы 'А' в "архив" не записывались, поэтому размер был меньше исходного на количество букв 'А' содержащихся в исходном файле. Для разархивирования достаточно было склеить тома архива проставив между ними букву 'А'.
Автору челенджа пришлось выплатить $100, т.к. формально условия были выполнены.
>>формально условия были выполнены.
Нужно правильно условия прописывать. Размер на самом деле увеличился. У нас появились имена файлов, без которых склеить обратно куски не получится. Их тоже нужно добавлять к итоговой длинне архива. А то так вообще можно весь файл загнать в поле имён файловой системы и получить архив длинной 0 байт.
Было бы очень интересно почитать вашу теорию, но несколько обидно, что в статье вместо неё обзор курса теории множеств, а то, что теории в статье нет, ты узнаёшь в самом её конце.
Надо, конечно, смотреть, что там дальше, но, если говорить из общих соображений, то почему хабр, а не хотя бы arxiv, не говоря уже о peer review?
Получается парадокс – мы каким-то образом смогли взаимно отобразить бОльшее множество на меньшее! Рассадить 30 пассажиров по 20 местам, при этом каждому досталось свободное место…
Такая статья, с кучей формул и такой провал в конце.
Файлы могут сжиматься исключительно из-за нашей нотации. Все файлы хранятся в виде байт, и это хранение
1. избыточно само по себе, что позволяет сжимать на битовом уровне
2. содержат упорядоченность, которую можно алгоритмизировать (сжать)
Как только у нас появляются хаотичные данные, сжимать дальше невозможно.
Помимо функции Дирихле можно сконструировать самые контринтуитивные варианты.
Мне например нравится лестница дьявола: функция непрерывна, дифференциируема почти везде (недифф. на множестве меры нуль), там где дифф. производная равна нулю. И при этом функция принимает разные значения в точках 0 и 1.
Сначала шло вполне приемлемое изложение теории множеств, но потом внезапно
Предположим, что гравитация нарушает полноту пространственно-временного континуума.
и на это месте я сломался. Какая ещё "полнота"? Перед этим вы под полнотой понимали свойства множеств, а тут что, из пространства выпадают точки? Переход от математики к физике получился резковат.
Теорий тяготения в самом деле предложено немало. Их количество настолько велико, что пришлось вводить критерии оценки теорий тяготения. Неплохая монография на тему. К. Уилл ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ в гравитационной физике. Интересно почему новые теории предлагают и почему их публикуют? На последнее можно сказать, что нет предела совершенству. Краткая история физики знает примеры, когда то, что казалось абстракцией стало фундаментом (теория гильбертовых пространств и неограниченных линей самосопряженных операторов ...). Первое трудно обсуждать, не касаясь мира академической науки (и не надо). Хабр дает такую возможность. Кто знает, может мы сможем архивировать пространство. Сунул галактику в карман полетел по большому делу
если не останется свободных предметов, то множества равны
По приведённому выше правилу предпринята попытка работать с бесконечностями. То есть введена аксиома - раз нет конца, значит можно считать, что "свободных предметов" не останется. Почему аксиома? Потому что принята без доказательства. Или я что-то пропустил? Где доказательство?
Но если принята какая-то аксиома, то обязательно следует ответить на вопрос о противоречивости набора принятых аксиом. В данном случае принятая аксиома расширяет ранее принятый и неявно существующий набор аксиом. Вносит ли она противоречие в получившуюся систему аксиом? Ответа опять нет.
Из сказанного выше следует простое следствие - с точки зрения математики мы получили вероятно противоречивый набор аксиом, что ведёт к противоречивости выводов данной теории. И действительно, если мы взглянем на одну из теорем в тексте выше, которая утверждает, что мощность множества всех подмножеств данного множества не равна мощности самого множества, а потом вспомним, что ещё выше по тексту полное множество натуральных чисел сравнивается с его подмножеством, то становится очевидно, что мы опять получаем переход к новому набору аксиом. В данном случае неявно введена аксиома о безусловном выполнении всех логических законов при совместных операциях над множеством и его подмножествами. Но чем тогда отличается ситуация со всеми подмножествами? Повторим предложенный трюк со всеми подмножествами и получим прекрасный вывод - мощность всех подмножеств множества натуральных чисел равна мощности самого множества натуральных чисел. Но где-то выше мы вроде уже решили, что это неправда, не так ли?
Итак, работая с бесконечностями и не учитывая при этом некоторые логические ограничения, мы получаем абсурд, который математики вежливо называют "парадокс". Пример нехорошего следствия такой кривизны теории мы видим в том же тексте выше - автор смело заявил, что на примере операции сжатия данных можно наблюдать полное отображение (что бы не осталось свободных) меньшего множества на большее. То есть изначально ущербные рассуждения для бесконечностей подталкивают неокрепшие умы к полной свободе в рассуждениях над операциями с конечными множествами, ведь на практике всегда наблюдаются именно конечные размеры сжимаемых данных, значит неявно, всё, что относится к сжатию, может быть смешано в кучу - и бесконечные множества и конечные.
Было бы интересно понять, как далеко зашла математика в плане практического применения сомнительных результатов, полученных на бесконечных множествах. Если дело всё же дошло до практики - скорее всего там присутствуют ошибки.
Попробую ответить, хотя тема, конечно, сложная. Возможность так оперировать с бесконечностями, насколько я понимаю, сконцентрирована в аксиоме выбора (Цермело). Буквально она говорит, что если есть бесконечный набор каких-то множеств, то можно составить множество, состоящее из одного какого-то элемента каждого из них. Я это понимаю как законченный результат бесконечного количества действий. Все остальное пляшет отсюда.
Аксиома выбора никак не ограничивает нас в выборе семейства множеств (которыми она оперирует). То есть конечные семейства конечных множеств - это вполне себе про аксиому выбора.
В ZF есть отдельная аксиома, определяющая, что такое бесконечность. Но замечу, что в ней никак не указывается на какие-либо возможности оперировать этой бесконечностью. Постулируется просто существование такого объекта, и всё.
Ну и если формально интерпретировать аксиому выбора в отношении бесконечного семейства множеств, то получим, что взяв по одному элементу из каждого множества в семействе, мы получим, условно, некое отражение всего семейства, описываемое выбранными нами элементами. Но опять же - здесь нет ни слова ни про мощности, ни про какое-либо оперирование бесконечными множествами, кроме выбора из них одного элемента (что, очевидно, полностью согласуется с интуицией о выборе произвольного числа из множества натуральных чисел).
вот именно. например, конечно ли множество логически непротиворечивых теорий тяготения?
Теория Бранса Дикке, например, вводит вселеское скалярное поле. Уравнения А. Эйнштейна утверждают, что тензор Эйнштейна (Альберта)
пропорционален тензору энергии импульса.
Дикке считпл, что во вселенной есть дополнительное, еще не открытое скалярное поле.
Он добавил в уравнения поля ОТО члены со скалярным полем и плюс уравнения связи между гипотетическим всемирным скалярным полем и, уже всем надоевшим, тензором энергии импульса.
А теперь добавим еще одно поле, и еще уравнения связи...
Я всё ещё жду не предисловия, а самой теории.
YAR — Yet another relativity