alrybn Jan 19 at 10:20

Предчувствие Ричарда Фейнмана

Medium

6 min

21K

Эта статья была вдохновлена циклом лекций «КЭД — странная теория света и вещества», который был прочитан Ричардом Фейнманом за несколько лет до его смерти (фактически он уже был в то время смертельно болен). Более конкретно — следующими цитатами:

Часто в «популярных» изложениях науки кажущаяся простота достигается за счет описания чего-то совсем другого, за счет существенного искажения того, что берутся описывать. Уважение к нашему предмету не позволило нам (редактором был Ральф Лейтон) этого сделать. Мы провели в обсуждениях много часов, стараясь добиться максимальной ясности и простоты, и бескомпромиссно отвергали искажения истины.

Люди всегда спрашивают о последних достижениях, например, насколько эта теория совместима с другой теорией, и в результате они не дают нам возможности рассказать о том, в чём мы хорошо разбираемся. Они хотят знать то, чего мы сами не знаем.

Так о чём же собирался популярно рассказать Ричард Фейнман? Дело в том, что ему повезло и фонд предоставил ему возможность высказаться, не прибегая к привычным фигурам умолчания, успешно маскирующих смысл происходящего тем сложившимся «птичьим» языком, к которому обычно прибегают в общении между собой физики‑теоретики. Он впервые получил карт‑бланш выступить «в целях ежегодного проведения цикла лекций, которые приобщали бы думающих и заинтересованных людей к идеям и достижениям науки». В результате ему удалось высказать своё предчувствие о «Величайшей проклятой тайне Физики». Его лекции оказались столь эмоционально окрашенными, что его биографы разобрали их на цитаты.

Итак, речь идёт о том, чему Ричард Фейнман посвятил свои последние исследования — постоянной тонкой структуры (она же ПТС, она же альфа). В то время уже прошло более пятидесяти лет с того, как ПТС была введена в 1916 году Зоммерфельдом:

$\boxed{\alpha=\frac{e^2}{\ 4 \pi \varepsilon_0 \hbar c}=\frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h c,}}$

где $\ e$ — элементарный электрический заряд,

$\hbar=h/2\pi$ — постоянная Дирака (или приведённая постоянная Планка)

$\ c$ — скорость света в вакууме,

$\varepsilon_0$ — электрическая постоянная (раньше — диэлектрическая проницаемость вакуума).

Новая константа объединила четыре фундаментальных константы физики и поставила крест на основном теоретическом методе того времени: вариационном исчислении. Поскольку его универсальность уже была утрачена даже при разработке физических теорий с одним ограничением на $\hbar$ или $\ c$ . Прошедшие с тех пор годы показали, что даже усилия Эйнштейна по рекламе единой теории поля оказались безрезультатными. Видимо поэтому у Фейнмана и возникло предчувствие, что «Величайшую проклятую тайну Физики» уже «заметают под ковер». В результате актуальные проблемы сначала становятся привычными, а затем многие из них незаметно трансформируются в вечные.

Просто поразительно, насколько он был прав, если даже сегодня никто не хочет узнать, чем же всё кончилось.

С тех пор, как его открыли свыше пятидесяти лет назад, это число остаётся тайной. Все хорошие физики‑теоретики выписывают это число на стене и мучаются из‑за него. … хотелось бы узнать, как появляется это число: выражается ли оно через $\pi$ , или, может быть, через основание натуральных логарифмов $\ e$ ? Никто не знает. Это одна из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое дано нам и которого человек совсем не понимает. Можно было бы сказать, что это число написала «рука Бога», и «мы не знаем, что двигало Его карандашом». Мы знаем, что надо делать, чтобы экспериментально измерить это число с очень большой точностью, но мы не знаем, что делать, чтобы получить это число на компьютере — не вводя его туда тайно!

С числом $\pi$ Фейнман ошибся. Оно действительно присутствует в процессе вывода, но сокращается в финале. А вот основание натуральных логарифмов $\ e$ является жемчужиной ПТС. Более того, оно позволяет идентифицировать автора, который заложил математическую основу ПТС.

С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые связал анализ, алгебру, геометрию, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, добавив при этом немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру» почти без изменений.

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, фундаментальная «формула Эйлера» в теории комплексных чисел, операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, обозначение $\ i$ для мнимой единицы, ряд специальных функций и число Эйлера $\ e$ .

В частности, Эйлер продолжил исследования связи константы $\pi$ как символа неявной $\infty$ и константы $\ e$ как символа явной $\infty$ , где число Эйлера — одна из важнейших математических констант, которую он определил следующим образом:

$\boxed{\ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}.}$

На основе введённого им числа и возникло так называемое нормальное распределение $\ e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^2}.$

В 1729 году в Санкт-Петербурге Леонард Эйлер рассчитал «неберущийся» интеграл

$\boxed{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^{2}}dx=1.}$

В нём константы $\pi$ и $\ e$ присутствуют явно. А вот ПТС ещё явно не видно. Для выявления ПТС необходима квантификация нормального распределения:

$\boxed{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma})^{2}}dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}dx=1.}$

Отсюда и возникает реализация мечты Эйлера — квантификация монотонных экспоненциальных функций превращает их в колебательные тригонометрические, а именно в пространственную решётчатую функцию (ПРФ):

$\boxed{\mathbb{R}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}.}$

Вот как выглядит функция $\mathbb{R}(x)$

Вычтем из функции $\mathbb{R}(x)$ постоянную $\frac{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}{2},$

где $\mathbb{R}{max}=\mathbb{R}(0)$ и $\mathbb{R}_{min}= \mathbb{R}\left(1/2\right)$ .

Первый остаток показан на следующем рисунке.

(Все рисунки остатков см. здесь)

Из рисунка хорошо видно, что первый остаток можно аппроксимировать косинусом с коэффициентом:

$\boxed{\mathbb{\alpha}\left(\sigma\right)=\frac{1}{2}\frac{\mathbb{R}_{max}-\mathbb{R}_{min}}{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}.}$

А вот теперь начинается самое интересное. Дело в том, что ПРФ является фракталом!

Фракталом может называться предмет, обладающий по крайней мере одним из указанных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
Является самоподобным или приближённо самоподобным.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы. А теперь какое-то отношение к фракталам получают и фундаментальные взаимодействия! Есть над чем подумать.

Вторая разность. Начиная со второй разности разложение состоит из двух самоподобных функций. Первая из них изображена слева, а вторая на следующем рисунке.

Последующие рисунки показывают лишь увеличение частоты при уменьшении масштаба. Поэтому расчёты рисунков должны выполняться программами длинной арифметики.

Я использовал для получения пятой разности числа длиной 100 знаков.

Таким образом, становится понятно, что на пути к ПТС существовали многочисленные проблемы. Более того, с самого начала возникла значительная группа исследователей, надеявшихся найти ПТС на фу‑фу. Особенно в этом отличился известный астроном Эддингтон. В то время измерения ПТС давали результат, очень близкий к 1/136, и Эддингтон утверждал, что значение на самом деле должно быть точно 1/136, исходя из эпистемологических причин. Более поздние измерения дали значение гораздо ближе к 1/137, после чего он сменил логику своих рассуждений, утверждая, что единица должна быть добавлена к степеням свободы, так что значение должно быть точно 1/137, «число Эддингтона». Шутники в то время начали называть его «Артур Добавь‑один» (Артур Эддингван). Такое изменение мнения снизило авторитет Эддингтона в физическом сообществе.

Нумерологический подход явно демонстрирует, что его приверженцы явно не понимают саму идею теории всего: ПТС должна быть применима ко всем фундаментальным взаимодействиям сразу. Более того, если производящая функция выдаёт ПТС в какой-то степени, то это означает, что такое фундаментальное взаимодействие существует.

Таким образом, априорная теория всего утверждает, что интенсивность фундаментальным взаимодействий пропорциональна

$\alpha^N.$

На сегодняшний день эта формула экспериментально подтверждается на интервале в 39 порядков.

На первый взгляд, этот результат является лишь уточнением существующих законов. Однако всё изменяется в сочетании с формулой Дирака,

$\boxed{\frac{q_{S}}{q_{e}}=\frac{q_{N}}{q_{p}}=\frac{1}{2\alpha},}$

где $q_{S}$ и $q_{N}$ — заряды магнитного монополя Дирака, $q_{e}$ — заряд электрона и $q_{p}$ — заряд позитрона. Из этой формулы следует, что интенсивность взаимодействия магнитных монополей наибольшая. Таким образом, магнитные монополи должны объединиться в кристалл и замкнуться сами на себя. А затем из теории твёрдого тела следует, что в таком кристалле появятся дефекты, которые и являются элементарными частицами и взаимодействуют между собой менее интенсивными взаимодействиями. В результате получается, что Дирак гениально ввёл новую элементарную частицу только для того, чтобы она была недостижимой.

Самое интересное заключается в том, что разложения в ряд по степеням ПТС пространственной и временной функций дают уравнения размножения нейтронов в естественных термоядерных реакторах — звёздах.

Буду рад услышать вопросы, а не голословные утверждения.

Вслед за Фейнманом хочу сказать, что продолжение для думающих и заинтересованных людей к новым идеям и достижениям науки следует.

Tags:

постоянная тонкой структуры

Hubs:

Mathematics