Comments 3
Задача F.
Интересное наблюдение: ответ не зависит от
Интересно так же, что если ответ не делить на Пи, то будет объем шара с радиусом r.
Такие задачи интереснее решать без интегралов, "простыми школьными рассуждениями". Выясним, насколько объем дашиной (синей) части больше, чем половина - это то же самое значение, как половина минус розовая часть.
Сначала докажем, что ответ не зависит от R. Сечение тора любой плоскостью, перпендикулярной его оси и удаленной от центра не более чем на r, дает область между окружностями радиусом (R-m) и (R+m). Легко посчитать через разность площадей кругов:
Площадь сей области S = 4*Пи*R*m
Площадь синей части Sb = Пи*m*m + 2*Пи*R*m
Разница D = Sb - S/2 = Пи*m*m
Итого, в каждом таком сечении разница не зависит от R. Значит, она и для всего объема не зависит от R.
Тогда если R уменьшить до нуля, то объем тора будет 0, а синяя часть будет шаром с объемом 4Пи*r^3 / 3. Это и есть ответ.
Спасибо, очень интересное решение! Но слишком гениальное для меня))
Тогда если R уменьшить до нуля, то объем тора будет 0
Вот тут бы еще доказать, что мы можем рассматривать такой случай вместе со случаями с ненулевым R. Ведь это уже по сути не есть тор.
А если рассматривать шар как частный случай тора (в некоторых источниках такое есть), то тут уже нелогично, ведь половина шара явно не равна 0… пойди разберись с этим тором..
Да, с нулевым R всё непросто)
Тут формально можно так разуметь. При R >= r, то у нас в плоскости ХУ есть круг радиуса r, с центром в т. (0, R), над осью Х, а тор получен вращением этого круга вокруг оси Х. И весь этот круг имеет положительную площадь, а весь тор - соответственно, положительный объем.
Если взять 0 < R < r, тогда часть круга оказывается ниже оси Х. Её площадь - "отрицательна", и своим вращением она вычерчивает в пространстве "отрицательный" объем, т.к. крутится в ту же сторону. Объем тора - сумма "отрицательной" и положительной компонент. Даша получает всё что выше R - там только положительное, а Саша - всё что ниже R, там положительное и "отрицательное".
Если R = 0, то по этой схеме выходит, что у Даши один шар, а у Саши - "минус один" шар.
Разбор тестового варианта 2024 года на магистерскую программу «Программное обеспечение высоконагруженных систем» в ИТМО