Мало того что наше восприятие искажено строго трёхмерным пространством (точнее не искажено, а работает только в нём), так ещё и это воспринимаемое нами трёхмерное пространство неоднородно — одно из измерений строго направлено (верх и низ) и задано гравитацией. Если вперёд и назад, влево и вправо зависит от нашего положения и, когда мы разворачиваемся, легко переходит одно в другое без каких‑либо когнитивных усилий и проблем в восприятии — то с верхом и низом так не происходит. Подвесь нас вниз головой, направь куда угодно в любом положении — верх останется верхом, а низ — низом. Мы будем двигаться именно вверх, стоя в поднимающемся лифте, и будем спускаться именно вниз, ныряя с аквалангом, хотя в обоих случаях мы движемся головой вперёд )
Понятно от чего так и зачем — мозг эволюционировал и родился в гравитации, но речь не об этом.
Говорят, есть ещё четвертое недо‑ или пере‑ измерение — время. Его мы воспринимаем ещё более направленным и постоянно в нём движемся.
В попытках порассуждать о восприятии только в трёхмерном пространстве, можно предположить о том, что в одномерном пространстве мы тоже мыслим, и привести в качестве примера как раз время. Но пространство предполагает возможности покоя и движения вдоль измерений в любом направлении (даже если измерение направлено в восприятии, например, гравитацией). С движением обратно во времени у нас всё сложно, с остановкой времени — ещё гораздо сложнее. Но пока закроем на это г̶л̶а̶з̶а̶ мозг и предположим, что ок — у нас есть в восприятии примеры трехмерного и одномерного (время) пространств. Но как быть с двумерным? Можете себе представить 2 разных ортогональных друг другу направления времени? Я — нет 🙂
А раз сразу шагнуть не выходит — как истинные математики‑индукционщики попробуем всё‑таки дойти от одномерного пространства к двумерному постепенно — ведь между одномерным и двумерным есть ещё бесконечное количество пространств с нецелым количеством измерений (полуторомерное, например) 🙂
Тут надо чуть отвлечься на то, что из себя представляют такие пространства. По ссылкам всё равно никто и никогда не переходит, поэтому своими (не совсем) словами и чуть упрощая напишу прямо тут. Если лень, можно перескочить в чтении до метки 1.
Для начала выведем формулу размерности пространства. Длина, площадь, объём «типичной» фигуры для каждого пространства — это возведение в степень мерности пространства. Длина отрезка равна длине его единственной «стороны» в первой степени. Площадь квадрата равна длине его стороны во второй степени (собственно, в квадрате), объём куба — в третьей (в кубе). Из этого следует, что если мы уменьшим сторону фигуры в два раза, то у отрезка длина уменьшиться в 2¹ — в два раза (исходный отрезок можно составить из 2 уменьшенных), у квадрата в 2² — в 4 раза (исходный квадрат составляем из 4 маленьких, со стороной в 2 раза меньше), у куба — в 2³, т. е. в 8 (8 маленьких кубиков составляем в исходный).
т. е. если фигуру уменьшить в N раз (отмасштабировать), то она будет укладываться в исходной N в степени D раз (D — размерность пространства).
Вроде пока всё просто )
Верно и обратное: если при уменьшении размера фигуры в N раз, оказалось, что она укладывается в исходной n раз (то есть мера её уменьшилась в n раз), то размерность можно вычислить по формуле:
D = ln(n)/ln(N)
Идём дальше ) Напомню, мы хотим понять, как постепенно прийти от одномерного пространства к двумерному (от линии к плоскости), и потом попробовать переложить это на время.
Что у нас есть между линией и плоскостью? Фракталы! Возьмем, один из самых простых из них — звезду Коха.
Процедура её построения показана на рисунке (снизу вверх):
В начале берётся отрезок, делится на три равные части и средняя часть заменяется на два отрезка, равных изъятому. Получается ломаная из четырёх равных отрезков.
На втором шаге действия повторятся с каждым из четырёх отрезков и получается ломаная из 16 отрезков.
Эти построения повторяются бесконечное число раз и в конце концов у нас получается ломаная, состоящая из бесконечного числа отрезков. Сколько бы мы её не масштабировали, мы всё равно будем получать одно и тоже.
Это и есть звезда Коха.
Давайте теперь воспользуемся нашим приёмом, чтобы определить её размерность.
Звезду можно разбить на четыре равные части — выделено разными (даже для меня (дальтоника)) цветами:
При этом помним, что данная звезда получена из предыдущей путём деления каждого из её отрезков на 3 равные части. Т.е. её размер (скажем, длина исходного отрезка) будет равен трети размера исходной фигуры. То есть будучи уменьшена в три раза, она уложится в себе четыре раза. Отсюда по приведённой выше формуле вычислим размерность звезды Коха:
D = ln(4)/ln(3) ≈ 1.26185950714291487419
То есть это уже не просто отрезок или ломаная (длина звезды Коха бесконечна), но и не плоская фигура, полностью покрывающая некоторую площадь.
Если мы слегка модифицируем алгоритм построения и будем извлекать не 1/3 отрезка, а 1/9, то ломаная получится более плотной:
Какова же её размерность? Теперь фигура уложится сама в себе четыре раза после уменьшения в 9/4 раза, то есть размерность можно вычислить по той же формуле:
D = ln(4)/ln(9/4) ≈ 1.70951129135145477696
Как видите, «плотность» покрытия сразу отразилась на размерности.
Метка 1. Можно продолжить читать тут :)
Итак. Для постепенного перехода к двумерной временной плоскости, нам нужно из привычного одномерного времени начать «сгибать» фракталы 🙂
Как это сделать — отдельный вопрос. Давайте для начала проверим исходные условия на принципиальную возможность фрактальности времени.
Фрактал можно бесконечно «масштабировать», т. е. он сам бесконечен и непрерывен, что в свою очередь означает, что у него нет никакого неделимого кванта измерения или этот квант бесконечно мал (или т. е. всегда делим). В случае обычного одномерного пространства прямой и обычного фрактала — геометрическая точка бесконечно мала, т. е. нет никакого «микро‑милли‑нано‑микрона» длины, который мы бы не могли поделить ещё (пополам, например).
Попробуем это же требование выставить ко времени. На первый взгляд всё хорошо — любую одну микро‑милли‑наносекунду можем поделить и будет 0,5 микро‑милли‑наносекунд. Помня о том, что мы говорим о времени в его нашем восприятии, не будет ли это означать, что такое бесконечно плавное течение времени приведёт к ненаступлению никаких событий? 🙂 Вот до полудня осталась 1 секунда, полсекунды, микросекунда, наносекунда, половина наносекунды, одна миллионная наносекунды,... и так до бесконечности 🙂 Или, т.к. мы любые процессы (изменение любых параметров) воспринимаем в привязке ко времени, это можно переложить на любые изменения в принципе. Например — изменение тех же привычных измерений нашего трёхмерного простнаства: вот спортсмену остается до финиша 1 см, 1 мм, полмиллиметра, … ну вы поняли ) Парадокс в том, что при представлении времени бесконечно плавно текущим — никакие события никогда не наступают.
Тут проблема в том, что, рассуждая, мы отнеслись к изменению времени как к движению вдоль оси времени, а любое движение мы воспринимаем во времени. т. е. мы отнеслись к течению времени, как к процессу, происходящему во времени 🙂
Но мы чуть отвлеклись, давайте упростим и скажем, что время всё-таки дискретно, и есть некий неделимый его квант. Ну, или если уж не быть совсем антинаучным (😅), предположим, что наверное ко времени можно применить что-то подобное принципу неопределённости — чем точнее мы захотим измерить время (координату на нашей одномерной прямой времени), тем менее точно мы будем знать другие параметры (импульс, массу и т.д.). Я бы это представил так: мы знаем супер точное время, но не знаем для кого, для какой единицы массы и/или пространства оно верно. И наоборот — для конкретной единицы массы/точки пространства мы можем сказать лишь примерное время.
Получается, что для нас (а может и в целом в мифической объективной физике) пространство и время очень тесно связаны между собой. Так почему же, рассуждая в одно‑, дву‑ и трех‑мерных пространствах мы не сталкиваемся с такими противоречиями и завязками на время? Мой ответ — т.к. мы в математических и геометрических изысканиях рассматриваем пространственную статику, которая «привычна» для нашего восприятия. т. е. для нас логична и нормальна остановка, пауза в изменении пространственных координат. А вот со статикой во времени, т. е. его полной остановкой или конкретным мгновением, возникает куча сложностей и проблем не только в восприятии.
Что дальше? Прежде чем двинуться к фракталам и двумерной временной плоскости — предлагаю интересующимся порассуждать над тем, как же представить и смоделировать остановку времени? Тем более, что сам процесс нашего восприятия не предполагает такой возможности 😉
Руслан Сафин
Запись 3. 24 августа 2024. Тбилиси.
