«Эйнштейн был неправ, заявляя, что „Бог не играет в кости“. Изучение черной дыры показывает, что Бог не только играет в кости, но и иногда обманывает нас, бросая их туда, где мы их не можем видеть» (Стивен Хокинг)
«Мы показали, что естественно ввести понятие энтропии черной дыры как меры информации о внутренностях черной дыры, недоступной для внешнего наблюдателя. Соображения простоты и последовательности, а также аргументы размерности свидетельствуют, что энтропия черной дыры равна отношению площади черной дыры к квадрату планковской длины, умноженному на безразмерную константу порядка единицы» (Яков Бекенштейн)
«Трёхмерный мир обычного опыта — вселенная, наполненная галактиками, звёздами, планетами, домами, камнями и людьми — это голограмма, образ реальности, закодированной на удалённой двумерной поверхности» (Леонард Сасскинд)
Парадокс уничтожения информации чёрными дырами — ключ к теории квантовой гравитации или надуманная проблема, заведомо не имеющая решения? Как чёрные дыры испаряются и достигают теплового равновесия со средой, ничего не выпуская из‑под горизонта событий? Существует ли предел информационной ёмкости пространства? Может ли наша Вселенная оказаться трёхмерной голографической проекцией некой двумерной поверхности? Если вы не занимаетесь теоретической физикой или философией, поиски ответов на эти вопросы покажутся вам бесполезной тратой вычислительных ресурсов мозга. Но если вы любите парадоксы и хотите понять, как устроен мир на самом фундаментальном уровне — добро пожаловать за горизонт событий, где вступают в противоречие две основополагающие теории современной физики — квантовая теория поля и общая теория относительности.
Хотя в интернете и можно найти научно‑популярные статьи на эту тему, они как правило не охватывают всю историю вопроса и внятно не объясняют, о какой вообще информации идёт речь и почему она должна сохраняться. Конечно, наивно требовать от популяризаторов понимания проблемы, которую самые выдающиеся учёные нашей планеты не могли решить целых 50 лет. Поэтому лучшим введением в тему остаётся книга Леонарда Сасскинда «Битва при чёрной дыре», написанная бывшим сантехником, который выиграл сражение со Стивеном Хокингом за мир, безопасный для квантовой механики. Можно почитать и самого Хокинга, излагающего свою позицию в «Краткой истории времени» и других книгах. В данной статье я просто перескажу суть парадокса своими словами, а в следующей пойду намного дальше и поведаю о значительном прогрессе, достигнутом в решении проблемы сохранения информации за последние 10 лет.
Законы термодинамики чёрных дыр
До начала 70-х гг. прошлого века мало кто из учёных считал чёрные дыры или «тёмные звезды» реальными астрономическими объектами. Дело в том, что существование такой звезды противоречило второму началу термодинамики. Поглощая материю и свет вокруг себя, чёрная дыра никогда не придёт в тепловое равновесие со средой. Поскольку ни вещество, ни излучение не могут покинуть горизонт событий, её температура всегда будет равна абсолютному нулю, а теплоёмкость — бесконечности. В соответствии с третьим началом термодинамики, при нулевой температуре энтропия минимальна. Автор термина «чёрная дыра» Джон Уилер приводил в пример чашку чая, обладающую определённой температурой и энтропией. Когда чашка падает в чёрную дыру, её энтропия обнуляется. Значит, чёрные дыры могут понижать общую энтропию Вселенной, вопреки второму закону. Пока чёрные дыры оставались математическими абстракциями, эта проблема никого особо не волновала. Но когда появились первые косвенные свидетельства их существования, разрешение парадокса стало основной задачей астрофизиков.
В 1972 г. Яков Бекенштейн из Принстонского университета — аспирант Джона Уилера — опубликовал несколько статей о термодинамике чёрных дыр, положив начало долгим научным спорам. Он возвёл в ранг теоремы знаменитую фразу Уилера «у чёрных дыр нет волос», подразумевающую, что две чёрные дыры с одинаковой массой, зарядом и моментом вращения между собой неразличимы, как две лысины. Также Бекенштейн обратил внимание, что при поглощении вещества чёрная дыра становится больше и тяжелее, соблюдая первый закон термодинамики (закон сохранения энергии), а значит, она не должна нарушать и второго закона. Попадая в чёрную дыру, энтропия вещества не обнуляется: она переходит в увеличение площади горизонта. В итоге Бекенштейн вывел так называемый «закон площадей»: энтропия чёрной дыры пропорциональна площади её горизонта событий. Тем временем Уилер заметил, что с точки зрения внешнего наблюдателя любому объекту на пересечение горизонта требуется бесконечное время, а значит, информация о нём будет казаться закодированной на поверхности чёрной дыры.
В 1970 г. британский физик Роджер Пенроуз сформулировал принцип космической цензуры, за который ему дали Нобелевскую премию только в 2020 г. Гипотеза заключалась в том, что «природа не терпит голой сингулярности» — сингулярность должна быть скрыта от наблюдателей под горизонтом событий. Поэтому не бывает так, чтобы вся энергия чёрной дыры приходилась на её заряд и угловой момент. Часть энергии обязательно должна быть связана в массу, иначе чёрная дыра окажется «сплющенной» в диск и сингулярность окажется снаружи горизонта событий — а это по космическим меркам неприлично. Затем в 1971 г. Пенроуз показал, что из вращающейся чёрной дыры можно извлекать энергию для совершения полезной работы. Он предложил способ, как придать дополнительный импульс объекту, пролетающему вблизи горизонта событий, за счёт углового момента чёрной дыры. Теоретически с помощью таких манёвров может быть извлечено до 29% общей энергии чёрной дыры, но в конце концов она прекратит вращаться и станет бесполезной.
Учитывая наработки Пенроуза, можно обнаружить, что у чёрной дыры есть величина, которая никогда не уменьшается, что бы мы ни делали. Это площадь горизонта событий, возрастающая вместе с массой чёрной дыры и достигающая максимума в момент, когда вся полезная энергия извлечена. Есть и другие интересные закономерности. В 1970 г. аспирант Уилера в Принстонском университете Деметриус Христодулу и Стивен Хокинг из Кембриджского университета независимо друг от друга доказали, что при слиянии чёрных дыр общая площадь горизонта событий никогда не уменьшается: площадь горизонта новой чёрной дыры будет больше или равна суммарной площади двух исходных горизонтов, а одна большая чёрная дыра не может распасться на две меньшие. Отсюда прослеживается подозрительное сходство площади горизонта событий с энтропией — ещё одной величиной, которая никогда не уменьшается.
В 1973 г. Стивен Хокинг в статье «Четыре закона механики чёрных дыр», написанной в соавторстве с Джеймсом Бардином и Брендоном Картером, провёл аналогию между законами механики чёрных дыр и законами термодинамики. Оказалось, что эти законы практически совпадают. Для чёрной дыры энергия пропорциональна массе, энтропия — площади горизонта событий, а температура — поверхностной гравитации. Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии) соответствует формуле массы чёрной дыры, которая пропорциональна радиусу горизонта событий и угловому моменту. Второе начало термодинамики проявляется в том, что энтропия, как и площадь горизонта событий, либо увеличивается, либо остаётся постоянной. Третье начало термодинамики говорит о температуре, при которой энтропия достигает минимума — абсолютный ноль по Кельвину. У чёрной дыры роль температуры играет поверхностная гравитация — мера кривизны пространства‑времени вблизи горизонта событий. Она ослабевает по мере увеличения массы чёрной дыры и достигает нулевого значения тогда, когда вся энергия чёрной дыры связана с зарядом или угловым моментом (в реальности это невозможно, как и достижение абсолютного нуля). Наконец, нулевое начало термодинамики (если две системы находятся в тепловом равновесии с третьей, то они находятся в тепловом равновесии друг с другом) для чёрных дыр звучит так: «на горизонте событий стационарной чёрной дыры значение поверхностной гравитации повсюду одинаково».
Энтропия Бекенштейна‑Хокинга
Параллельно с Хокингом над термодинамикой чёрных дыр работал и Яков Бекенштейн. В 1973 г. в своей диссертации он рассмотрел проблему с точки зрения теории информации и доказал, что связь энтропии с площадью горизонта событий не случайна. Здесь нужно вспомнить определение энтропии из статистической механики, о котором мы говорили в статье «Правда и мифы об энтропии». Энтропия по Больцману — это мера количества микросостояний (конфигураций) системы, неразличимых с макроскопической точки зрения. Она пропорциональна количеству различных способов расположения частиц, которые не отразятся на макроскопических свойствах объекта. Теперь вспомним определение информационной энтропии по Шеннону, о которой я рассказывал в статье «Информация об информации»: энтропия — мера среднего количества информации, необходимой для описания события, при рассмотрении всех возможных исходов. Чем больше термодинамическая энтропия, тем больше информации вам понадобится для описания системы, поскольку это будет неупорядоченная и случайная система. Количество больцмановских микросостояний отображает количество информации, необходимой для реализации любого конкретного микросостояния. Фактически энтропии Больцмана и Шеннона различаются только единицами измерения: первая выражается в единицах энергии, делённых на температуру, вторая — в безразмерных битах.
Бекенштейн нашёл ещё одно интересное определение энтропии применительно к чёрным дырам: энтропия — это величина, пропорциональная площади горизонта событий, выраженной в единицах планковской площади. Позже Стивен Хокинг уточнил эти расчёты и выяснил, что энтропия чёрной дыры (SBH) равна площади горизонта событий (А), умноженной на постоянную Больцмана (k) и разделённой на площадь четырёх планковских ячеек (l2p):
Планковская площадь — это квадрат планковской длины (1,6*10-35 м), которая считается наименьшим расстоянием между двумя точками в пространстве. Из формулы Бекенштейна‑Хокинга можно легко сосчитать энтропию чёрной дыры, зная её массу. И мы получим колоссальные значения. Энтропия черной дыры диаметром 1 см составляет порядка 1066 бит, что эквивалентно энтропии заполненного водой аквариума объёмом 10 млрд. км3. Энтропия чёрной дыры солнечной массы составляет порядка 1077 — это больше, чем энтропия всех звёзд и газопылевых облаков в галактике Млечный путь. А энтропия сверхмассивной чёрной дыры Стрелец А* (4 млн. масс Солнца) превышает суммарную энтропию барионного вещества и излучения наблюдаемой вселенной, за вычетом чёрных дыр — 1090.
На первый взгляд выводы Бекенштейна и Хокинга противоречат здравому смыслу и статистической механике. Ведь энтропия обычного вещества пропорциональна его объёму, а энтропия чёрной дыры почему‑то пропорциональна площади горизонта. Кроме того, энтропия по Больцману — мера возможных перегруппировок частиц, которые останутся незамеченными с макроскопической точки зрения. А какие у чёрной дыры могут быть составные части?
Но если хорошо подумать, всё отлично сходится. Что бы мы ни бросали в чёрную дыру, из каких бы частиц её ни формировали, в итоге получится одно и то же макросостояние — чёрная дыра. Потому что есть огромное множество различных способов организации пространства‑времени на микроскопическом уровне, приводящих к созданию макроскопической чёрной дыры. Без теории квантовой гравитации нам до сих пор ничего не известно об этих микросостояниях, для наблюдения доступны только макроскопические свойства: масса, заряд и спин. Как бы мы ни перемешивали содержимое чёрной дыры, эти свойства не изменятся — вот почему у чёрных дыр такая высокая энтропия.
Единственная странность формулы Бекенштейна‑Хокинга заключалась в том, что из неё следовало наличие у чёрной дыры температуры — любой объект, обладающий энтропией, имеет ненулевую температуру. Но как чёрная дыра может иметь температуру, если никакое излучение не способно вырваться из‑под горизонта событий? Ответ на этот вопрос Стивен Хокинг нашёл в 1974 г. после поездки в Москву. Там он встретился с советскими учёными Яковом Зельдовичем и Алексеем Старобинским, которые утверждали, что из‑за принципа неопределённости чёрные дыры должны излучать частицы путём квантового туннелирования. Хокинг хотел опровергнуть расчёты Бекенштейна и показать, что чёрная дыра не могут излучать. Но в итоге он доказал обратное: чёрные дыры действительно обладают конечной температурой, излучают и приходят в тепловое равновесие. Применив к описанию чёрных дыр ещё один раздел физики — квантовую теорию поля, Хокинг подтвердил гипотезу Бекенштейна об энтропии и предсказал новый квантовый процесс — испарение чёрных дыр.
Излучение Хокинга
В статье «Вакуум — пустота или полнота?» я уже упоминал о необычных свойствах вакуума, вытекающих из принципа неопределённости Гейзенберга. Даже в абсолютно пустом пространстве квантовые поля не могут иметь нулевое значение. На самых коротких промежутках времени и расстояния всегда есть какая‑то неопределённость, а значит, в вакууме происходит «квантовая дрожь». На мгновение из ничего возникают частица и античастица, а затем происходит их взаимная аннигиляция. Напрямую обнаружить это невозможно, но если в поле есть напряжение, «виртуальные» частицы могут взаимодействовать с реальными. Например, заряженная частица поляризует вакуум таким образом, что вокруг неё скапливаются виртуальные частицы с противоположным зарядом. Если приложить энергию, эквивалентную суммарной массе «виртуальных» частиц, их можно растащить в стороны и «материализовать», что успешно осуществляется на коллайдерах. Но существует и естественный процесс, позволяющий «виртуальным» частицам воплотиться в реальности.
Стивен Хокинг в книге «Краткая история времени» описал предсказанное им испарение чёрных дыр следующим образом. Чёрная дыра поляризует вакуум своей гравитацией. Две виртуальные частицы, рождённые по разные стороны от горизонта событий, уже не смогут аннигилировать. Одна из них падает в чёрную дыру, а вторая становится реальной и улетает в космос в виде излучения Хокинга. Суммарная энергия виртуальных частиц всегда равна нулю. Если улетевшая частица получила положительную энергию, значит, у провалившейся под горизонт энергия будет отрицательной. В результате чёрная дыра потеряет массу, эквивалентную энергии излучения Хокинга. Обратите внимание, что речь идёт именно о положительной и отрицательной энергии, а не о частице и античастице, как часто ошибочно говорят популяризаторы. Впрочем, если чёрная дыра имеет положительный или отрицательный заряд, она также будет поляризовать вакуум на частицы и античастицы.
В действительности всё гораздо сложнее, объяснение с «виртуальными» частицами является просто наглядным упрощением. Вместо частиц лучше представлять флуктуации квантовых полей в пространстве вокруг чёрной дыры. Когда по одну сторону горизонта событий энергия вакуума становится положительной, по другую сторону возникнет область отрицательной энергии, которая аннигилирует с массой чёрной дыры и «материализует» вовне частицу с длиной волны, равной диаметру горизонта событий. Поэтому массивные чёрные дыры излучают в основном низкоэнергетичные радиофотоны, теряющиеся в космическом микроволновом фоне. А микроскопические чёрные дыры при испарении могут излучать и тяжёлые частицы высоких энергий, поэтому на финальных стадиях распада они буквально взрываются. Интенсивность излучения Хокинга совпадает с температурой чёрной дыры, предсказанной Бекенштейном, что является убедительным аргументом в пользу термодинамического подхода к описанию чёрных дыр. И главное: расчёты Хокинга показали, что чёрные дыры не вечны — они испаряются.
Но если чёрные дыры обладают максимально возможной энтропией для своего объёма, не нарушает ли их испарение второго закона термодинамики? Нет, потому что излучение Хокинга обладает ещё большей энтропией в масштабах Вселенной. Сбросив любой предмет в чёрную дыру, вы избавляетесь от его энтропии ценой увеличения площади горизонта событий. Увеличение площади горизонта компенсирует потерю энтропии вещества. В свою очередь уменьшение горизонта событий за счёт излучения Хокинга компенсируется увеличением энтропии Вселенной. Так Яков Бекенштейн сформулировал обобщённый второй закон термодинамики (ОВЗ): сумма площади горизонта чёрной дыры и энтропии окружающей среды никогда не может уменьшиться.
Температура чёрной дыры обратно пропорциональна её массе, а время полного испарения чёрной дыры пропорционально кубу её массы. Если нормальные физические объекты от потери энергии охлаждаются, то чёрные дыры наоборот — нагреваются. Чем меньше чёрная дыра, тем сильнее у неё поверхностная гравитация и тем больше она излучает энергии. Температура чёрной дыры планковских размеров составляет порядка 1032 градусов, а время жизни — доли секунды, и в этом плане она похожа на массивную элементарную частицу. Ей даже название соответствующее придумали — максимон. Такую чёрную дыру вполне можно получить искусственным путём, если сконцентрировать в одной точке энергию, эквивалентную планковской массе. Правда, чтобы придать частице столько энергии (порядка 1026 Эв), понадобится ускоритель длиной несколько миллионов световых лет. Чёрные дыры побольше испаряются уже не так быстро. За время существования нашей Вселенной — порядка 1010 лет — могли испариться только первичные чёрные дыры массой до 1012 кг.
Температура чёрной дыры массой 1014 кг — примерно как у горы Эверест — оказывается ниже температуры космического фонового излучения (2,7 K), а значит, она будет поглощать больше энергии, чем испускать. Комнатную температуру в 300 К имеет чёрная дыра массой порядка 1018 кг и диаметром 10-7 м — размером с вирус. Типичные чёрные дыры звёздной массы имеют температуру меньше миллионной доли кельвина. Они начнут испаряться только тогда, когда температура реликтового излучения упадёт почти до нуля вследствие расширения Вселенной. Общая продолжительность их жизни составит порядка 1066 лет, тогда как сверхмассивные чёрные дыры в центрах галактик, обладающие температурой в триллионные доли градуса, проживут целый гугол лет (10100). Например, Стрелец А* при массе 4 млн масс Солнца имеет температуру всего 1,5*10-14 К. В конце любую чёрную дыру ожидает эффектный взрыв, который рассеет остатки поглощённого ею вещества. За секунду до полного испарения масса чёрной дыры составит 228 тонн, а радиус горизонта событий — 3,4*10-22 м. Такой длине волны фотона соответствует энергия, превышающая всё, что удавалось получать на Большом адронном коллайдере. За последнюю секунду чёрная дыра излучает 2,05*1022 Дж энергии, что равно 5 млн мегатонн в тротиловом эквиваленте.
Стивен Хокинг так и не получил Нобелевскую премию за своё открытие, потому что испарение чёрных дыр практически невозможно подтвердить экспериментальным путём. Длина волны излучения Хокинга соответствует диаметру чёрной дыры, а частота настолько низкая, что ни один телескоп не способен его обнаружить на фоне реликтового излучения. Кроме фотонов, чёрная дыра также может излучать электроны, позитроны, нейтрино и другие частицы, но это происходит лишь на финальной стадии испарения. Есть гипотеза о существовании первичных чёрных дыр небольшой массы, которые могли бы полностью испаряться и взрываться в наше время, но пока ни одного такого взрыва зафиксировано не было. Остаётся только надеяться, что в будущем человечество научится создавать искусственные чёрные дыры и использовать их не только в исследовательских, но и в практических целях. Пока же приходится довольствоваться моделированием излучения Хокинга в аналоговых чёрных дырах — смотреть, как ведут себя кванты звука (фононы) по обе стороны звукового горизонта, разделяющего поток жидкости на дозвуковой и сверхзвуковой.
Парадокс уничтожения информации
Ещё в 1958 г. Дэвид Финкельштейн обратил внимание на то, что обратимые законы квантовой механики не могут иметь необратимые последствия вроде поглощения предмета чёрной дырой. Если объект определённой массы коллапсирует в чёрную дыру той же массы, становится совершенно неважно, чем он раньше был — облаком из водорода и гелия, красным гигантом, парой нейтронных звёзд, скоплением тёмной материи или даже антивеществом. В любом случае получится чёрная дыра с идеально гладким горизонтом событий, неотличимая от другой чёрной дыры с той же массой, зарядом и моментом вращения — так гласит теорема об отсутствии волос. Пока чёрные дыры считались вечными, это не вызывало особых вопросов. Поглощённое вещество просто существует в какой‑то форме под горизонтом событий, но информация о его состоянии никуда не девается, даже если она навсегда скрыта от всего остального мира.
Совсем другое дело, когда речь идёт об испаряющейся чёрной дыре. Допустим, она по очереди поглощала какие‑то предметы, наращивая свою массу и увеличивая площадь горизонта событий. Затем она начинает терять массу через излучение Хокинга. По идее, всё, что она когда‑либо поглотила, должно вернуться в космос в обратном порядке. Однако вернётся оно в виде хаотично рассеянных частиц, по состоянию которых невозможно сказать, чем они были раньше. Излучение Хокинга имеет спектр абсолютно чёрного тела, нагретого до определённой температуры. Это значит, что оно абсолютно одинаково для чёрных дыр одной и той же массы, независимо от информации, запечатлённой на горизонте. Излучение Хокинга обладает максимальной энтропией — результаты его измерения равновероятны, потому что оно состоит из половины набора запутанных частиц, находящейся в смешанном состоянии. Получается, чёрная дыра уничтожила информацию, а это полностью противоречит законам движения не только в классической, но и в квантовой механике.
Непосвящённым в квантовую механику потеря информации не кажется проблемой. В чём разница между сжиганием книги, стиранием битов с жёсткого диска и уничтожением информации чёрной дырой — ведь во всех трёх случаях мы получаем на выходе тепловое излучение, по которому воссоздать исходную информацию невозможно. Но разница есть: излучение костра и работающего процессора не совсем хаотично, оно коррелирует с исходным состоянием системы и не уничтожает информацию, а только делает её нечитаемой. Подробнее я писал об этом процессе в статье «Информация об информации». А излучение чёрной дыры по расчётам Хокинга никак не связано с её содержимым: это случайные флуктуации вакуума, «материализовавшиеся» в сильном гравитационном поле. В силу гравитационного красного смещения излучение Хокинга проводит много времени прямо над горизонтом, а падающая в чёрную дыру материя проводит много времени над горизонтом из‑за гравитационного замедления времени. Там, где они пересекаются и взаимодействуют, происходит рассеяние, но его недостаточно для сохранения всей информации.
С точки зрения квантовой механики чёрная дыра преобразует исходное чистое состояние (суперпозицию) в конечное смешанное (тепловое), а такое преобразование математически неунитарно. Как вы помните из статьи «Квантовая информация и законы сохранения», в квантовой механике эволюция состояния квантовой системы определяется так называемым унитарным оператором. Этот оператор позволяет спрогнозировать квантовое состояние системы в будущем или определить его в прошлом, не прибегая к прямому воздействию на систему (квантовому измерению). Унитарность включает линейность уравнений (два исходных состояния не переходят в одно конечное), обратимость процесса (симметрию во времени) и сохранение вероятности (сумма вероятностей возможных исходов всегда равна единице).
Можно подумать, что чёрная дыра как макроскопический объект вообще не обязана подчиняться законам квантовой механики. Но если рассмотреть создание и быстрое испарение микроскопической чёрной дыры, этот процесс будет напоминать обычное комптоновское рассеяние высокоэнергетических частиц, которые при столкновении образуют ливень частиц меньшей энергии. Поскольку масса, заряд, спин и другие параметры частиц при столкновении сохраняются, логично предположить, что при образовании и испарении чёрной дыры будет то же самое. Но по состоянию фотона, излучённого чёрной дырой, невозможно воссоздать массу, заряд, спин и другие параметры упавшей частицы, а также барионный и лептонный заряды. Например, чёрная дыра образовалась в результате коллапса нейтронной звезды, состоявшей из 1057 барионов — а у фотонов хокинговского излучения барионное число равно 0. Барионы конечно начнут выходить из чёрной дыры на финальной стадии испарения, когда энергии излучения будет достаточно для их образования. Но эта стадия длится доли секунды — слишком быстро, чтобы чёрная дыра могла выпустить такое количество массивных частиц, к тому же распределение этих частиц будет случайным.
В 1983 г. Стивен Хокинг заявил, что информация в чёрной дыре действительно уничтожается, и с этим нужно смириться. Вызов приняли Леонард Сасскинд и Герард «т Хоофт, положив начало 20-летнему научному спору — „битве при чёрной дыре“. На стороне Сасскинда выступили квантовые физики, на стороне Хокинга — специалисты по теории относительности. Но это была не война, а совместный поиск истины: в ходе дискуссии учёные нередко находили подтверждения правоты своих оппонентов и делились ими. На первом этапе противоборствующие стороны сошлись на том, что чёрной дыре просто негде хранить информацию, кроме как на горизонте событий. Чтобы информация сохранялась, она должна быть каким‑то образом закодирована на последней черте, откуда она ещё может вернуться. Тогда частицы хокинговского излучения будут вылетать не случайным образом, а в определённом направлении, унося с собой информацию о содержимом чёрной дыры. Но оказалось, что такое объяснение приводит к противоречию между квантовой механикой и общей теорией относительности.
Принцип комплементарности чёрных дыр
В статье «Правда и мифы о чёрных дырах» мы уже рассматривали, что происходит с человеком, падающим в чёрную дыру, и что увидит внешний наблюдатель. Согласно общей теории относительности, астронавт (точнее, холонавт) не заметит пересечения горизонта событий, и будет находиться в свободном падении вплоть до сингулярности, если по пути его не разорвут приливные силы. Но наблюдатель с орбиты об этом ничего не узнает. Последнее, что он сможет увидеть — застывшее изображение холонавта на горизонте событий, медленно тускнеющее из‑за красного смещения. С точки зрения наблюдателя холонавт никогда не пересечёт горизонт событий из‑за гравитационного замедления времени. Теоретически холонавт застынет на горизонте навсегда, но на практике он будет тускнеть и очень медленно излучать низкоэнергетические фотоны. Также наблюдатель обнаружит, что горизонт событий увеличился на величину, пропорциональную массе холонавта. Чтобы законы физики не нарушались, каждый бит холонавта должен остаться снаружи горизонта и вернуться в виде излучения Хокинга.
Если наблюдатель измерит температуру хокинговского излучения, то убедится, что оно холоднее космического фонового излучения, потому что фотоны истратили почти всю свою энергию на преодоление гравитации чёрной дыры. Но вблизи горизонта излучение должно быть гораздо интенсивнее — настолько, что, если бы там была поверхность, её температура составляла бы миллиарды градусов. Всё, что через него пролетает, мгновенно испаряется и отпечатывается на изогнутой плоскости в виде набора планковских ячеек — битов информации. Но в таком случае горизонт событий оказывается не условной границей — на расстоянии порядка планковской длины от него находится реальная сфера с «шершавой» поверхностью (мембраной), как у голографической пластинки. С точки зрения наблюдателя падающая материя нагревает мембрану, которая затем переизлучает информацию с частицами Хокинга. Об этом говорит так называемая мембранная парадигма чёрных дыр, или гипотеза растянутого горизонта, разработанная в середине 80-х гг. Кипом Торном, Ричардом Прайсом и Дугласом Макдональдом.
Получается парадоксальная ситуация. С одной стороны, холонавт спокойно пересекает горизонт событий, и с его точки зрения информация находится в чёрной дыре. С другой стороны, для внешнего наблюдателя он сгорел заживо на горизонте событий, а его информацию поглотило излучение Хокинга. Когда чёрная дыра начнёт испаряться, наблюдатель снаружи сможет засечь хокинговское излучение и зафиксировать момент, когда её масса вернётся к исходному значению до падения холонавта. На первый взгляд квантовая информация клонируется, то есть холонавт одновременно существует в трёхмерном виде внутри чёрной дыры и в двухмерном на горизонте событий. Это противоречит теореме о запрете клонирования информации, не менее важной, чем закон сохранения информации. Она запрещает создание копии неизвестного квантового состояния. Последней тонкой нитью, удерживающей здание теоретической физики от полного обрушения, остаётся время: один и тот же наблюдатель не увидит обе копии холонавта, потому что чёрная дыра не может одновременно поглощать и испаряться. Последний фотон от застывшего на горизонте холонавта достигнет наблюдателя задолго до того, как тот сможет измерить первый фотон излучения Хокинга. Если к началу испарения чёрных дыр звёздной массы через 1020 лет во Вселенной вообще останется хотя бы один наблюдатель.
В 1992 г. Леонард Сасскинд предложил воспользоваться хорошо известным принципом дополнительности, согласно которому две взаимоисключающие теории, каждая со своей стороны, могут вместе давать полное описание реальности. Сформулированный Сасскиндом принцип комплементарности чёрных дыр гласит, что наблюдателю доступна либо та информация, что на горизонте событий, либо та, что внутри чёрной дыры, но никак не обе сразу. Точки зрения наблюдателя и холонавта являются взаимодополняюшими описаниями одного и того же процесса, и противоречия между ними нет, поскольку наблюдатель и холонавт не смогут сверить свои наблюдения. Ни один наблюдатель (частица, измерительный прибор — что угодно) не может одновременно увидеть то, что происходит снаружи горизонта событий, и то, что происходит внутри. Световые конусы внешнего наблюдателя и падающего холонавта никогда не пересекаются, поэтому их наблюдения не конфликтуют. Речь не о том, что реальность субъективна и зависит от наблюдателя, или что имеются две копии одной и той же информации. Просто одна и та же информация может отображаться в разных местах, при условии, что одновременный доступ к этим местам невозможен. Но как можно находиться в двух местах одновременно, существуя лишь в одном экземпляре? Оказывается, можно.
Голографический принцип и дуальность Малдасены
В 1993–1995 гг. Герард «т Хоофт и Леонард Сасскинд нашли частичное решение информационного парадокса в теории струн — голографический принцип. Сразу оговорюсь, что он имеет мало общего с теорией голографической вселенной Дэвида Бома, но сравнивать эти две концепции мы будем в отдельной статье. Итак, в основу своих рассуждений «т Хоофт и Сасскинд положили уже известную вам формулу энтропии чёрной дыры, а также связанный с ней предел Бекенштейна — максимальное количество энтропии (информации), которая может уместиться в области пространства какого‑то фиксированного объёма. Это также предел информационной ёмкости любой изолированной физической системы заданной массы и размера. Бекенштейн показал, что количество информации (фундаментальных степеней свободы), которая может храниться в конечной сферической области пространства, ограничено энтропией чёрной дыры соответствующего размера. Энтропия чёрной дыры пропорциональна не объёму, а площади горизонта событий. Соответственно при попадании в чёрную дыру 1 бита информации площадь её горизонта увеличивается примерно на квадрат планковской длины (около 10-66 м2), а объём — уже на куб. Но чёрная дыра — это крайний случай, объект, энтропия которого достигла предела Бекенштейна. А что, если применить эту формулу к менее плотным объектам?
Вот здесь и вступает в полную силу голографический принцип: информация (она же энтропия, или количество микросостояний), заключённая в произвольно взятом объёме пространства, пропорциональна площади его поверхности и может быть выражена на ней в планковских ячейках. Вместимость участка пространства зависит от его размеров в квадрате, а не в кубе. Если мы увеличиваем диаметр сферы в 2 раза, её объём вырастет в 8 раз, а площадь — только в 4 раза. Не учитывая потери энергии на гравитационные волны, масса чёрной дыры, образовавшейся в результате слияния двух одинаковых чёрных дыр, будет в два раза больше массы каждой из этих чёрных дыр, объём — в 8 раз больше, а энтропия — только вчетверо больше. Это объясняет, почему средняя плотность сверхмассивных чёрных дыр сравнима с плотностью воды, и почему между звёздами такие огромные расстояния. Просто наше пространство вмещает не так много, как кажется на первый взгляд — оно слишком избыточно. Пространство выглядит трёхмерным, но ведёт себя как двумерное: его ёмкость увеличивается пропорционально площади поверхности, а не объёму.
Для наглядности представьте сферического троянского коня в вакууме, пустого внутри. У него тоже есть свой предел Бекенштейна, который примерно равен площади поверхности коня в планковских ячейках, делённой на 4. Начинайте мысленно наполнять его информацией — микросхемами, дисками, кассетами, пластинками, книгами, папирусными свитками, глиняными табличками, молекулами ДНК и т. д. Если конь достаточно большой, может показаться, что внутри у него поместится больше информации, чем предусмотрел Бекенштейн. Но когда суммарное количество информации достигнет предела, массы её носителей будет достаточно для коллапса в чёрную дыру. Коллапс в чёрную дыру — самое неупорядоченное и необратимое событие из всех возможных. После этого каждый добавленный носитель информации будет увеличивать не плотность, а объём и площадь горизонта чёрной дыры. Никакую другую материю не получится упаковать в этот объём ещё плотнее, чтобы втиснуть туда ещё больше информации. Компактнее уже просто некуда. Если шварцшильдовская чёрная дыра целиком проглотит Землю, её масса вырастет на 6*1024 кг, радиус — на 8,9 мм, а площадь горизонта — всего на 995 квадратных мм. Да, вся информация о нашей планете поместится на листе бумаге площадью 10 см2. Хотя и существуют решения уравнений ОТО вроде уилеровских «мешков с золотом», допускающие превышение предела Бекенштейна и образование внутри чёрной дыры дочерней вселенной, в голографической модели они исключаются.
Голографический принцип развивает идею комплементарности чёрных дыр, поэтому не противоречит ни принципу унитарности квантовой механики, ни принципу эквивалентности ОТО. Но если копнуть глубже, можно обнаружить нарушение ещё одного фундаментального принципа — принципа локальности. Мы привыкли жить в мире, где степень взаимодействия между объектами определяется расстоянием между ними. Логика подсказывает, что происходящее на Земле не может мгновенно влиять на ход событий где‑то на другом конце Вселенной, и наоборот. Передачу информации со скоростью выше скорости света запрещает специальная теория относительности. А голографический принцип провозглашает, что процессы, происходящие в некоем пространстве, и процессы на границе этого пространства могут быть нелокально связаны. Отсюда следует закономерный вывод: само пространство‑время не фундаментально, и всю информацию для описания нашего мира можно сжать во много раз. Голографический принцип распространяет предел Бекенштейна на всю Вселенную и постулирует, что объём иллюзорен, а трёхмерные тела являются голограммами, изоморфными информации, записанной на поверхности этого объёма.
Используя математический аппарат теории струн, Герард «т Хоофт показал, что падающие в чёрную дыру частицы своим гравитационным полем деформируют горизонт и тем самым влияют на исходящее излучение Хокинга. Деформация горизонта шварцшильдовской чёрной дыры напоминает излучение и поглощение частиц на световом конусе в теории струн, поэтому горизонт событий тоже можно описать при помощи теории струн. Сасскинд отождествил длинные возбуждённые струны с чёрными дырами и доказал, что колебания горизонта полностью описывают как падающую, так и выходящую материю. Предполагая, что струнно‑теоретический способ описания является полным, однозначным и достаточным, он пришёл к выводу, что пространство‑время является всего лишь эффективным описанием теории колебаний горизонта чёрной дыры низшей размерности. Это звучало бы как окончательное решение информационного парадокса, если бы не одно „но“: не было ни единого намёка, что теория струн имеет хоть какое‑то отношение к реальному миру. Поэтому голографический принцип в формулировке «т Хоофта и Сасскинда был принят научным сообществом не сразу. Нужно было найти конкретный пример, чтобы показать этот принцип в действии.
Первым успехом стала опубликованная в 1996 г. работа Энди Строминджера и Кумруна Вафы, которые смогли точно воспроизвести предсказание формулы Бекенштейна‑Хокинга, подсчитав всю информацию, скрытую в микросостояниях струн и бран экстремальной чёрной дыры. А в 1997 г. физик‑теоретик из Принстонского университета Хуан Малдасена обнаружил явный пример голографии — AdS/CFT‑соответствие. Он математически доказал, что теория супергравитации в пятимерном пространстве анти‑де Ситтера эквивалентна конформной теории поля в четырехмерном плоском пространстве‑времени без гравитации. Звучит слишком заумно, а математические расчёты там ещё страшнее. Супергравитация — это «суперсимметричный» аналог общей теории относительности, используемый в рамках теории струн. Пространство анти‑де Ситтера — это искривлённое пустое пространство с бесконечно удалённой границей и отрицательной энергией вакуума (космологической константой), обладающей не отталкивающей (как у тёмной энергии), а притягивающей силой. Антидеситтеровское пространство напоминает отрицательно искривлённую внутреннюю поверхность чаши, в которой гравитация усиливается по мере приближения к краям. Исследуя эту гипотетическую пятимерную вселенную со струнами и «бранами», Малдасена обнаружил, что его супергравитационная теория дуальна четырёхмерной квантовой теории поля без учёта гравитационного взаимодействия. Это уже ближе к нашему четырёхмерному плоскому пространству‑времени, в котором гравитация как бы связывает дополнительное пятое измерение.
Дуальность означает, что две теории описывают одно и то же, каждая своим языком. И если всё происходящее в нашей четырёхмерной Вселенной можно описать в вывернутом наизнанку пятимерном мире, то справедливо применить этот принцип и на пространства с меньшим числом измерений — этому уже есть частные доказательства. Следовательно, четырёхмерное пространство‑время с гравитацией внутри чёрной дыры дуально трёхмерному пространству‑времени без гравитации на её границе — горизонте событий. Что и требовалось доказать. Кстати, речь идёт не только о чёрных дырах, но и о любом произвольно взятом объёме пространства, от размеров атома до наблюдаемой Вселенной. В это сложно поверить, но нас самих и все окружающие предметы и явления можно соотнести с какими‑то двумерными узорами на условной границе нашего мира. Тем не менее, эти реальности полностью эквивалентны, и всё, что происходит здесь, мгновенно отображается там. Нужно ли удивляться, что статья Малдасены стала самой цитируемой в области физики высоких энергий: на неё ссылались уже более 20 тыс. раз.
В статье «Правда и мифы о чёрных дырах» мы выяснили, что наблюдаемая Вселенная не может быть чёрной дырой, хотя соотношение радиуса и массы у неё близко к критическому. Теперь представим, что трёхмерная Вселенная — голограмма, закодированная на двумерной поверхности её космологического горизонта. Естественно, космологический горизонт событий — граница условная, хотя для нас он представляет собой вполне видимую поверхность последнего рассеяния, свет от которой регистрируется телескопами как микроволновое фоновое излучение. Напрашивается вопрос: а что, если карта реликтового излучения и есть та самая голографическая пластинка, на которой закодирована судьба Вселенной? Действительно, крошечные флуктуации плотности вещества, показанные на ней в виде небольших отклонений температуры, стали зародышами галактик и определили будущую космологическую эволюцию. Аналогия красивая, но не стоит забывать, что поверхность последнего рассеяния находится по отношению к нам в далёком прошлом, постоянно смещается и на самом деле поверхностью не является. Добавление четвёртого измерения (времени) и космологического лямбда‑члена всё усложняет. Наша Вселенная‑голограмма развивается в динамике, ускоренно расширяясь — это голографическое кино, в котором объекты удаляются друг от друга. Математического аппарата для описания такой сложной системы пока не существует, но вполне вероятно, что AdS/CTF‑соответствие — первый шаг на пути к его созданию.
В 1997 г., незадолго до публикации сенсационной работы Малдасены, физик из Калтеха Джон Прескилл заключил пари с Кипом Торном и Стивеном Хокингом о том, что информация в чёрной дыре сохраняется. Проигравший обязался подарить победителю любую энциклопедию на выбор последнего. Оценив все аргументы в пользу голографического принципа, в 2004 г. Стивен Хокинг признал своё поражение в споре. Таким образом, 20-летняя научная битва закончилась победой Леонарда Сасскинда и его сторонников — победой квантовой механики над теорией относительности. Действительно, AdS/CFT‑соответствие разрешает парадокс исчезновения информации, доказывая, что информация не уничтожается. Дело в том, что конформная теория поля по природе своей унитарна, а значит, и дуальная ей теория квантовой гравитации тоже унитарна. Когда чёрная дыра испаряется в пространстве AdS, дуальное описание в CFT гарантирует сохранение информации. Правда, пока нет объяснения, как это работает в нашем плоском или де‑ситтеровском пространстве с положительной энергией вакуума. Также остался неясен конкретный механизм сохранения информации на горизонте событий, поэтому Прескилл неохотно принял от Хокинга заслуженный подарок, а Кип Торн до сих пор себя проигравшим не считает.
Сегодня физики в шутку объясняют AdS/CFT‑соответствие следующей аналогией: прочитав этикетку на поверхности консервной банки, вы можете узнать состав её содержимого. Используя правила конформной теории поля на граничной поверхности антидеситтеровского пространства, учёные получили возможность решать некоторые задачи внутри самой антидеситтеровской вселенной в отсутствие теории квантовой гравитации. Достаточно выполнить вычисления в рамках квантовой теории поля на границе (без гравитации) и затем перенести результат уже в нашу объёмную Вселенную. Например, чёрная дыра в антидеситтеровском пространстве соответствует равновесному тепловому состоянию в CFT на его границе. Энтропия нагревающейся при испарении чёрной дыры сводится к понятной энтропии теплового излучения, которое эволюционирует унитарно согласно CFT. Сильное взаимодействие квантовой теории поля дуально слабому взаимодействию гравитационных полей. Дальнейшие исследования в этом направлении заключаются в составлении «голографического словаря», связывающего AdS и CFT. Ключевую роль в этом отображении играет энтропия запутанности, но о ней мы расскажем уже в следующей статье.
Возможные решения парадокса
В качестве промежуточного итога и анонса следующей статьи распределим возможные варианты решения парадокса на четыре группы:
Уничтожение информации: гипотеза Хокинга о потере информации верна, испарение черной дыры нарушает принцип унитарности квантовой эволюции и требует модификации квантовой теории поля. Сегодня это наименее популярное решение, поскольку от него отрёкся даже сам Хокинг. Главный аргумент против доводов Хокинга состоит в том, что его расчёты являются полуклассическими: внутренняя часть чёрной дыры описывается классически с помощью ОТО, а свойства горизонта объясняются с помощью квантовой физики. Но теория квантовой гравитации, как следует из названия, должна быть полностью квантовой.
Информация сохраняется в виде тонких корреляций между состояниями частиц излучения Хокинга. В процессе медленного испарения чёрной дыры её спектр незначительно отклоняется от теплового из‑за неоднородности горизонта событий или возмущений в гравитационном поле чёрной дыры — «квантовых волос». Эти решения являются отчасти нелокальными, допуская существование одной и той же информации одновременно в разных местах.
Информация сохраняется на горизонте событий вследствие разрушения корреляций в состояниях частиц. Это гипотеза файерволла, нарушающая принцип эквивалентности (отсутствием разницы между ускорением и гравитацией, а также между свободным падением и движением по инерции) и требующая серьёзной модификации ОТО.
«Сценарии остатков»: информация остаётся внутри чёрной дыры до последнего момента, когда чёрная дыра перестаёт испаряться, превращаясь в некий остаток планковского размера. Эта идея, основанная на петлевой квантовой гравитации, явно нарушает предел Бекенштейна и допускает возникновение подобных остатков виртуальных частиц при обычном рассеивании, что противоречит квантовой теории поля.
Если сформулировать своего рода «теорему о запрете», то для решения информационного парадокса необходимо пожертвовать одним из трёх физических принципов: унитарности, эквивалентности или локальности. Большинство теоретиков склоняются к частичной нелокальности, которая не противоречит ни КТП, ни ОТО до тех пор, пока остаётся в силе принцип комплементарности. В следующей статье мы выясним, нарушают ли чёрные дыры моногамию запутанности, может ли горизонт событий оказаться файерволлом, есть ли всё‑таки у чёрных дыр волосы и не пора ли нам заменить чёрные дыры пушистыми клубками. Ну и конечно разберём лучшее на сегодняшний день решение информационного парадокса, полученное без помощи теории струн и другой экзотической физики.
