samsergey Jun 10 at 09:21

Исчисление геометрии Часть 2. Внутри внешней алгебры

Medium

16 min

2.2K

Mathematics*

Tutorial

+16

Comments 4

eugenk Jun 13 at 23:41

Прошу прощения за возможно дурацкий вопрос. Вектор и его дополнение при вычислении нормы во внешней алгебре, не соответствуют ли векторам-строкам и векторам-столбцам в линейной алгебре (бра и кет векторам в квантовой механике) ???

samsergey Jun 16 at 00:16

Бра- и кет- векторы, равно как и векторы-столбцы и строки представляют объекты первого ранга, поэтому они могут быть дополнениями друг друга только в алгебрах третьего порядка. В более общем смысле они переходят друг в друга под действием клиффордова сопряжения (о котором я пока не писал), не меняющего ранг элемента. Но главное отличие между формализмом бра- и кет- векторов и алгебрами Клиффорда состоит в том, что бра-векторы это не векторы, а функционалы, то есть, элементы сопряженного постранства. С точки зрения программиста, это замыкание каррированной операции скалярного произведения.

lgorSL Jun 14 at 09:20

А что если порядок алгебры чётный и левое дополнение не равно правому? Какой смысл можно вложить в их разницу?

P.S.
И ещё вопрос. Если в алгебре с чётным порядком в определении регрессивного произведения поменять местами левое и правое дополнения, произведение будет всё тем же или другим?

samsergey Jun 16 at 00:42

Я не могу сообразить какую-то глубокую геометрическую интерпретацию разницы между левым и правым дополнением, кроме, разве что хиральности которая появляется в пространствах четных размерностей. Но глубоко я туда не копал и могу налажать с интерпретацией.
С точки зрения алгебры тут проще — в геометрических алгебрах с нетривиальной метрикой (где нет инфинитезимальных генераторов) дополнения выражаются как геометрическое произведение элемента (с реверсом) и псевдоскаляра: $\overline{x} = \tilde{x}\overline{\mathbf{1}}$ , $\underline{x} = \overline{\mathbf{1}}\tilde{x}$ . Если псевдоскаляр имеет четный ранг, то произведение генераторов с ним не коммутативно. Во внешней алгебре и в прочих алгебрах с корнями из нуля, дополнения носят более формальный характер (не сводятся к произведению с псевдоскаляром), но сохраняют симметрии, присущие этому произведению. В программной реализации знаки дополнения вычисляются комбинаторно, а не через геометрическое произведение.