Comments 32
Очень интересно, но что помешало привести саму функцию в тексте?
Можно в википедии посмотреть. Там же приведен и более простой пример ван дер Вардена.
По мне, доказательно непрерывности для "более простого примера" будет посложнее, чем доказательство его недифференцируемости, для функции Вейерштрасса непрерывность фактически следует из определения (косинус - непрерывная функция, а то, что ряд имеет сходимость в точке, доказывается по теореме о двух милиционерах), а недифференцируемость следует из расходимости самого ряда производных ((cos nx)' = -n sin nx, (b^n cos a^nx)' = -(ab)^n sin a^n*x, и из-за того, что ab>1, ряд расходится для любого нецелого х, а вот почему нет производной в точке 0, наверно, надо доказывать через пределы ии последовательности).
Непрерывность и у Вейерштрасса, и у ван дер Вардена - равномерный предел непрерывных функций непрерывен. Вроде, все просто.
Недифференцируемость функции Вейерштрасса не разбирался. У ван дер Вардена все очевидно, там получается последовательность из целых чисел, попеременно четных и нечетных, которая никак не может сходиться. Хорошее изложение есть в книге Рисс, Секефальви-Надь.
Из расходимости производных ничего про производную предела не следует. У
производные безобразные, а предельная функция гладкая.
Можно в википедии посмотреть
Так и все остальное из этой статьи можно в википедии посмотреть. Зачем тогда статью-то писали?
Про эту функцию с формулой и графиком уже есть статья на хабре https://habr.com/ru/articles/407883/, гугл по запросу "функция Вейерштрасса" выдаёт её на третьем строке, можно там ещё посмотреть
В смысле? Описывали же.
Сумма косинусов с убывающими аргументами
Задам один полуневежественный вопрос. А воспроизведение музыки (вместо броуновского движения) не может быть более показательным примером для применения такой функции? Ведь колебание мембраны - сумма синусоид разной частоты, емнип, и каждый видит и слышит эти колебания.
Любое колебание струны раскладывается на конечное количество синусоид. А эта функция состоит из бесконечного ряда синусоид, за счёт чего и получается такая фиговина.
Там дело не только в бесконечном количестве частот: дело ещё в том, что частота гармоники растет как степень номера - нереальный сигнал, если опираться на ряды Фурье. Точнее, там хоть и бесконечный, но очень прореженный набор частот, причем амплитуда этих гармоник падает очень медленно, и при этом они все выровнены по фазе... Фактически да, нереальный сигнал в плане его формирования на практике.
В реальном, физическом мире - максимальная частота звука ограничена. По причинам начиная от свойств среды и заканчивая теорией относительности, которая ограничивает скорость вообще любого взаимодействия. Поэтому - нет.
Помню, как в своё время впечатлился функцией Дирихле, которая всюду разрывна.
А график -- просто песня!
Штука интересная, но сейчас она не так впечатляет. К тому времени, как люди изучают мат.анализ, они почти наверняка хотя бы мельком слышали о фракталах. По сути эта функция очень похожа на фракталы.
Впрочем, понять функцию Вейерштрасса люди пытались без её графика. Ведь его даже не могли построить. Её анализировали именно расчётами, а не графически. И получалось, что:
в любой точке можно посчитать значение,
в любой точке нет скачков,
но в любой точке нет производной.
Именно этим она пугала в своё время, а не зубастым видом. А то, как она выглядит на графике было лишь побочной загадкой.
График этой функции является фракталом, т.к. обладает нецелой хаусдорфовой размерностью (конкретное значение зависит от её параметров, но всегда строго между 1 и 2). Но доказали точную формулу размерности лишь в 2018 году.
Это говорит лишь об ограниченном понимании математики в то время. В наше время правильно говорить не "нет производной", а "производная не выражается в действительных числах" или "полюс" (в ТФКП).
А в каких выражается? Я для своего ликбеза спрашиваю.
В гиперкомплексных числах более высоких порядков через проекции. В данном случае функция описывается через спектр, а значит комплексных чисел должно хватить (но это неточно). Только проекцией будет тангенс угла аргумента, мнимая компонента поделённая на действительную. В общем случае такой подход называется дробно-линейное преобразование, в частности, например, преобразование 
проецирует все действительные числа на окружность в комплексной плоскости, и ±бесконечности сходятся в одной точке (-1,0).
Поправьте, правильно ли я вас понял. Вы берёте функцию из R в R, путём некоторого преобразования строите из неё функцию из R в С, и потом работаете с дифференцируемостью этой новой функции?
Нет, не совсем. Смысл в том, что:
а) производная в точке имеет геометрическую интерпретацию как тангенс угла касательной;
б) каждой функции однозначно соответствует её спектр и наоборот через преобразование Фурье. И если классические математики привыкли работать с функциями не имея представления, как выглядит их спектр - то инженеры-радиотехники привыкли наоборот, работать со спектрами не имея представления, как они выглядят во временном домене;
в) производную функции можно получить непосредственно через её спектр умножением на 
и при этом с ней можно работать дальше независимо от того, можем ли мы посчитать её обратное преобразование Фурье или нет. Для примера, вот в этой статье проворачивается подобный фокус, только применительно к интегралу.
г) комплексное число имеет геометрическую интерпретацию как вектор. И когда он перпендикулярен оси х - тангенс угла получается бесконечным. Потому и для обратной функции, арктангенса, в программировании предусмотрен вариант с двумя аргументами.
В наше время правильно говорить не "нет производной", а "производная не выражается в действительных числах" или "полюс" (в ТФКП)
Вообще-то полюс - это изолированная особая точка, т.е. такая, в некоторой окрестности которой отсутствуют другие особые точки, также в полюсе существует предел
поэтому полюсов у упомянутой функции Вейерштрасса нет (но они есть у других функций, тоже носящих имя Вейерштрасса)
Функция Вейерштрасса отличается от всех остальных функций тем, что является бесконечной суммой других функций и не имеет конечного выражения (конечной записи). Это отдельный широкий (бесконечно широкий) класс функций, который не имеют производной. Например, бесконечная сумма дельта-функций Дирака. Просто к ним надо подходить с другими мерками
То, что он начал карьеру математика в 40 после финансового вуза греет мою душу. Спасибо, Вейерштрасс! Есть ещё время, чтобы человеком стать.
Когда-то я учился в университете, и одногруппник привёл пример функции, бесконечной во всех точках, но имеющей вполне конечную производную. Кто-то подскажет или я всё напутал за давностью лет?
(только тут в нуле не бесконечность, а неопределённость, разрыв в значениях). Чтобы во всех - ну вспоминайте имя одногруппника, нам тоже очень интересно.
Пример Вейерштрасса — отличный способ показать, как математика умеет ломать интуицию. Мы привыкли, что если функция непрерывна, то она «почти везде» гладкая, но тут тебе буквально дают пример, где это вообще не так.
Есть еще несколько "странных" функций:
1. Функция Дирихле — просто хаос. Она равна 1 на рациональных числах и 0 на иррациональных. Она нигде не является непрерывной, но при этом технически определена везде. В каком-то смысле это полный антоним функции Вейерштрасса.
2. Функция Кантора — это когда берёшь отрезок [0,1] и начинаешь выбрасывать из него середины (как в канторовом множестве). Получается функция, которая растёт, но нигде не имеет производной, а при этом она остаётся непрерывной и даже ограниченной.
3. Функция Римана (ζ(x) = сумма от 1 до ∞ (sin(n²)/n²)) — выглядит как хаос, но при этом гладкая почти везде, кроме множества, где вообще сложно определить, что происходит.
4. Функция Монстр (из теории распределений) — есть такие жуткие примеры, когда функция может быть дифференцируема почти везде, но её производная нигде не является непрерывной.
Если кто-то хочет пощупать эти функции, можно попробовать написать их на python и посмотреть, как они ведут себя на графиках. Особенно интересно получается, если анимировать изменение параметров
Рваная, чудовищная функция, которая сломала математический анализ