Comments 22
И правда удивительно, когда что-то настолько бесполезное, приобретает смысл спустя сотни лет, хотя бы в виде тестирования методов оптимизации. Применял ли ты сам на практике "Дьявольскую лестницу"?
Я бы не назвал это бесполезным – всё же оно имеет довольно важное теоретическое значение. Согласен, что на практике подобные построения не являются стандартным инструментом и применяются достаточно редко. Я использовал его для исследования поведения градиентных методов на функциях с плато и резкими скачками. Такие исследования показывают, где стандартные методы сталкиваются с трудностями и как можно улучшить их устойчивость.
у нас Канторовой функцие называли функцию которая ноль в рациональных и один в иррациональных числах на отрезке 0-1и это было про всюду разрывную функцию.
Изучение и наблюдение фрактальных объектов поднимает настроение у лиц, видящих красоту в математике
она непрерывна, но нигде не дифференцируема
Что значит "нигде не дифференцируема", когда минимум с 1/3 по 2/3 постоянна, значит и дифференцируема. Потом сами же пишите:
её производная равна нулю почти всюду
Раз производная сущестует, то и дифференцируема почти всюду.
Под «нигде не дифференцируема» обычно подразумевают, что функция не имеет конечной производной во всех точках множества, где она действительно изменяется. Производная действительно существует и равна нулю почти всюду, но именно на множестве Кантора (где функция поднимается) она либо не определена, либо имеет разрывные скачки. Если функция постоянна на некотором интервале, то она, конечно, дифференцируема там с нулевой производной. Однако это не делает её глобально дифференцируемой. В точках канторова множества (а именно там происходит весь рост функции) производная либо не существует (потому что функция делает скачок на новую ступеньку), либо равна нулю с одной стороны и принимает другое значение с другой.
Т. е, если говорить строго, она действительно дифференцируема почти всюду вне множества Кантора, но в точках Кантора дифференцируемость нарушается. А так как именно там происходит весь нетривиальный рост функции, её относят к нигде не дифференцируемым примерам в классическом понимании этого термина.
По идее тогда верно сказать: Не дифференцируема на бесконечном множестве точек отрезка
Под «нигде не дифференцируема»
Это где такое определение?
производной во всех точках множества, где она действительно изменяется
И что значит "функция действительно изменяется в точке"?
Т. е, если говорить строго, она действительно дифференцируема почти всюду вне множества Кантора,
Она дифференцируема на отрезке [0,1] (включая множество Кантора - включая в отрезок, а не в область дифференцируемости) почти всюду, т.к. у него мера нуль - это и означает "почти всюду".
Пардон за дурацкие вопросы: а эта функция существует? действительно ли данная последовательность функций сходится? я не смог найти доказательства сходимости. может кто подскажет, где посмотреть. и не замешана ли в доказательстве аксиома выбора?
я не смог найти доказательства сходимости
Очень странно, что вы не смогли найти. Оно есть прямо в этой статье. Ищите по ключевым словам «троичные представления».
Хороший вопрос)
Функция Кантора действительно существует, и её построение вполне конструктивно. Она определяется как предел последовательности кусочно-линейных функций, каждая из которых непрерывна, монотонно неубывающая и ограничена.
Если рассмотреть стандартное построение через пошаговое разбиение отрезка ![[0,1]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/559/5e7/ff5/5595e7ff56cbc06b8f0542abf3f5e2c1.svg)
и назначение значений на краях оставшихся интервалов, то видно, что каждая следующая функция в последовательности строится на основе предыдущей, уточняя её значения, но не нарушая уже установленные точки. Это типичный пример поточечной сходимости.
Кроме того, все приближающие функции образуют монотонную неубывающую последовательность ограниченных функций (от 0 до 1). По теореме о монотонной сходимости функций (без необходимости аксиомы выбора) такая последовательность обязательно имеет поточечный предел, который и является функцией Кантора.
Никаких тонких вопросов с аксиомой выбора тут не возникает, потому что построение явно даёт предельную функцию, а её сходимость можно обосновать стандартными аналитическими методами.
По поводу где посмотреть доказательства, могу посоветовать несколько источников:
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (раздел о поточечной сходимости).
2. Более глубокий разбор обычно в учебниках по теории меры и функциональному анализу, например Bartle, R. G. The Elements Of Integration And Lebesgue Measure
Вот этот вывод тоже кажется контринтуитивным:
Как было отмечено, c(x) непрерывна на всём отрезке [0,1] и неубывающая (то есть функция распределения, CDF). При этом она принимает все промежуточные значения от 0 до 1.
Если значения функции c(x) представить как двоичные числа вида 0.ххххх..., то сколько нужно сделать шагов, чтобы получить бесконечную двоичную дробь, например 1/3 (base10) = 0.010101... (base2)?
Ни при каком конечном числе шагов мы это число не получим :)
Это же стандартный принцип предельного процесса в анализе: любое вещественное число можно аппроксимировать конечными дробями, но точное значение достигается лишь как предел этих приближений.
Т. е если рассматривать вычислительный аспект, то бесконечную двоичную дробь нельзя получить за конечное число шагов при явном построении. Но это верно для любой непрерывной функции, записанной в конечной точности
Функция Кантора: «дьявольская лестница» в математическом анализе