Продолжаем применять теорию автоматического управления к процессам в ядерных реакторах по лекция уважаемеого Олега Степановича Козлова, МГТУ им. Баумана. На этот раз рассмотрим процессе в контуре с теплоносителями и ядреными реакциями.

В предыдущих сериях:

10.7 Простейшие модели динамики контуров с цепочками ядерных реакций

10.7.1 Постановка задачи

Рассмотрим замкнутый контур циркуляции, состоящий из Канала облучения (КО) и тракта циркуляции (ТЦ). В КО происходит «наработка» некоторого радиоактивного изотопа , а в ТЦ-его перенос (транспортный перенос) с радиоактивным распадом.

Рассмотрим простейшие цепочки ядерных реакций:

$Y_0+_0n^1\rightarrow Y_1\rightarrow^{\alpha,\beta}_\gamma\rightarrow Y_2$

Захват нейтрона изотопом приводит к появлению сначала нестабильного изотопа , далее после распада появляется стабильный изотоп .

Порожение изотопа $Y_1\approx \Phi\cdot \sigma \cdot c_*$ , где $\Phi$ - нейтронный поток, $\sigma$ - микроскопическое сечение взаимодействия, - концентрация изотопа . Из курсов «Гидродинамика» запишем полное уравнение баланса энергии:

Рисунок 10.7.2 Уравнение сохранение энергии

Предположим, что ТЦ и КО имеют постоянные поперечные сечения, длины и соответственно. Предположим, что теплофизические свойства жидкости – постоянны. $\gamma = const$

Если объемный расход циркуляции постоянен, то время транспортировки пассивной примеси в ТЦ и в КО, соответственно:

$\tau_1=\frac{l_1}{u_1}, \ \ \ \tau_2=\frac{l_2}{u_2}$

Введем новыую переменную где: - ТЦ, - КО.

- концентрация изтопа в тракте циркуляции (ТЦ );

- координата по длинне таракта циркуляции (TЦ);

- концентрация изтопа в контуре облучения (КО);

- координата по длинне контура облучения (КО).

Предположим, что наработка не сильно изменяет концентрацию изотопа Тогда у нас наработка зависит только от потока нейтронов: $Y_1\approx \Phi\cdot \sigma \cdot c_*\approx \Phi\cdot \Sigma$ , где $\Sigma=\sigma \cdot c_*$ - сечение захвата.

$\ \left \{ \begin{align}\frac{\partial C_1\cdot(Z_1,t)}{\partial t}-u_1\cdot \frac{\partial C_1(Z_1,t)}{\partial Z_1} &=-\lambda\cdot C_1(Z_1,t) \\ \frac{\partial C_2(Z_2,t)}{\partial t}+u_2\cdot\frac{\partial C_2(Z_2,t)}{\partial Z_2} &= -\lambda\cdot C_2(Z_2,t)+\Phi\cdot \Sigma\end{align} \right. \ \ \ \mathbf{(10.7.1)}$

Где:

концентрация изотопа в начале таракта циркуляции $C_1(0,t) \equiv C_2(l_2,t)$ , концентрация изотопа в конце контура облучения.

концентрация изотопа Y1 в конце таракта циркуляции $C_1(l_1,t)\equiv C_2(0,t),$ концентрация изотопа в начале таракта облучения.

10.7.2 Стационарное распределение концентрации изотопа в тракте циркуляции

Рисунок 10.7.3 Схема расчета тракта циркуляции

Введем безразмерную пространственную координату $x_1=\frac{Z_1}{l_1} \Rightarrow x_1 \in[0,1]$

Тогда первое уравнение в системе (10.7.1) примет вид:

$\frac{\partial C_1(x_1,t)}{\partial t}+\frac{1}{\tau_1}\cdot\frac{\partial C_1(x_1,t)}{\partial x_1}=-\lambda\cdot C_1 (x_1,t)$

В стационарном режиме когда производная по времни равна 0:

$0+\frac{1}{\tau_1}\cdot \frac{\partial C_1(x_1,0)}{\partial x_1}=-\lambda \cdot C_1(x_1,0)$

Интегрируем и получаем: $С_1(x_1,0)\equiv C_1(x_1)=A_1\cdot e^{-\lambda\cdot \tau_1\cdot x_1}$ , где - константа интегрирования.

Предположим, что в «статике» $C_1^{вх}\equiv C_0 \equiv C_2^{вых}\Rightarrow A_1 = C_0$

$C_1(x_1)=C_0\cdot e^{\displaystyle -\lambda\cdot \tau_1\cdot x_1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.2)}$

В начале тракта циркуляции

В конце тракта циркуляции $C_1(l) = C_0\cdot e^{\displaystyle-\lambda\cdot \tau_1}$

Уменьшение концентраци в тракте $\frac{C_1(l)}{C_1(0)}=e^{\displaystyle-\lambda\cdot \tau_1}$

Рисунок 10.7.4 Распределение концентарции в тракте циркуляции

10.7.3 Стационарное распределение в контуре облучения

Рисунок 10.7.5 Схема расчета контура облучения

Введем безразмерную пространственную координату $x_2=\frac{Z_2}{l_2} \Rightarrow x_2 \in [0,1]$ Тогда второе уравнение в системе 10.7.1 имеет вид:

$\frac{\partial C_2(x_2,t)}{\partial t}+\frac{1}{\tau_2}\cdot\frac{\partial C_2(x_2,t)}{\partial x_2}=-\lambda\cdot C_2(x_2,t)+\Phi(t)\cdot \Sigma$

В стационарном режиме имеем:

$0+\frac{1}{\tau_2}\frac{\partial C_2(x_2,t)}{\partial x_2}=-\lambda\cdot C_2(x_2,t)+\Phi_0\cdot \Sigma$

где: $\Phi_0$ - стационарный нейтронный поток

$С_2(x_2,0)=C_2(x_2)=\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda}+ A_2\cdot e^{\displaystyle -\lambda\cdot \tau_2\cdot x_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.3)}$

где - константа интегрирования

В конце участка при $x_2=1\Rightarrow C_2(1,0)\equiv C_2(1)=C_0=\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda}+A_2\cdot e^{\displaystyle-\lambda\cdot \tau_2}$

$A_2=\left[ C_0-\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda}\right]\cdot e^{\displaystyle\lambda\cdot\tau_2}$

Подставляя в формулу для , имеем:

$С_2(x_2)=\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda}+\left(C_0-\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda} \right)\cdot e^{\displaystyle\lambda\cdot \tau_2}\cdot e^{\displaystyle-\lambda\cdot \tau_2\cdot x_2}$ $С_2(x_2)=C_0\cdot e^{\displaystyle \lambda\cdot \tau_2\cdot(1-x_2)}+\frac{\Sigma\cdot\Phi_0}{\lambda}\left[1 -e^{\displaystyle-\lambda\cdot \tau_2(1-x_2)} \right] \ \ \mathbf{(10.7.4)}$

В начале контура облучения:

$x_2 = 0 \Rightarrow C_2(0,0) = C_2(0)=C_0\cdot e^{\displaystyle \lambda\cdot \tau_2 }+\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda} \left [1 - e^{\displaystyle \lambda\cdot\tau_2}\right]$

В конце контруа облучения:

$x_2=1 \Rightarrow C_2(1,0)=C_2(1,0)=C_2(1)=C_0$

Увеличение концентрации в контуре облучения равное уменьшению его в тракте циркуляции:

$e^{\displaystyle \lambda\cdot \tau_2}+\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda\cdot C_0}\left [1-e^{\lambda\cdot \tau_2} \right]\equiv e^{\displaystyle-\lambda\cdot \tau_1}$

тогда:

$\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda\cdot C_0}=\frac{1-e^{\displaystyle -\lambda\cdot(\tau_1-\tau_2)}}{1 - e^{\displaystyle -\lambda\cdot \tau_2}}$

Рисунок 10.7.6 Стационарное распеределние в контуре облучения

По условию задачи мы имеем замкнутый конутр вход в контур облучения равен выходу из тракта циркуляции

$C_2^{вх}=C_0\cdot e^{\displaystyle \lambda\cdot \tau_2}+\frac{\Sigma\cdot \Phi_0}{\lambda}\left [1-e^{\displaystyle \lambda\cdot \tau_2} \right]\equiv C_0\cdot e^{\displaystyle -\lambda\cdot \tau_1}$

10.7.4 Уравнение динамики ТЦ в нормированных отклонениях (от стационара)

Для приведения динамики к нулевым н.у. введем новую переменную: нормированные отклонения:

$\tilde C_1(x_1,t)=\frac{C_1(x_1,t)-C_1(x_1)}{C_0}\Rightarrow C_1(x_1,t)=C_1(x_1)+C_0\cdot\tilde C_1(x,t)$

Подставляя в полное уравнение для имеем:

$C_0\frac{\partial\tilde C_1(x_1,t)}{\partial t}+\frac{1}{\tau_1}\left[\frac{\partial C_1(x_1)}{\partial x_1}+C_0\frac{\partial\tilde C_1(x_1,t)}{\partial x_1}\right]=\\=-\lambda\cdot C_1(x_1)-\lambda\cdot C_0\cdot \tilde C_1 (x_1,t)$

Из условия стационрного состояния:

$\frac{1}{\tau_1}\frac{\partial C_1(x_1)}{\partial x_1}=-\lambda C_1(x_1)$

В итоге получаем уравнения в нормированных отклонениях

$\frac{\partial \tilde C_1(x_1,t)}{\partial t}+\frac{1}{\tau_1}\frac{\partial \tilde C_1(x_1,t)}{\partial x_1}=-\lambda\cdot\tilde C_1(x_1,t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.5)}$

Начальные условия: $\partial \tilde С_1 (x_1,0) \equiv 0$

Граничные условия :

в начале тракта циркуляции при $x_1=0 \Rightarrow \tilde C_1(0,t) \equiv C_1^{вх}(t)$

в конце тракта циркуляции при $x_1 = 1 \Rightarrow \tilde C_1(1,t)\equiv C_1^{вых}(t)$

Используя преобразования Лапласа: $\tilde С_1(x_1,t)\Rightarrow C_1(x_1,s)$

$s\cdot C_1(x_1,s)+\frac{1}{\tau_1}\frac{dC_1(x_1,s)}{dx_1}=-\lambda\cdot C_1(x_1,s)$

интегрируя получаем:

$C_1(x_1,s)=B_1(s)\cdot e^{\displaystyle -(\lambda+s)\cdot\tau_1\cdot x_1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.6)}$

где: - константа интегрирования

на входе при $х_1=0\Rightarrow С_1(0,s) = B_1(s)$

на выходе при $x_1 = 1 \Rightarrow C_1(1,s) = B_1(s)\cdot e^{\displaystyle -(\lambda+s)\cdot \tau_1}$

Используя подход теории управления с передаточными функциям, зная вход и выход мы можем запистаь передаточную функцию как отношение входа к выходу:

Рисунок 10.7.7 Передаточное звено тракт циркуляции

$W_{тц}=\frac{C_1(1,s)}{C_1(0,s)} =e^{\displaystyle-{(\lambda+s)\cdot \tau_1}}\Rightarrow$ $W_{тц}(s)=\underbrace{e^{\displaystyle-\lambda\cdot \tau_1}}_{отслабление\\ из-за \ распада}\cdot\underbrace{e^{\displaystyle -\tau_1\cdot s}}_{транспортное \\ запаздывание} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.7)}$

Таким образом предаточная функция явленися произведеинем двху звеньев:

10.7.5 Уравнение динамики КО в нормированных отклонениях (от стационара),

Для приведения динамики к нулевым н.у. введем новые переменные – нормированные отклонения по концентрации и отклоениния:

$\tilde C_2(x_2,t)=\frac{C_2(x_2,t)-C_2(x_2)}{C_0}\Rightarrow C_2(x_2,t)=C_2(x_2)+C_0\cdot \tilde C_2(x_2,t)$ $\tilde \Phi(t)=\frac{\Phi(t)-\Phi_0}{\Phi_0}\Rightarrow \Phi(t)=\Phi_0\cdot[1+\tilde \Phi(1)]$

Подставляя в "полное" уравнение для :

$С_0\cdot\frac{\partial \tilde C_2(x_2,t)}{\partial C_0}+\frac{1}{\tau_2}\left[\frac{\partial C_2(x_2)}{\partial x_2} +C_0\frac{\partial\tilde C_2(x_2,t)}{\partial x_2}\right] = \\ = -\lambda[C_2(x_2)+C_0\cdot \tilde C_2(x_2,t)]+\Phi_0\cdot \Sigma+\Phi_0\cdot\Sigma\cdot \tilde \Phi(t)$

Используюя выражение для стационарного состояния

$0+\frac{1}{\tau_2}\frac{\partial C_2(x_2,t)}{\partial x_2}=-\lambda\cdot C_2(x_2,t)+\Phi_0\cdot \Sigma$

получаем:

$\frac{\partial \tilde C(x_2,t)}{\partial t}-\frac{1}{\tau_2}\frac{\partial \tilde C_2(x_2,t)}{\partial x_2}=-\lambda\cdot \tilde C_2(x_2,s)+\frac{\Phi_0\cdot \Sigma}{C_0}\tilde \Phi(t) \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.8)}$

Воспользуемся преобразование Лапласа

$\tilde C_2(x_2,t)\rightarrow C_2(x_2,s); \ \ \ \ \tilde\Phi(t)\rightarrow \Phi(s)$

Уравнение в отображениях:

$s\cdot C_2(x_2,s)+\frac{1}{\tau_2}\frac{d C_2(x_2,s)}{d x_2}=-\lambda\cdot C_2(x_2,t)+\underbrace{\frac{\Phi_0\cdot \Sigma}{C_0}}_{K_2}\cdot \Phi(s)$ $\frac{1}{\tau_2}\frac{dC_2(x_2,s)}{dx_2}=-(\lambda+s)\cdot C_2(x_2,s)+K_2\cdot\Phi(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.9)}$

Интегрируя (10.7.9), имеем:

$С_2(x_2,s)=B_2(s)\cdot e^{\displaystyle -(\lambda+s)\cdot\tau_2\cdot x_2}+\frac{K_2}{\lambda+s}\Phi(s)$

где B_2(s) - константа интегрирования

в начале контура облучения $x_2=0\Rightarrow C_2^{вх}(s)= C_2(0,s) = B_2(s)+\frac{K_2}{\lambda +s}\Phi(s)$

в конце контура облучения $x_2=1 \Rightarrow C_2^{вых}(s)= C_2(1,s)= \\ =B_2(s)\cdot e^{\displaystyle -(\lambda+s)\cdot \tau_2}+\frac{K_2}{\lambda+s}\Phi(s)$

Из 1-го граничного условия:

$B_2(s)=C_2^{вх}(s)-\frac{K_2}{\lambda+s}\Phi(s)$

Подставляем в формулу выхода $C_2^{вых}(s)$ :

$С_2^{вых}(s)=[C_2^{вх}(s)-\frac{K_2}{\lambda+s}\cdot \Phi(s)]\cdot e^{\displaystyle -(\lambda+s)\cdot\tau_2}+\frac{K_2}{\lambda+s}\Phi(s)$

Преобразуя последнюю формулу, получаем:

$C_2^{вых}(s)=\underbrace{e^{\displaystyle -(\lambda+s)\tau_2}}_{W_{21}}\cdot C_2^{вх}(s)+\underbrace{\frac{K_2}{s+\lambda}\left[1- e^{\displaystyle-(\lambda+s_2)\tau_2}\right]}_{W_{22}}\cdot \Phi(s) \ \ \ \mathbf{(10.7.10)}$

Передаточная функция контура облучения имеет две ветви: по нейтронному потоку и по входной концентрации:

$С_2^{вых}(s)=W_{21}(s)\cdot C_2^{вх}(s)+W_{22}(s)\cdot \Phi(s) \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.7.11)}$

Рисунок 10.7.9 Струкутрная модель для контура облучения

В виде блоков соответвующих уравнению 10.7.10

Рисунок 10.7.10 Струкутрная схема для контура облучения в виде блоков

10.7.6 Объединение уравнений динамики ТЦ и КО

Объединяя уравнения для КО и ТЦ, имеем:

Рисунок 10.7.11. Структурная схема замкнутого контура

Поскольку у меня под рукой не нашлось данных по распаду я протестировал знания полученные в лекции на модели, в которой вместо распада в канале просиходит охлаждение через стенку. Сложная гидравлическая модель из десяти точек заменяется одним двумя блоками результат в видео. Не перстаю удивлятся. Проверка стационарного состояния здесь:

Проверка динамического повделения здесь:

Подписывайтесь на канал Технолог Петухов, там можно ругаться матом (кормящим, детями и беременным не рекомендуется)

10. Особые линейные системы. Часть 3