Comments 3
Выглядит интересно, но очень много непоятностей и белых пятен.
Вы рассматриваете только "равномерные" раскраски из отрезков одинаковой длины?
Нужна расшифровка определения, "раскраски способом T", ведь вы там применяете одну и туже раскраску к отрезкам [0,1] и [a,b]. Я правильно понимаю, что это - разбить отрезок равномерно на n кусков? И если отрезок другой, то точки в нем другие?
Еще, вам надо бы формально определить . Я правильно понимаю, что это:
где T[i] - 0 или 1 в зависимости от цвета отрезка i+1.
Вы там в свойстве 0 что-то подобное используете, но как-то странно: значения полиномов берете от какого-то номера i, а не точки на отрезке [a,b] и вместо приростов берете просто значения в точках.
А еще, мне непонятна лемма 1. Могли бы вы ее доказательство поформальнее расписать?
У вас, похоже, там опечатка. Надо в определении Q делить на (b-a) аргумент полинома, а не его значение.Тогда станут понятны выкладки в доказательстве. Хотя, для этого хорошо бы вам при определении потенциала еще и расписать некоторые его свойства, вродеа так же
Тогда
по определению
![]()
Определение Tn - это что P() имеет нулевой потенциал на [0,1], Как его применить к Q на отрезке [0,1] вообще не очевидно. Вам бы стоило тут по определению потенциала расписать и показать, почему это выполняется.
В лемме 2 тоже куча пропущенных определений и шагов.
Например:
;
Во-первых, что за P_{n+1}? Что за Q? Вы там используете определение Tn, но оно определено для какого-то полинома Pn, как связанны Qn и Pn? Вы там применяете лемму 1, как будто Tn зануляет потенциал для Qn(x) на отрезке [0,1].
У вас в условии леммы уже фигурируют какие-то P(n+1) и Tn. Вам надо их описать. P(n+1), кажется - произвольный полином степени n+1. Вот откуда берется Tn и каким свойствам оно удовлетворяет - это вопрос.
Здравствуйте, спасибо за комментарий. Постараюсь ответить на вопросы:
Для решения задачи требуется найти любую подходящую раскраску. В моём решении она получилась составленной из равных по длине отрезков. Но, например,
может быть вообще любой раскраской, а дальше по индукции мы бы нашли все остальные
, которые тоже отличались бы от приведённых мной, и тоже были бы решением. Я взял для
самую простую раскраску -
Да, ваше определение правильное. В свойстве 0, я не расписывал потенциал подробно, а лишь указал, что он равен алгебраической сумме значений многочлена в некоторых точках. Чего достаточно для доказательства аддитивности.
Я добавил в статью более подробные определения и исправил опечатки.
В определениях и формулах я использовал P, Q, S как обозначения многочленов, то есть определения для
применимы и к
, и к
, если они имеют тот же индекс, то есть то же ограничение на степень многочлена.
Если у многочлена индекс не n, а n + 1, это означает, что он имеет степень не больше чем n + 1. Определение показывало "формат обозначения" многочленов степень которых не превышает какой-то величины.
Последовательность Туэ-Морса и многочлены