Последовательность Туэ-Морса и многочлены / Comments / Habr

Выглядит интересно, но очень много непоятностей и белых пятен.

Вы рассматриваете только "равномерные" раскраски из отрезков одинаковой длины?

Нужна расшифровка определения, "раскраски способом T", ведь вы там применяете одну и туже раскраску к отрезкам [0,1] и [a,b]. Я правильно понимаю, что это - разбить отрезок равномерно на n кусков? И если отрезок другой, то точки в нем другие?

Еще, вам надо бы формально определить $\pi(P(x), T)^{[a; b]}$ . Я правильно понимаю, что это:

$\sum_{i=0..n} (-1)^{T[i]}\left(P\left(a+(b-a)\frac{i}{n}\right) - P\left(a+(b-a)\frac{i+1}{n}\right)\right)$

где T[i] - 0 или 1 в зависимости от цвета отрезка i+1.

Вы там в свойстве 0 что-то подобное используете, но как-то странно: значения полиномов берете от какого-то номера i, а не точки на отрезке [a,b] и вместо приростов берете просто значения в точках.

А еще, мне непонятна лемма 1. Могли бы вы ее доказательство поформальнее расписать?

У вас, похоже, там опечатка. Надо в определении Q делить на (b-a) аргумент полинома, а не его значение.Тогда станут понятны выкладки в доказательстве. Хотя, для этого хорошо бы вам при определении потенциала еще и расписать некоторые его свойства, вроде $\pi(P(x), T_n)^{[a; b]} = \pi(P(kx), T_n)^{[a/k; b/k]}$ а так же $\pi(P(x), T_n)^{[a; b]} = \pi(P(x+с), T_n)^{[a-с; b-с]}$

Тогда $\pi(Q_n(x), T_n)^{[0; 1]} = 0$ по определению

Определение Tn - это что P() имеет нулевой потенциал на [0,1], Как его применить к Q на отрезке [0,1] вообще не очевидно. Вам бы стоило тут по определению потенциала расписать и показать, почему это выполняется.

В лемме 2 тоже куча пропущенных определений и шагов.

Например:

$P_{n + 1}(x) = \lambda\cdot x^{n + 1} + Q_n(x)$ ;

Во-первых, что за P_{n+1}? Что за Q? Вы там используете определение Tn, но оно определено для какого-то полинома Pn, как связанны Qn и Pn? Вы там применяете лемму 1, как будто Tn зануляет потенциал для Qn(x) на отрезке [0,1].

У вас в условии леммы уже фигурируют какие-то P(n+1) и Tn. Вам надо их описать. P(n+1), кажется - произвольный полином степени n+1. Вот откуда берется Tn и каким свойствам оно удовлетворяет - это вопрос.

A1exYY Jul 17 at 12:29

Здравствуйте, спасибо за комментарий. Постараюсь ответить на вопросы:

Для решения задачи требуется найти любую подходящую раскраску. В моём решении она получилась составленной из равных по длине отрезков. Но, например, может быть вообще любой раскраской, а дальше по индукции мы бы нашли все остальные , которые тоже отличались бы от приведённых мной, и тоже были бы решением. Я взял для самую простую раскраску -
Да, ваше определение правильное. В свойстве 0, я не расписывал потенциал подробно, а лишь указал, что он равен алгебраической сумме значений многочлена в некоторых точках. Чего достаточно для доказательства аддитивности.
Я добавил в статью более подробные определения и исправил опечатки.
В определениях и формулах я использовал P, Q, S как обозначения многочленов, то есть определения для применимы и к , и к , если они имеют тот же индекс, то есть то же ограничение на степень многочлена.
Если у многочлена индекс не n, а n + 1, это означает, что он имеет степень не больше чем n + 1. Определение показывало "формат обозначения" многочленов степень которых не превышает какой-то величины.

wataru Jul 17 at 13:08

Спасибо. Я еще в начале проморгал слово "любого" перед многочленом в определении T. Смотрю оно теперь выделено жирным, так гораздо понрятнее.

Последовательность Туэ-Морса и многочлены

Comments 3

Articles