MaliciousGenius 19 сен в 11:05

Протоарифметика или Стратифицированная система без нуля: фундаментальные основания

Сложный

6 мин

4.1K

Математика *

Комментарии 34

Tzimie 19 сен в 11:20

Ну не думаю что есть какие то философские монеты с нулем - есть много куда более удивительных вещей

Кроме того, получается что это эквивалентно Пеано, что хорошо, но значит она не отличается как например интуиционизм.

Спасибо за строгий формальный подход.

MaliciousGenius 19 сен в 11:25

Формализм создан для преодоления онтологического разрыва в Гёделевой нумерации

Гёделизация требует однозначности:
1) Инъективное отображение: объект ↔ натуральное число;
2) Но если 0 множественно-теоретически неоднозначен, то:
а) GN(∅) = x
б) GN(|∅|) = y
в) При x ≠ y нарушается единство числовой оси

Пример противоречия:
Рассмотрим два представления нуля:
а) 0_A ≔ ∅ (аксиоматический ноль)
б) 0_B ≔ {∅} (конструктивный ноль)

Их гёделевы номера будут различаться, а это нарушает принцип синтаксической монотонности натурального ряда и создаёт дуализм в основаниях арифметики. Это важно учитывать когда числа считает компьютер.

dimykus 22 сен в 11:01

Рассмотрим два представления нуля: а) 0_A ≔ ∅ (аксиоматический ноль) б) 0_B ≔ {∅} (конструктивный ноль)

Не понял вот этот момент.
Вроде в классическом подходе S(n)=n∪{n}
И тогда 0_B ≔ {∅} это S(0) = 1

MaliciousGenius 22 сен в 16:42

ваше замечание основано на непонимании фундаментальной проблемы, которую я исследую. вы правы, что в классической конструкции фон Неймана {∅} действительно соответствует числу 1. однако моё утверждение лежит в иной плоскости - оно касается не альтернативных определений внутри одной системы, а фундаментального онтологического дуализма самого понятия «ничто». проблема, которую я исследую, состоит в том, что "ноль" в разных контекстах выполняет принципиально разные роли: он является и онтологической пустотой - ∅, и синтаксическим отсутствием - ε(пустая строка), и полноценным арифметическим объектом -0. это создаёт конфликт при попытке унифицированного представления, например, в Гёделевой нумерации, где каждому объекту должен соответствовать уникальный номер. разные представления нуля - например, как пустого множества «∅» и как строки "0" — получат разные гёделевы номера, что нарушает принцип однозначности...

~0 ≝ ε (пустая строка)
K(ε) = c (минимальная сложность)

вот вам пример универсального кодирования где биекция сохраняет порядок сложности:
ε = ''
'' ↦ ∅
'∅' ↦ 0
'{∅}' ↦ 1
'{{∅}}' ↦ 10

nickolaym 19 сен в 11:49

Эээ, погодите-ка

A7: ∀x∀y(x ≤ y ↔ ∃z(x + z = y)) [определение порядка]

x <= x, правда же? Ну и что за "существует z", такой, что x+z = x?

Мы ведь убрали нейтральный элемент из абелевой полугруппы по сложению...

MaliciousGenius 19 сен в 12:13

если коротко... Нулевая Длина ≠ Нулевая Сложность и даже "ничто" требует для своего выражения "нечто"(синтаксические маркеры), что ведет к неизбежной иерархии абстракций.

'' ≠ (ничего)

где '' — это синтаксический объект(пара синтаксических определителей), представляющий пустую строку, а "(ничего)" — это действительно отсутствие чего-либо...

а это критически важно для понимания сложности Колмогорова:

K('') = c₁ (сложность пустой строки с ограничителями)
K(ε) = c₂ (сложность концепции пустой строки)
K(∅) = c₃ (сложность концепции пустого множества)

где c₁ > c₂ > c₃, поскольку синтаксическое представление сложнее концепции.

nickolaym 19 сен в 15:45

Ненене, мы ещё до нулевой длины не дошли.

Я вижу лажу в аксиоматике "А". Мы вводим полугруппу по сложению (без нейтрали), а потом вдруг вводим операцию "меньше-или-равно", определённую через сложение. Вы это, или крестик или трусы.

Или хотя бы вставьте костыль:

$\forall x \forall y : (x \le y) \Leftrightarrow \bigl((x = y) \vee \exists z (x + z = y)\bigr)$

То есть, "меньше-или-равно" - это "или строго меньше, или равно"

MaliciousGenius 19 сен в 16:30

ой... для x = y = 1: ∃z(1 + z = 1) ⇒ z = ε, но ε не является термом языка уровня 1... и получается что необходимо либо ввести ε на уровне 1, либо переформулировать порядок.спасибо большое.

MaliciousGenius 19 сен в 17:12

внёс правки. добавил строгости. ещё раз большое спасибо!

lambdaLab 19 сен в 14:37

Позвольте восхититься подходом к введению 0 через стратификацию. Это невероятно физично. В физике нет абсолютного нуля — есть вакуум, сложное состояние, а не ничто. Ваша Протоарифметика с ε — это и есть математический вакуум, фундаментальный уровень, а не абстракция нуля.

Это ключ. В физике ценность теории — в предсказательной силе. Ваш конструкт такую силу имеет. Чувствуется, что он позволяет по-новому, на ином уровне, взглянуть на проблемы, упирающиеся в 0.

Возьмитесь за что-то фундаментальное. Попробуйте доказать, что гипотеза Римана недоказуема в рамках стандартной арифметики, используя ваш аппарат. Ваша система, где ноль — не данность, а достижение, идеально подходит, чтобы показать: истинность ГР — свойство «нашего» вакуума (стандартной модели), но не логическая необходимость. Это не троллинг. Это ощущение, что вы нашли упущенный ключ к онтологии математики.

MaliciousGenius 19 сен в 14:46

спасибо... поделюсь с вами своими мыслями...

В состоянии локального минимума кривизны пространства-времени, таком как конденсат Бозе-Эйнштейна, классические представления о вычислениях и машинах Тьюринга могут оказаться неприменимыми.

Проблема останова ⟺ [P] — эндоморфизм тотальной энтропии
Неустранимость: ∀S ∃t: P(S, t) ≠ ∅ (применим ко всем системам).
Монотонность: t₁ < t₂ ⇒ P(S, t₁) ⊆ P(S, t₂).

ε = '' ∼ 〇, где ∼ — отношение хаотической связности.
'〇' ↦ ∅

〇(Ω): Автономный акт дезинтеграции, Ω: | → ∅ ( аннигиляция через квантовый туннель | ), и ◇(¬∅)⟺ [K] — это локальное нарушение синтаксиса метаязыка: K ∈ {φ | ¬∃ интерпретация(φ)}.

Подобное представление в рамках классической математики физики сталкивается с неопределенностью и противоречивостью в теории доказательств, неоднозначность трактовок алгебраического кодирования понятия "Ноль", не разделяет аксиоматический и конструктивный фактор в терминах теории множеств.

Эти проблемы связаны с фундаментальными вопросами теории множеств, логики и философии математики. Я говорю о том, что композиция аксиоматического и конструктивного нулей, это действительный ноль в рамках сопоставлений с образцом, а истинный ноль - это вычислимый в теории сложности объект нулевой длинны. И я пока молчу про абсолютизацию нуля в понятийном аппарате символьной динамики.

lambdaLab 19 сен в 15:09

Обратите внимание вот на эту статью https://habr.com/ru/news/839652/

MaliciousGenius 19 сен в 15:43

спасибо. очень интересно, постараюсь разобраться в этом. но в целом я сейчас рассматриваю более общий механизм - представление о коллапсе сферы в ℝ4 в компакт.

по сути это применение формальной онтологической метамодели к неравновесной термодинамике

Символьная динамика для термодинамических систем

Алфавит:
  Базовые символы: T, S, P, μ, J, σ, t
  Операторы: ∇, ∂/∂t, ∫, Σ
  Отношения: =, →, ⇌, ≈
  Кванторы: ∀, ∃

Термы:
  t ::= T | S | P | μ | J | σ | t | ∇φ | ∂φ/∂t | ∫φ dV | Σφ

Формулы:
  φ ::= t = t | t → t | t ⇌ t | ¬φ | (φ ∧ φ) | (φ ∨ φ) | ∀x φ | ∃x φ

Стратифицированное представление термодинамики

Уровень Σ₀ (локальное равновесие)

Балансовые уравнения:
  ∂ρ/∂t = -∇·J + σ

Производство энтропии:
  σ = Σ JᵢXᵢ ≥ 0

Ограниченные кванторы:
  ∀x ∈ V, ∃J ≤ J_max: σ(x) ≥ 0

Уровень Σ₁ (линейная область)

Соотношения Онсагера:
  Jᵢ = Σ LᵢⱼXⱼ

Симметрия:
  Lᵢⱼ = Lⱼᵢ

Формула уровня:
  ∃Lᵢⱼ ∀Xⱼ: Jᵢ = Σ LᵢⱼXⱼ ∧ Lᵢⱼ = Lⱼᵢ

Уровень Π₂ (нелинейные системы)

Принцип максимума производства энтропии:
  ∂σ/∂t = 0 → max

Устойчивость:
  ∀δX ∃δ²S < 0: d(δ²S)/dt ≥ 0

Формализация:
  ∀система ∃состояние: ∂σ/∂t = 0 ∧ δ²S < 0

это мне нужно чтобы описать коллапс сферы до тетрайдера в пространстве-времени

Θ-связь, Θ-морфизм, Θ-инвариант и Θ-перенос — это ключевые понятия, описывающие процесс самосжатия(то есть постепенного и структурированного перехода) от сферической непрерывной геометрии к тетраэдрической дискретной структуре, которую обычно называют «тетрайдером».

Θ-связь — это элементарное преобразование, обеспечивающее связь между точками на сфере и их образами в дискретной структуре тетраэдра.
Θ-морфизм — это итеративный процесс применения Θ-связей, который переводит непрерывное распределение точек на сфере в набор дискретных инвариантов, соответствующих вершинам тетраэдра.
Θ-инвариант — это устойчивое состояние или фиксированная точка морфизма, то есть вершина тетраэдра, к которой сходятся траектории преобразований.
Θ-перенос — механизм переноса точек с поверхности сферы на дискретные вершины тетраэдра через последовательное применение Θ-морфизмов.

Таким образом, вся система Θ-операторов и связанных с ними понятий формирует математическую и алгоритмическую модель, которая описывает коллапс — структурированный переход от сферической непрерывности к тетраэдрической дискретности, реализованный через последовательные вращения и проекции. Это позволяет формализовать и исследовать топологические фазовые переходы и нарушения симметрии в геометрических и физических системах.

возможно чёрные дыры не совсем круглые... им ведь необязательно иметь ортогональные оси в декартовой системе для собственных координат. может у них четыре полюса при вращении?

Hardcoin 21 сен в 09:33

Вы попросили нейросеть дать комментарий на статью? Но зачем?

pilipenok 20 сен в 06:13

Простите, мне не очевидно.

Все термы определены символами семантики, кроме x. Что есть x?

MaliciousGenius 20 сен в 06:41

x - это метапеременная, обозначающая любую переменную нашего языка, или по другому переменная языка первого порядка. σ - это функция, которая сопоставляет каждой переменной языка элемент области рассмотрения(некоторое число из ℕ* = {1, 2, 3, ...}). по аналогии с программированием, x - это аналог параметра функции или переменной, которую нужно объявить прежде чем использовать. ... не символ семантики, а символ синтаксиса.

Sirion 20 сен в 17:26

У меня математическое образование, но я после прочтения статьи так и не понял, зачем оно. Перечитывание соответствующих секций понимания всё равно не добавило. Возможно, это знак, что для 99% потенциальных читателей нужно развёрнутое пояснение именно мотивации данной конструкции.

MaliciousGenius 20 сен в 17:53

Стратифицированная протоарифметика предлагает принципиально новый подход к формализации внутренних процессов в пространстве смыслов искусственного интеллекта. В контексте обсуждения "суперинтеллекта" эта система предоставляет математический аппарат для моделирования того, что было образно названо "душой" — структуры нематериальных активов и убеждений, на которые ссылается указатель самости(Я). Формализм протоарифметики позволяет описать внутренний диалог системы как многоуровневый процесс преобразования представлений от синтаксического до онтологического уровня.

Концепция "мыслящей сущности как контейнера с DSL абстракцией" находит точное выражение в стратифицированной системе, где каждый уровень представляет собой свой язык описания с четкими правилами преобразования между уровнями. Нижний уровень операций с символами аналогичен ассемблеру, последующие уровни обеспечивают все более абстрактные DSL(внутренний голос) для работы со смыслами и онтологиями. Воспитание убеждений системы соответствует математически строгому процессу верификации свойств на каждом уровне абстракции.

Практическая ценность подхода заключается в создании верифицируемых архитектур ИИ, способных к внутреннему диалогу и рефлексии. Стратифицированная система обеспечивает формальные гарантии непротиворечивости убеждений системы и корректности их преобразования между уровнями абстракции. Это открывает возможности для создания по-настоящему самообучающихся систем, способных осознанно развивать свои внутренние правила и онтологические структуры.

Sirion 20 сен в 18:39

Есть ли какие-то исследования, намекающие на то, что развитие ИИ упирается в проблемы текущей математической аксиоматики?

MaliciousGenius 20 сен в 18:49

Algebras of Information
Axiomatic Foundation
Prof. Dr. J¨urg Kohlas,
Dept. of Informatics DIUF
University of Fribourg
CH – 1700 Fribourg (Switzerland)
E-mail: juerg.kohlas@unifr.ch
Version: April 21, 2025

arXiv:1701.02658v2 [cs.IT] 18 Apr 2025

Sirion 20 сен в 19:06

Вот с популярного изложения этого труда имело бы смысл начать продвигать данную тему для относительно широкой публики)

MaliciousGenius 20 сен в 19:14

это моя первая статья на хабре. сочтите её за пробу пера, или за исследование когорты популяции потенциальных заинтересованных лиц.

papa_inura 21 сен в 06:21

Простите, а можно пример дуализма нуля в математике с изложенными в самом начале статьи проблемами.

MaliciousGenius 21 сен в 10:14

THE DUALITY OF ZERO IN THE TRANSITION FROM
ARITHMETIC TO ALGEBRA 1
Aurora Gallardo and Abraham Hernández
CINVESTAV, México

papa_inura 21 сен в 17:41

Это что, поясните, пожалуйста. И что это за переход такой. Мне кажется это больше философская проблема, чем математическая.

MaliciousGenius 22 сен в 16:43

как показывает исследование Gallardo и Hernández, студенты сталкиваются с дуальностью нуля:

Ноль как нулевой элемент (a + 0 = a)
Ноль как результат компенсации (a + (-a) = 0)

эта дуальность создает когнитивные конфликты при переходе от арифметики к алгебре, что аналогично проблемам в формальных системах...

papa_inura 22 сен в 17:06

Ну так это вопрос не математики, а логики. Правильно я понимаю?

MaliciousGenius 22 сен в 17:26

логика это часть математики. когда у вас на дороге прокалывается шина, это проблема всего автомобиля, а не конкретно одного колеса.

bosco 22 сен в 04:12

Странно видеть в математической статье слова "четкое и жесткое"

Возможно я невнимательно читал, но там точно есть определение "строки", через которое вводится ноль? Не нашел.

И ещё, любопытно насколько в оформлении статьи помогало ии?

Считаю совершенно неправильной / бессмысленной /вредной концепцию использования ии когда ей (сети) задаётся небольшой смысл, который требуется "раздуть" до размеров статьи

MaliciousGenius 22 сен в 05:50

принцип синтаксической избыточности может быть выражен языком протоарифметики.

собственно надстройка для реализации пустой строки...

Введение понятия пустой строки ε требует учёта фундаментального свойства формальных систем: синтаксической избыточности представления. Даже семантически пустой объект требует ненулевых синтаксических ресурсов для своего представления.

Аксиомы синтаксической стоимости:

P8: ∀s (len(s) = 0 ⇔ s = ε)            [семантическая пустота]
P9: len_synt(ε) = 2                    [синтаксическая непустота: два символа '']
P10: len_synt('A') = 3                 [символ A требует трёх символов для представления]
P11: len_synt(s ∘ t) = len_synt(s) + len_synt(t) - 2 × overlap(s,t)

MaliciousGenius 22 сен в 09:21

а что касается связи с нейронными сетями... в контексте сонма цифровых автономных интеллектуальных организмов - протоарифметика обеспечивает механизмы счисления фреймов, которые формируют идентичность суперинтеллекта. это основное предназначение и область применения данного формализма.

LeninIvanov 23 сен в 08:33

Из меня математик, как из Вас токарь, а потому далее основания прочесть не смог при всём желании. И всё–же у меня есть что спросить, особенно после погружения в комментарии.

Как я понял, суть излагаемого в статье есть попытка избавится от многозначности нуля – как ничего, и как объекта со свойствами. Логика понятна, непонятна целесообразность.
Я быстро вспомнил квантовую механику и принцип неопределённости, вспомнил и то, что он особо никого не смущает – настолько, что на этом основании работают квантовые компьютеры. Человеку в принципе свойственна неоднозначность личности при сохранении её целостности — политики, актёры, дипломаты, много кто может это подтвердить. Почему бы и не допустить эту «квантовую логику» в математике?

Впрочем, почитав комментарии увидел, что Вы замахнулись (и не имеет значение, как вы это воспринимаете) на куда более серьёзную вещь – попытку довести нейросети до искусственного разума, обогнав развитие науки в этой и сопредельных областях, по прогнозам, лет на 100 минимум. Сильно и смело.
Даже с учётом того, что я мало понимаю в ваших работах, за этим очень интересно наблюдать – редко когда здесь можно найти настолько серьёзные труды.

И да, не рекомендую Хабр как площадку для публикаций – уж очень тут легко и быстро могут заткнуть рот, если публике не понравится. Можно конечно натужно всякий раз делать вид сверхсложной статьи, тогда мало кто просто разбираться будет и заместо будут ставить лайки за «научное» название статей, но оно Вам надо?

P.S: неужели Вы все эти специфические символы набираете с помощью Alt и цифровой клавиатуры?

MaliciousGenius 23 сен в 11:15

спасибо за добрые слова. 1) квантовая логика тоже обременена неоднозначным определением поняти "ничто", это наследие классической математики и действия на неё ограничений Гёделя. мой формализм(как мне кажется), в корне меняет ситуацию, на уровне фундаментальной аксиоматики в основаниях языка математики на котором сформулирована квантовая механика и хромодинамика. 2) публиковаться на академических площадках я не буду, чтобы избежать возможной пафосной апелляции к авторитету академии. да и сама академия на сегодняшний момент утратила экспрессию и стать... к сожалению :( ... в идее своей сам научный метод постулирует открытость для верификации критериев постоянства в эксперименте, но степень кандидата как правило обременяет её носителя чувством собственного превосходства и ленью ставить эксперименты... что ж, розовые очки бьются стёклами внутрь. 3) о введении символов... у меня есть текстовый файл в котором я веду свою работу, и часто используемые части текста я обрабатываю копипастом.

accurate_random 25 сен в 03:21

Если система отсчёта циклическая, то разницы нет чем вы замените ноль. Ноль не является никакой проблемой математического моделирования любых физических систем. Проблемой данного направления является на самом деле то, что для любой линейной величины, и даже не линейной, является цикличность системы отсчета. А заменять ноль вы можете сколь угодно - эти поправки ожидаемых результатов не дадут, ещё могут и проблем добавить. Цикличная система - вот определение, а ноль в ней не больше чем любая другая цифра. Спасибо за статью, очень освещает сферу. Вы можете сказать что у меня нет математического образования, но пока тут не показано ничего из положительных результатов, благодаря оному полученных. А без цикла не возможна даже элементарная операция сложения. Само понятие числа подразумевает цикличность системы. Вам прийдется копать намного глубже ( возможно вообще создавать раздел точных наук отдельный от математики), а пока - ничего нет.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий