В предыдущих двух статьях ("Геометрическая головоломка на выходные" и "Электродинамика виртуальной Вселенной") мы сначала логически вывели общую структуру пространства нашей виртуальной Вселенной — $U(x) \in SU(2)$ на S³, прикинули структуру электрона и фотона. Затем, в имеющемся физико-математическом аппарате, подобрали подходящую основу — ею оказалась модель Скирма. Эту модель мы расширили на всё пространство и снабдили дополнительным членом «», который обеспечил нам электродинамику, выведенную во второй статье.

В целом, пока всё выглядит неплохо. Наши друзья из виртуальной Вселенной уже осваивают получившуюся теорию на практике. Но им также нужна теория, которая описывала бы и механику их мира: камни там падают на их «Землю», планеты крутятся вокруг их светила, и вообще всё движется и вращается. У них уже постулированы три закона, которые описывают эти взаимодействия (все совпадения, как обычно, случайны!), но, воодушевлённые нашим подходом, они просят нас попробовать вывести эти законы из того лагранжиана, который у нас уже получился.
Этим мы сейчас и займёмся.

МЕХАНИКА

Прежде чем говорить о законах механики, нужно договориться о том, что именно в нашей фазовой модели играет роль «материальных объектов». В привычной нам школьной механике тело можно считать маленькой точкой, у которой есть масса, скорость и траектория. В нашей виртуальной Вселенной такого роскошного упрощения нет: точек там не существует, есть только фазовое поле U(x) и его конфигурации. Материальный объект в этом мире — это устойчивый вихрь фазового поля. Мы уже сталкивались с одним таким вихрем, когда выводили модель электрона: это локализованная, стабильная, топологически защищённая конфигурация U(x), которая имеет конечную энергию, конечный размер и не может исчезнуть без разрыва поля. Если в пространстве есть несколько таких вихрей, они взаимодействуют через своё поле, а их движение — это просто эволюция распределения энергии фазовых деформаций. То, что в обычной физике называют «телами», здесь является ансамблями вихрей. Большой объект — это множество фазово связанных конфигураций, у которых есть общий центр масс, общая энергия и общее движение. Именно с такими объектами мы и будем работать. Законы механики должны быть не чем-то постулируемым, а следствием того, как вихрь как цельная конфигурация реагирует на деформации фазового поля.

В привычной нам физике масса — это базовое свойство тела. Мы просто говорим: «у этого объекта есть масса», подставляем её в формулы и идём дальше. В нашей фазовой модели такой роскоши опять же нет. Мы не можем просто приписать вихрю число m. У нас есть только фазовое поле, его лагранжиан и распределение энергии. Поэтому если масса в этой теории вообще существует, она должна возникнуть как свойство самой конфигурации поля.

Начнём с самого простого и фундаментального — в любой полевой теории каждому лагранжиану соответствует плотность энергии. Энергия — это не абстрактная величина, а вполне конкретное число, которое определяется тем, насколько сильно в данной точке деформировано поле и как быстро оно меняется. В нашей модели энергия хранится в градиентах фазового поля (через член с $\kappa$ ) и в его внутренних деформациях (через член с $\alpha$ ). Когда вихрь покоится, вся его энергия сосредоточена в стационарной фазовой конфигурации — вокруг сердцевины вихря и в окружающем поле. Если мысленно остановить время и просто просуммировать плотность энергии по всему пространству, мы получим полную энергию покоя вихря:

$E_0 = \int \varepsilon_{phase}d^3x$

Это число полностью определяется формой вихря и параметрами лагранжиана $\kappa$ и $\alpha$ . Здесь нет ничего произвольного — разные вихри имеют разную структуру, а значит и разную энергию покоя. И вот именно это число и играет роль массы. Строго говоря: масса вихря — это энергия его фазовой конфигурации в состоянии покоя. Никакой «дополнительной» массы в модель не вводится. Вихрю не приписывается масса извне — она является просто мерой того, насколько сильно фазовое поле искажено в его окрестности. Очень важно понять физический смысл этого утверждения. Масса здесь — это не «количество вещества» и не число из таблицы, а запасённая энергия деформации фазового поля и цена, которую Вселенная платит за существование устойчивого вихря.

Чем «жёстче» поле (чем больше $\kappa$ ) и чем сильнее член, стабилизирующий вихрь (через $\alpha$ ), тем больше энергии требуется, чтобы удерживать эту фазовую конфигурацию и тем больше масса. Отсюда сразу следует важный вывод — масса не является фундаментальным свойством материи. Она является геометрическим и энергетическим свойством фазового поля. В этом месте стоит сделать небольшую паузу и сопоставить это с привычной физикой. В обычной механике мы говорим: «у частицы есть масса, и поэтому её трудно разгонять». Здесь мы говорим наоборот: частицу трудно разгонять потому, что чтобы изменить её состояние движения, нужно перестраивать всю её фазовую конфигурацию, а это требует энергии. И именно эта энергия и проявляется как масса.

(Сноска — заметим, что член потенциала с коэффициентом $\mu$ , игравший ключевую роль при выводе электродинамики, не даёт основного вклада в трансляционную массу вихря в ньютоновском пределе. Он задаёт структуру вакуума и делает две внутренние моды тяжёлыми, но масса вихря как механического объекта определяется в основном градиентными и стабилизирующими членами лагранжиана, то есть коэффициентами $\kappa$ и $\alpha$ ).

Теперь, когда мы разобрались с тем, откуда в нашей фазовой модели берётся масса, можно перейти к следующему, на первый взгляд почти очевидному, но на самом деле очень глубокому вопросу — почему тело вообще сопротивляется ускорению? Почему вихрь не может мгновенно изменить свою скорость? В привычной механике это свойство просто постулируется: масса есть — значит, есть инерция. В нашей модели всё устроено иначе. Здесь нет «точечного тела», которое можно толкнуть как угодно. Есть протяжённая фазовая конфигурация, распределённая в пространстве, и любое её движение — это перестройка поля. Представим себе вихрь, находящийся в равномерном движении или в покое. Его фазовая конфигурация при этом является стационарным решением уравнений движения: она может целиком смещаться в пространстве, но её форма во времени не деформируется. Плотность фазовой энергии распределена устойчивым образом, и система находится в динамическом равновесии. Теперь попробуем изменить состояние движения вихря — разогнать его, затормозить или изменить его траекторию. Что это означает на языке фазового поля? Это означает необходимость перестроить фазовую конфигурацию во всём объёме вихря, изменить распределение энергии вокруг его сердцевины, а также возбудить дополнительные моды в окружающем поле. Все эти процессы требуют дополнительной энергии. Нельзя изменить скорость одной «точки» вихря — нужно изменить состояние всей конфигурации как целого объекта. Именно поэтому вихрь сопротивляется любому изменению своего движения — как разгону, так и торможению. Это сопротивление перестройке фазового поля и есть то, что в обычной механике называется инерцией.

Итак, мы выяснили, что масса есть энергия стационарной фазовой конфигурации, а инерция — это сопротивление поля изменению этой конфигурации во времени, возникает следующий естественный вопрос — как в нашей модели описывается движение? Какая величина играет роль импульса?

В обычной механике импульс — это . Это определение вводится сразу и выглядит как самостоятельный закон. В фазовой модели импульс не вводится отдельно, а возникает как поток энергии фазового поля. Когда вихрь покоится, энергия его фазовой конфигурации локализована в определённой области пространства. Она «стоит на месте»: нет направленного переноса энергии, нет энергетического потока. Но когда вихрь начинает двигаться, ситуация меняется принципиально. Его фазовая конфигурация уже не просто «лежит» в пространстве — она переносится. Это означает, что энергия поля начинает течь вместе с вихрем. Любое полевое описание неизбежно связывает движение с переносом энергии. Если в некотором объёме энергия убывает, а в соседнем возрастает, то между ними существует поток. Именно этот поток и есть то, что в механике называется импульсом. Говоря аккуратно: импульс вихря — это интегральная мера потока энергии фазового поля (что в низкоэнергетическом пределе эквивалентно классическому импульсу). В этом смысле импульс — это не «дополнительное свойство частицы», а просто мера того, насколько быстро и в каком направлении переносится энергия её фазовой структуры. Теперь становится понятно, почему импульс связан именно с массой и скоростью. Масса — это запас энергии конфигурации. Скорость — это скорость переноса этой конфигурации в пространстве. Поэтому их произведение естественным образом даёт импульс — это просто энергия, умноженная на скорость её переноса.
Важно подчеркнуть ещё один момент. В фазовой модели импульс — это не абстрактный вектор, «прикреплённый» к частице. Это вполне реальный пространственно-временной процесс, где энергия поля физически перетекает вместе с движущимся вихрем. Если два вихря сталкиваются, их импульсы перераспределяются, потому что перераспределяется поток фазовой энергии. Никаких дополнительных постулатов здесь не требуется.
Таким образом, импульс в нашей модели автоматически связан с массой как с энергией конфигурации, определяется скоростью переноса фазовой структуры и является прямым следствием законов сохранения энергии фазового поля. Это ещё один пример того, как привычное механическое понятие оказывается не «первичным», а возникающим из динамики одного и того же лагранжиана.

В школьной физике сила выглядит как нечто почти магическое. Мы просто говорим: «на тело действует сила», рисуем стрелочку, подставляем её в формулу и получаем ускорение. Но что такое сила на самом деле, откуда она берётся и что именно «толкает» тело? В фазовой модели никакой отдельной сущности под названием «сила» не существует. У нас по-прежнему есть только одно — фазовое поле и его энергия. Поэтому если вихрь начал ускоряться, значит, энергетическая картина поля вокруг него стала асимметричной. Представим себе вихрь находящийся в равновесии. Распределение фазовой энергии вокруг него симметрично — со всех сторон поле «напряжено» одинаково. В такой ситуации нет причин для ускорения, вихрь либо покоится, либо движется равномерно. Теперь представим, что по какой-то причине (например, из-за другого вихря поблизости или из-за внешнего фазового возмущения) плотность энергии фазового поля слева и справа от нашего вихря стала немного разной. С одной стороны поле «дороже» по энергии, с другой — «дешевле». Это означает, что фазовая конфигурация больше не находится в симметричном состоянии. Вихрь начинает перестраивать своё поле так, чтобы перейти в область меньшей фазовой энергии. Эта перестройка и проявляется как ускоренное движение. С точки зрения механики мы говорим, что «на вихрь подействовала сила». С точки зрения фазовой модели мы говорим — возник градиент фазовой энергии. Именно поэтому можно дать очень простое и точное определение: сила — это не что иное, как пространственный градиент энергии фазового поля.

Если энергия одинакова во всех направлениях — силы нет. Если где-то энергия убывает в одну сторону быстрее, чем в другую, система стремится двигаться туда, где энергия меньше.

Это определение объясняет сразу несколько привычных фактов. Почему силы возникают между телами? Потому, что они искажают фазовое поле друг друга. Почему силы могут быть притягивающими или отталкивающими? Это зависит от того, повышает или понижает другой объект плотность энергии вокруг данного вихря. Почему сила исчезает, если убрать источник? Потому, что восстанавливается симметрия энергетического распределения.
Важно подчеркнуть — ничто не «толкает» вихрь извне. Его движение — это естественная релаксация фазового поля к состоянию меньшей энергии. Просто на языке механики мы привыкли описывать этот процесс через силы.

Теперь у нас есть все необходимые «кирпичики», чтобы увидеть, как из фазовой модели автоматически возникает основной закон ньютоновской механики. Давайте ещё раз соберём цепочку, которую мы уже построили:

масса — это энергия фазовой конфигурации вихря в покое;
инерция — это сопротивление фазового поля изменению этой конфигурации;
импульс — это поток фазовой энергии при движении вихря;
сила — это градиент фазовой энергии в пространстве.

Посмотрим, что означает само понятие ускорения в этой картине. Ускорение — это изменение скорости во времени, а значит, изменение импульса. А изменение импульса — это не что иное, как изменение потока фазовой энергии. Если в некоторой области пространства существует градиент фазовой энергии, то мы уже знаем, что возникает сила. Эта сила начинает перестраивать фазовую конфигурацию вихря. В результате меняется поток энергии, меняется импульс и появляется ускорение. Иными словами, в фазовой модели имеет место универсальное соотношение — градиент энергии поля определяет скорость изменения импульса вихря. Если записать это на языке привычной механики, мы просто получаем:

$F = \tfrac{dp}{dt}$

Но мы уже выяснили, что импульс p пропорционален массе вихря и скорости переноса его фазовой конфигурации. Поэтому при малых скоростях и слабых деформациях фазового поля:

$p \sim mv$

и потому автоматически возникает:

Здесь нет никаких новых аксиом. Мы не «вводим» второй закон Ньютона — мы просто переписываем на знакомом языке то, что уже содержится в уравнениях фазового поля. Закон оказывается не фундаментальным, а приближённым следствием более общей динамики фазовой геометрии. Эта формула верна именно в том режиме, который мы называем ньютоновским — скорости много меньше предельной скорости распространения возмущений в фазовом поле; деформации малы; конфигурация вихря остаётся близкой к своей стационарной форме.

Как только эти условия нарушаются, простая форма перестаёт быть точной, и требуется уже более общее, полевое описание движения. Но в повседневных условиях виртуальной Вселенной именно ньютоновское приближение работает с удивительной точностью — ровно так же, как и в нашем мире. Таким образом, мы получили не просто отдельные элементы механики, а их логически связанное целое.

До этого момента мы обсуждали механику виртуальной Вселенной «по-человечески»: через энергию, инерцию и потоки. Но всё это уже зашито в исходный лагранжиан фазового поля. Давайте очень кратко посмотрим, как привычные механические формулы появляются из него в формальной записи.

Напомню лагранжиан фазового поля:

${\cal L}_{phase}=\tfrac{\kappa}{2}\,Tr(J_{\mu}J^{\mu})+\tfrac{\alpha}{4}\,Tr([J_{\mu},J_{\nu}][J^{\mu},J^{\nu}])−\mu^2(1−cos(\theta_3)).$

Грубо говоря, первые два члена отвечают за «жёсткость» поля и стабильность вихрей, а последний — за структуру вакуума и выделение лёгкой моды (электродинамики). Для механики нас будут интересовать в основном первые два. Сначала рассматриваем стационарный вихрь: это конфигурация поля , стационарное решение, сохраняющее форму во времени и затем минимизируем полную энергию. При фиксированном времени из лагранжиана мы получаем плотность энергии $\varepsilon_{phase}$ , и полная энергия вихря в покое равна:

$E_0=\int \varepsilon_{phase}[U_0(x)]d^3x$ .

Это число зависит от формы вихря и параметров $\kappa$ и $\alpha$ . Именно это в дальнейшем и играет роль массы — это энергия покоя вихря как целого объекта. Здесь мы концептуально сделали то, о чём говорили словами — масса не вводится вручную, она вычисляется как энергия стационарного решения уравнений для фазового поля.

Теперь допустим, что вихрь не просто существует, а медленно движется. Самый простой способ это описать — ввести координату его «центра» и считать, что конфигурация поля просто смещается вместе с ним:

$U(x,t) \simeq U_0(x−X(t))$ .

Это называется методом коллективной координаты: мы не пытаемся описать все возможные колебания поля, а учитываем только то, что вся конфигурация как бы целиком переезжает в пространстве. При этом мы явно предполагаем, что внутренняя форма вихря при таком движении не меняется, меняется только положение его центра в пространстве. Подставляем это приближение в лагранжиан ${\cal L}_{phase}$ и интегрируем по всему пространству. В результате получаем уже не функционал от поля, а эффективный лагранжиан для координаты центра вихря:

$L_{eff}[X(t)]= \int {\cal L}_{phase}[U_0(x−X(t))] d^3x$ .

При медленном движении (малых скоростях) этот эффективный лагранжиан имеет очень знакомый вид:

$L_{eff}=\tfrac{1}{2}M \dot{X}^2−V_{eff}(X)$ .

Здесь: — коэффициент при $\dot{X}^2$ , который получается при разложении лагранжиана по малым скоростям. Он выражается через интегралы по $\kappa$ , $\alpha$ и форму вихря — именно он и есть масса вихря (в том смысле, в каком она входит в кинетическую энергию $\tfrac{1}{2}Mv^2$ ); $V_{eff}(X)$ — эффективный потенциал, который возникает из взаимодействия с другими вихрями и внешними фазовыми деформациями. Формально мы проделали такую операцию: «фазовый лагранжиан -> интеграл по пространству -> эффективный лагранжиан для координаты центра вихря» и увидели, что он ведёт себя как обычная материальная точка с массой .

Теперь остаётся сделать ровно то, что мы делали бы в обычной механике — применить к $L_{eff}[X(t)]$ уравнение Эйлера–Лагранжа:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L_{eff}}{\partial \dot{X}}\right) - \frac{\partial L_{eff}}{\partial X} = 0$ .

Подставляя явный вид $L_{eff}=\tfrac{1}{2}M\dot{X}^2−V_{eff}(X)$ , получаем:

$M\ddot{X}=−\nabla V_{eff}(X)$ .

Если обозначить $F=−\nabla V_{eff}$ — силу, возникающую из градиента энергии фазового поля, то уравнение принимает тот самый привычный вид:

Обратите внимание на то, что нигде по пути мы не постулировали ни массу, ни силу, ни второй закон Ньютона. Мы взяли исходный лагранжиан фазового поля, нашли в нём стационарный вихрь, разрешили его центру медленно двигаться, интегрировали лагранжиан по пространству, получили эффективный лагранжиан для координаты центра, применили к нему стандартное правило $\delta S=0$ . И всё — закон появился сам, как низкоэнергетическое приближение более общей фазовой динамики.

А теперь перейдём к законам сохранения.

В школьной физике законы сохранения энергии и импульса выглядят как фундаментальные постулаты — энергия сохраняется всегда, импульс сохраняется всегда. Но откуда они на самом деле берутся? В нашей фазовой модели эти законы вообще не вводятся отдельно — они являются прямым следствием симметрий лагранжиана фазового поля. Напомним, что вся динамика виртуальной Вселенной задаётся одним объектом — лагранжианом. Все уравнения движения, все взаимодействия, все свойства вихрей — это просто разные проявления принципа наименьшего действия $\delta S=0$ .

Рассмотрим сначала энергию. В лагранжиане нет явной зависимости от времени: он зависит от поля и его производных, но не от того, какой сейчас момент времени. Это означает, что физические законы виртуальной Вселенной одинаковы и сегодня и завтра. На языке теоретической механики и теории поля это называется однородностью времени. А из неё автоматически следует закон сохранения энергии. Физический смысл этого в нашей модели очень прост — если фазовое поле эволюционирует по одним и тем же уравнениям в любой момент времени, то невозможно «создать энергию из ниоткуда» или «потерять её в никуда». Энергия может лишь перетекать из одной области поля в другую, переходить из энергии вихря в энергию волновых возмущений и перераспределяться между различными конфигурациями. Но полная энергия фазового поля остаётся постоянной. Именно поэтому в нашей модели автоматически выполняется закон сохранения энергии.

Точно так же обстоит дело с импульсом. Лагранжиан виртуальной Вселенной одинаков во всех точках пространства. В нём нет выделенной особой точки, центра или направления. Это означает, что пространство однородно. Однородность пространства приводит к закону сохранения импульса. Опять же, это не дополнительный постулат, а следствие того, что фазовое поле подчиняется одним и тем же законам в любой точке. С физической точки зрения это означает следующее — если вихрь движется и взаимодействует с другими вихрями, его импульс может передаваться другому объекту или уходить в волновые возмущения фазового поля (аналог излучения), но суммарный импульс всей системы «вихри + поле» остаётся неизменным. Именно поэтому столкновения в виртуальной Вселенной подчиняются тем же правилам, что и в привычной нам механике: импульсы перераспределяются, но не исчезают.

Из того же самого источника — симметрий, вытекает ещё один закон: сохранение момента импульса. Поскольку лагранжиан не зависит от ориентации системы в пространстве (пространство изотропно), вращение всей конфигурации поля не меняет действие. Это означает, что существует сохраняющаяся величина, связанная с вращением — момент импульса. В терминах фазовой модели это снова означает очень простую вещь — если вихрь начал вращаться или двигаться по орбите, его момент импульса может передаваться другому вихрю или волнам фазового поля, но полная «вращательная мера» всей системы сохраняется.

Таким образом, мы видим, что в нашей виртуальной Вселенной энергия сохраняется из-за однородности времени, импульс сохраняется из-за однородности пространства, а момент импульса сохраняется из-за изотропии пространства. Все три фундаментальных закона сохранения оказываются не независимыми аксиомами, а прямыми следствиями симметрий одного и того же лагранжиана фазового поля. Это ещё раз подчёркивает главный принцип нашей модели: физические законы не добавляются «сверху», а возникают из геометрии и динамики фазы.

В механике виртуальной Вселенной нет «исчезновения» энергии или импульса. То, что в привычной физике мы называем потерями, трением или торможением, в фазовой модели означает лишь одно — передачу энергии и импульса от вихря в волновые возмущения фазового поля. Эти возмущения затем могут уноситься на большие расстояния, интерферировать, поглощаться другими вихрями — но суммарные сохраняющиеся величины системы остаются неизменными.

Итак, мы увидели, что вся привычная ньютоновская механика в виртуальной Вселенной возникает не как набор независимых законов, а как низкоэнергетическое приближение одной и той же фазовой динамики:

частица — это устойчивый вихрь фазового поля;
масса — это энергия стационарной фазовой конфигурации вихря;
инерция — сопротивление фазового поля перестройке этой конфигурации;
импульс — поток фазовой энергии при движении вихря;
сила — градиент фазовой энергии в пространстве;
закон — приближённое уравнение движения центра вихря при малых скоростях и слабых деформациях поля;
законы сохранения энергии, импульса и момента импульса — следствия симметрий самого лагранжиана.

Ни один из этих объектов не вводился вручную. Все они появились автоматически из той же самой фазовой геометрии, которая ранее привела нас к электродинамике.

На этом классическая механика виртуальной Вселенной оказывается полностью замкнутой и внутренне непротиворечивой. Но у наших друзей есть и более странные явления: дискретные уровни энергии, интерференция, вероятностное поведение, спин. Всё то, что в нашем мире объединяется под названием квантовой механики.

В следующей статье мы посмотрим, как эти «квантовые» эффекты возникают в фазовой модели — и почему там они оказываются не загадочной магией, а прямым следствием глобальной топологии фазового пространства.

"Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I)"

Механика Виртуальной Вселенной