Comments 26
«Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём »
В этот момент у вас сразу же появляются вопросы:
А что такое "множество"? Пожалуйста, дайте определение для предмета, над которым будете изгаляться.
Элементарно, Ватсон :)
"Всякое соединение M определенных и различных объектов m (называемых элементами множества M), существующих в нашем восприятии или в нашей мысли"
Георг Кантор (перевод Юрия Манина из книги "Математика как метафора", МЦНМО, 2008)
У понятия множества нет определения оно задаётся аксиоматически.
Подлинная культура духа проверяется способностью одновременно удерживать в сознании две прямо противоположные идеи и при этом не терять другой способности - действовать.
Ф. Скотт Фицджеральд "Крушение" (1936)
текст потом был просто переписан вручную своими словами
Шаблонная фраза "это не ... , это про ..." всё ещё бросается в глаза, LLM это часто пишут в попытке писать убедительный текст. Я где только можно добавляю правило это не использовать) И я пытался написать через ctrl+enter - хабр пишет, что ваш никнейм забанен...
Разбанили сегодня уже. Бан был за очень частое использование текстов от LLM в статьях.
Отмечу, что подобные обороты нейронки и люди используют для разного.
"это не ... , это про ..." - нейронка использует для убедительности, а человек для более ясного и понятного объяснения, контраста.
Еще нейронки часто одну и ту же мысль повторяют разными способами для убедительности, а люди повторение мысли разными способами с разных сторон используют для более подробного ее изложения и/или объяснения, а также с целью освещения этих разных сторон, так как эти стороны тоже часть того, что нужно рассказать.
Можно было сразу вывести элементарные свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу, а образ обратного элемента это обратный образа исходного элемента.
Ну и насчет сопряжения - это пример автоморфизма, но далеко не все автоморфизмы представимы в виде сопряжения (но если расширить до голоморфа...)
В общем жду продолжения, мне понравилось, спасибо!
Вообще очень много кто рассказывает группы через преобразования, а не через определения. Проблема обычно слишком формального объяснения - сложность понимания, а слишком на примерах отсутствие общей картины, много лишней суеты.
К примеру тут зачем-то выдумывается какое-то "живое" объяснение в общем-то обычной идее что из двух элементов получается третий. Какой-то перебор образов, в месте, где собственно и без них все понятно.
Здесь есть немного жульничества. Зная про теорему Кэли, можно "вывести" теорию групп из перестановок и потом театрально вздымать руки, мол, видите, как все просто. Не зная про эту теорему, легко попасть впросак.
Абстрактные кнопки - это сложно. У меня на стене висят часы {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Что тут является естественной операцией? А что еще кроме умножения по модулю 12? Возьмем первое пришедшее на ум число, 5. Поехали. 1 -> 5 -> 1. Замечательно. 2 -> 10 -> 2. Великолепно. Возьмем другое число, не знаю, 7. Тоже все аккуратно. Какие там еще числа есть, пусть будет 4. 1 -> 4 -> 4. 2 -> 8 -> 8. Что здесь происходит? Какие аксиомы отсюда можно вывести?
Разумеется, можно сказать, что просто замкнутости и существования нейтрального элемента недостаточно для того, чтобы "не поломать логику системы" (хотя, казалось бы, какая еще должна быть логика у корней из единицы, кроме того, чтобы быть корнями из единицы), надо еще, чтобы был обратный. Так, давайте, уже и ассоциативность добавим. И коммутативность заодно, что там еще для логики нужно? О-па, а коммутативность, оказывается, не только не нужна, но и довольно отвлекающее свойство (хотя бы его и хватило для решения тысячелетней задачи).
Группа - это свойство структуры объекта. Достаточно жесткое, чтобы приводить к обозримым богатым свойствам (о теории групп вполне осмысленно говорить), но, при этом, достаточно свободное, чтобы им обладать даже когда связь с подгруппой симметрической группы в глаза не бросается. Нам чертовски повезло иметь в своем распоряжении опыт более чем двухвековой дистилляции конструктивного представления о группах, выраженный в определении того, что такое быть группой. Ни Лагранж, ни Гаусс к выделению групп как самостоятельных объектов не пришли, хотя, можно предположить, о перестановках какое-то представление имели.
Я это к тому, что мотивирующие примеры - вещь чертовски полезная и правильная, хотя, реалистично, из них объемлющую теорию можно "вывести", только зная эту теорию и отбрасывая мириады тупиковых и ошибочных ветвей. А вот интернализации уже вопрос тонкий. Кто-то из них дельта-функцию выводит, а кто-то - векторное деление.
Да, идея в том, чтобы сделать такое изложение, в котором теорема Кэли является очевидной. А через связь с перестановками огромное количество других теорем доказываются значительно проще и куда нагляднее (без абстрактных доказательств от противного, которые плохо воспринимаются студентами интуитивно).
Исторически люди как раз группы придумали сильно позже, а перестановками заниматься начали намного раньше.
хотя, можно предположить, о перестановках какое-то представление имели.
У них теоремы есть, связанные с перестановками и циклическими группами.
Для меня теория групп кликнула, хронологически, с леммы Шура (более точно, разумеется, следствия из нее в теории представлений), теоремы Лагранжа и теоремы о том, что произведение мощностей образа гомоморфизма группы и его ядра равно порядку группы. Я плохо представляю, чем здесь теорема Кэли и перестановки помогают, хотя, наверное, протолкнуть можно. Более того, по опыту знаю, что для меня "перестановочное" изложение теории групп работает до тех пор, пока справляется переводчик с языка перестановок в теорию групп. Немного утрируя, для меня не перестановки помогают понять теорию групп, а теория групп помогает понять перестановки.
Дело в том, что перестановки с собой приносят очень много своих собственных свойств. Например, любая перестановка представляется как произведение циклов. Доказательство несложное. Пусть перестановка действует на множестве М. Возьмем некий элемент А этого множества. Он переводится перестановкой в другой элемент Б, который переводится в В и т.д. Назовем эту последовательность элементов орбитой А. Принадлежность орбите определяет отношение эквивалентности (несложное упражнение). Таким образом, перестановка задает разбиение М на классы эквивалентности. Каждый класс соответствует циклической перестановке (несложное упражнение).
Итак, перестановку (здесь я жульничаю) можно представить композицией циклических. Это универсальное свойство перестановок. Какому универсальному групповому свойству оно соответствует? Что любой элемент группы можно представить как коммутирующее произведение других элементов? Даже для регулярного представления (в виде подгруппы симметрической группы через действие на себе) разбиение на циклы может ничему не соответствовать, потому что эти циклы - элементы полной симметрической группы и могут не принадлежать нашей подгруппе.
Вероятно, более показательным примером было бы представление перестановок через транспозиции (которых очевидно может не быть в группе вообще), но там я только индуктивное доказательство знаю.
Другими словами, симметрическая группа - это такое монструозное образование, которое сваливает без большого разбора группы в одну кучу. Для иллюстрации каких-то свойств, конечно, полезно перестановки иметь в виду, но в качестве основания для построения теории групп - скажем так, польза далеко неочевидна.
Разумеется, все это не имеет большого значения для записи любых интернализаций. Если Вам перестановки помогают - замечательно, может и кому-то еще помогут. Кликание математических теорий работает мистически.
У них теоремы есть, связанные с перестановками и циклическими группами.
Теоремы есть, а теория групп не появилась.
Это универсальное свойство перестановок. Какому универсальному групповому свойству оно соответствует?
разложение на циклы в регулярном представлении отражает структуру действия элемента на группе как множестве.
Возьмём элемент h ∈ G. В регулярном представлении он становится перестановкой π_h на множестве G. У этой перестановки π_h есть какое-то разложение на независимые циклы в S_{|G|}.
Длины циклов в разложении — это в точности размеры орбит действия циклической подгруппы ⟨h⟩ на G левыми сдвигами.
Ваши претензии понятны в данном случае, насчет полной симметрической группы. Но здесь "перестановочное представление" позволяет гораздо проще думать о таких вещах и доказывать их.
Именно, мы получаем разложение на орбиты, как и использовалось в доказательстве. Но, во-первых, в общегрупповом контексте такое разложение куда более сильное, чем в контексте подстановок. Например, про орбиты более чем осмысленно говорить, даже когда мы действуем на неисчислимые множества. А, во-вторых, декомпозицию на циклы используют-то для самих подстановок, т.е. для элементов группы. Таких хитростей в подстановочном подходе порядком. Взять то же, очень полезное, представление через транспозиции. Очень много задач решается, используя идею об инварианте четности таких представлений. А на общую теорию групп непосредственно не переносится.
Длины циклов в разложении — это в точности размеры орбит действия циклической подгруппы ⟨h⟩ на G левыми сдвигами.
Забыл отметить. Вот это утверждение один из примеров пользы отрыва теории групп от перестановок. Каждое отдельное понятие - циклическая подгруппа, классы смежности, разбиение на классы смежности - несложные. От оборачивания их в перестановки пользы немного. В частности еще и потому, что понятие нормальной подгруппы для симметрической группы выглядит довольно хилым. Как бы зачем нам знакопеременную группу еще каким-то другим словом называть?
Иногда бывает удобно всё-таки "вложить" группу G в симметрическую группу над G как множеством.
Если G сопоставить регулярное представление левыми сдвигами, то получим LG - подгруппу (изоморфную G) перестановок в симметрической группе S(G). Если рассмотреть N(LG) - нормализатор LG в S(G), то можно доказать, что он изоморфен голоморфу группы G. Причем N(LG)⋂St(e) - изоморфно Aut(G) - группе автоморфизмов G. Здесь St(e) - подгруппа перестановок, сохраняющая нейтральный элемент группы G на месте.
Я плохо представляю, чем здесь теорема Кэли и перестановки помогают, хотя, наверное, протолкнуть можно
А я хорошо себе представляю, хотя, вероятно абстрактную теорию групп знаю хуже Вас (мои познания ограничиваются плюс минус материалом вводного семестрового курса + совсем немного знаком с теорией представлений и как группами диффуры решать), и собираюсь это протолкнуть в следующей статье, которую здесь размещу.
Конечно, в теории групп не всегда можно именно доказательство полное построить через перестановки, и они могут играть роль лишь интуиции и частичного доказательства, но здесь то это не так.
Для меня теория групп кликнула, хронологически,
А я собираюсь этим всё закончить, а не начать. Потому что если понять структурные теоремы, дальше теория групп в целом понятна. Цель этих статей и заключается в том, чтобы суметь дать максимально понятное изложение структурных теорем.
Более того, я сам начал понимать нормально эти теоремы, только связав их с теоремой Кэли. До этого как-то очень абстрактно воспринималось, не интуитивно.
Затормозил прямо на 1.1, так что дальше пройти не смог.
"Представьте, что перед нами — черный ящик, у которого есть 
возможных состояний. Мы обозначим их просто цифрами: 
. "
Хм. Для меня это выглядит как приватная целочисленная переменная внутри какого-то объекта, где могут быть числа от 1 до 6 (n=6), и нельзя непосредственно узнавать значение извне, хотя есть какие-то методы для манипуляций ("кнопки"). ОК...
Бенц...
" Нажали кнопку 
— шарик под номером 1 переместился в лунку 2, а лунка 2 — в лунку 3. "
Ну здрасьте. Чёрный ящик-то я ещё представил, но откуда вдруг появились лунки? Да не одна. Да ещё одна лунка может переместиться в другую - вот это номер... Там на самом деле массив был? А как n соотносится к 6?
" Нажали 
— всё замерло, ничего не изменилось. ". А до этого шевелились? То есть, нажали на кнопку g1, и всё начало скакать, пока не нажали g2, и тогда замерло?
Теория групп для всех: пульт для управления реальностью прямо из палаты