Комментарии 27
пусть A («ассасин») и T («цель») — две произвольные, но фиксированные точки внутри комнаты. Предположим, что комната схожа по физическим характеристикам с бильярдным столом, так что любой «выстрел» А рикошетит от стен, причём угол падения равен углу отражения. Можно ли заблокировать любой возможный «выстрел» А в Т, разместив конечное количество аналогичных по свойствам точек («телохранителей») в комнате?
Есть вопросы к формулировкам:
Исходя из данного описания, выстрелы рикошетят только от стен. Каким образом, в таком случае можно заблокировать выстрелы при помощи точек?
"конечное количество аналогичных по свойствам точек" -- аналогичных чему? Точкам А и Т? -- так у них лишь одно свойство: "фиксированные точки внутри комнаты". Или стенам? Но тогда куда происходит отражение при попадании выстрела?
Допустим, что жертвa тоже выбирает не случайное положение. Можно ли выбирая место для точки T уменьшить число B точек? На сколько это число будет стабильно?
Нельзя. Любое движение сведёт задачу к исходной, меняется положение жертвы, пусть даже ассасин стоит, то нужно тоже число охранников.
Если встать на одной линии, число точек уменьшается вдвое.
Неплохо бы иметь интерактивную демонстрацию, обновляющую позиции "телохранителей" при перемещении "охотника" и "жертвы". Наверняка можно добиться, чтобы часть "телохранителей" наложились друг на друга, то есть их необходимое число уменьшилось. Интуитивно мне понятно, что у вашей модификации для закрытия жертвы необходимо 4 телохранителя.
Является ли ассасин одновременно телохранителем? То есть, если отразившаяся пуля сначала попадает в ассасина - она застревает в нём или проходит дальше и ищет жертву?
Физические свойства всех точек одинаковы.
А есть ли такие вектора для пули, чтобы между ассассином и ассассином НЕ стояла жертва, но где-то потом она была на той же траектории? На ум приходит только стрельба в ближнюю стену, если вектор на жертву обратный и перпендикулярен стене, при этом ассассин стоит вплотную к той стене, так что телохранитель у него тоже за спиной. Можно считать да, но так как число таких ситуаций вырожденное (p=0), ассассином можно пренебречь.
Для квадратной комнаты возможны ещё варианты, когда пуля нечетное число раз рикошетит от стены и залетает в ассасина по направлению, образующему некоторый угол с исходным. Например, квадрат с линиями, параллельными осям, и диагональю от (0, 0) до (6, 6), ассассин в точке (3, 2), выстрел в стену в точку (6, 4).
Впрочем, сам по себе вопрос о "прозрачности" ассассина лишен смысла - если пуля летит сквозь него в направлении А, то это как если бы он был непрозрачным и просто выстрелил в направлении А.
А в правильном пятиугольнике не рассматривали?
Нет. Просто нельзя объять необъятное)))
наверно рассматривали, но так как при покрытии плоскости пятиугольниками одна точка на плоскости соответствует бесконечному количеству точек исходного пятиугольника (вроде как можно отражениями уйти на бесконечность, а затем по нетронутой целине, т.е. не совпадая с предыдущими, добраться назад до целевой точки), то и решетки не получится сформировать, будет полная плоскость целей, и перед "каждой ближайшей" уже телохранителя не воткнешь — закончатся :) По-моему так.
У меня, почему-то, сразу возник вопрос, насколько сложно будет решать эту задачу для круглой комнаты :)
Безотносительно, имхо, очень изящное решение.
А ассассин вообще в круглой комнате сможет попасть в цель отражениями от стены? Прямой наводкой понятно, а дальше как? Пути должны существовать, но вычислить их нереально. А раз нереально вычислить, то и нереально перекрыть. В случае квадрата там семейства путей, которые перекрываются кратно большим семейством точек, а в случае круга вроде как стреляй куда угодно, кроме центра, и через бесконечное число отражений таки попадешь в цель.
Даже если предположить, что хаос от отражённых лучей в круге создаст всюду плотное множество, координаты цели берутся из континуума, а число лучей — счётное. Поэтому вероятность попасть в цель, выстрелив наугад, равна 0.
Можете пояснить, почему число лучей счётное? На наивный взгляд, азимут стрельбы - действительное число.
Я писал о ситуации, когда один выстрел заполняет всё пространство, отвечая на сообщение:
в случае круга вроде как стреляй куда угодно, кроме центра, и через бесконечное число отражений таки попадешь в цель
Я тут подумал немного и пришел к выводу, что я действительно был там неправ. Но в случае двух заданных А и Т, которые не находятся на одном диаметре круга, во-первых существует сплошное пространство углов, в случае R(A)>R(T), при котором А не попадает в Т и даже близко, во-вторых в общем случае количество углов (азимутов) для стрельбы в Т все-таки счетная бесконечность, потому как если есть один угол, при котором линия из А проходит через Т, отражаясь от круга, можно всегда найти ещё один между направлением на/от центра (диаметром, проходящим через А) и лучом, который также пройдет через Т (доказывать ещё надо, но в общем случае, когда такая линия НЕ проходит через А, мы имеем незамкнутую ломаную с фиксированным углом при вершинах, которая проходит через Т после N отражений, и можно найти такой угол, при котором в Т попадаешь за N+M (M — натуральное), то ли строится то ли вычисляется, не соображу), а один угол можно найти бинарным поиском.
Круглая комната весьма выгодна для Цели, если разрешить Цели и Ассасину выбирать себе точку (независимо, в каком порядке): когда один из них в центре круга, то достаточно одного охранника. А вот если их обоих зафиксировать где-то не в центре, то всё усложняется.
Ещё любопытно рассмотреть эллипс. Когда они стоят в фокусах, то всё безнадежно для Т - нужен континуум охранников. Если можно выбирать точку, то опять же для Т выгодно, чтобы только один из них был в фокусе.
Кмк, одним из важных условий задачи была схожесть с физическими свойствами бильярдного стола. И к физическим свойствам относится длина и ширина стола. Почему среди всех рассмотренных форм вы не обратили внимание на это условие? Или с данной формой решение этой задачи пока невозможно?
Прежде всего имелись ввиду отражающие свойства границ фигуры.
Или с данной формой решение этой задачи пока невозможно?
Да нет. Возможно. Просто для прямоугольной комнаты решение будет несколько сложней и в исходной задаче постановка задачи предусматривала именно правильные фигуры.
Да вроде как для прямоугольника задача-то такая же, как для квадрата — также 4 варианта отражений, такой же тор, такие же семейства путей и телохранителей. Там нигде не используется тот факт, что длины сторон у комнаты одинаковые, используется только тот факт, что углы у неё прямые. Или попытка математическим языком (забыть успел), линейное преобразование на плоскости переводит задачу на прямоугольнике в задачу на квадрате, далее теорема 1.
Головоломка ассасина