Новое математическое доказательство расширяет работу Марьям Мирзахани и закрепляет её наследие как пионера экзотических областей математики.

Будучи аспиранткой, Марьям Мирзахани (в центре) преобразила область гиперболической геометрии. Но она умерла в возрасте 40 лет, так и не успев ответить на многие вопросы, которые ее интересовали. Математики Лора Монк (слева) и Налини Анантараман теперь продолжают её работу с того места, где она остановилась.

В начале 2000-х годов молодая аспирантка Гарвардского университета начала составлять карту экзотической математической вселенной, населённой формами, которые бросают вызов геометрической интуиции. Её звали Марьям Мирзахани, и она стала первой женщиной, получившей медаль Филдса, высшую награду в математике. К концу жизни у неё было более семи математических наград, также она являлась членом четырёх научных обществ и академий разных стран.

Её самые ранние работы были посвящены «гиперболическим» поверхностям. На такой поверхности параллельные линии расходятся в стороны, а не остаются на одном и том же расстоянии. А в каждой точке поверхность изгибается в двух противоположных направлениях, как седло. Хотя мы можем представить себе поверхность сферы или бублика, гиперболические поверхности обладают такими странными геометрическими свойствами, что их невозможно визуализировать. При этом их важно понимать, потому что такие поверхности повсеместно встречаются в математике и даже в теории струн.

Мирзахани была влиятельным картографом гиперболической вселенной. Ещё в аспирантуре она разработала новаторские методы, которые позволили ей начать каталогизировать эти формы, прежде чем совершить революции в других областях математики. Она надеялась вернуться к своей карте гиперболической области позже, чтобы заполнить её деталями и сделать новые открытия. Но не успела… В статье, опубликованной в сети в феврале, Налини Анантараман из Коллеж де Франс и Лора Монк из Бристольского университета развили исследования Мирзахани, чтобы доказать общее утверждение о типичных гиперболических поверхностях. Они показали, что поверхности, которые когда-то считались редкими, если не невозможными, на самом деле широко распространены. Фактически, если бы вы выбрали гиперболическую поверхность наугад, она, по сути, гарантированно обладала бы конкретными критическими свойствами.

Мирзахани добилась значительных успехов в нескольких областях исследований и стала первой женщиной, получившей медаль Филдса.

Их работа, пока не прошла рецензирование, но уже привлекла внимание учёных. В ней говорится, что гиперболические поверхности ещё более странные и менее интуитивные, чем кто-либо мог себе представить.

Гиперболические поверхности

Мирзахани родилась и выросла в Тегеране. В детстве она очень любила читать и надеялась когда-нибудь написать собственные книги. Но она также преуспела в математике и в конечном итоге выиграла две золотые медали на Международной математической олимпиаде, престижном конкурсе для старшеклассников. В 1999 году она окончила Технологический университет Шарифа и поступила в Гарвард в аспирантуру. Там она влюбилась в гиперболическую геометрию (также называемую геометрией Лобачевского). В свободное время она любила рисовать и с удовольствием пыталась понять формы, которые по определению не могли быть нарисованы.

*Выросшая в Иране, Мирзахани изначально мечтала быть писателем, прежде чем решила стать математиком.*

«Гиперболическая поверхность немного похожа на пазл, который можно собрать локально, но на самом деле никогда не закончить в нашей Вселенной», — сказал Алекс Райт, математик из Мичиганского университета и бывший коллега Мирзахани. Это потому, что каждый кусочек пазла изогнут в форме седла. Вы можете сложить несколько кусочков вместе, но никогда так, чтобы полностью закрыть поверхность.

Это делает гиперболические поверхности особенно сложными для изучения. Даже основные вопросы о них остаются открытыми. К примеру, пока не очень хорошо понятна гиперболическая геометрия в трёх и более измерениях.

Чтобы разобраться с гиперболической поверхностью, математики изучают замкнутые кривые, которые на ней существуют. Эти кривые, называемые геодезическими, бывают самых разных форм. Для заданной формы они прокладывают кратчайший возможный путь от одной точки до другой, возвращаясь к своему началу. Чем больше отверстий имеет поверхность, тем более разнообразными и сложными могут быть её геодезические. Изучая, сколько различных геодезических заданной длины есть на поверхности, математики могут понять, как выглядит поверхность в целом.

Мирзахани стала одержима этими кривыми. В обсуждениях с коллегами она постоянно говорила про них, её обычная сдержанность испарялась. Она часто говорила с волнением о геодезических и связанных с ними объектах, как будто они были персонажами в рассказе. «Я помню, когда она выступала с докладами, то задавала эти два вопроса: сколько существует кривых и где они находятся?» — сказала Касра Рафи из Университета Торонто.

Ещё в аспирантуре Мирзахани разработала формулу, которая позволила ей оценить, сколько геодезических заданной длины существует для любой гиперболической поверхности. Эта формула позволила ей доказать известную гипотезу в теории струн и дала ей представление о том, какие виды гиперболических поверхностей можно построить.

После окончания аспирантуры Мирзахани добилась значительных успехов в геометрии, топологии и динамических системах. Но она никогда не забывала тему своей докторской диссертации: «Простые геодезические на гиперболических поверхностях и объём пространства модулей кривых» (Simple geodesics on hyperbolic surfaces and the volume of the moduli space of curves).

Она надеялась узнать больше о существах, живших в гиперболическом «зоопарке», который она классифицировала. Она хотела понять, как выглядит типичная гиперболическая поверхность. Часто математики сначала изучают объекты — графы, узлы, последовательности чисел, — которые они могут построить. Но их конструкции обычно «совсем не типичны», — сказал Брэм Петри из Сорбоннского университета. «Мы склонны рисовать очень особенные вещи». Типичный граф, узел или последовательность, выбранные случайным образом, будут выглядеть совсем иначе.

И поэтому Мирзахани начала выбирать гиперболические поверхности наугад и изучать их свойства.

Что такое связность

Монк никогда не думала, что она будет той, кто продолжит дело Мирзахани. Пока ей не исполнилось 20 с небольшим, она не собиралась заниматься карьерой в области математических исследований. Монк планировала стать учителем с самого детства, когда давала уроки математики другим ученикам.

Со времени обучения в аспирантуре Лора Монк разрабатывала математические теории, которые Мирзахани не успела закончить до своей смерти. Монк считает, что так она узнала математика через её доказательства.

Лора поступила в магистратуру Университета Париж-Сакле, став одной из трёх женщин в группе из 40 человек. Ближе к концу учёбы она узнала, что две из них собирались уйти из науки, и Лора решила поставить своей целью получение докторской степени, чтобы стать примером для других женщин.

По предложению одного из своих профессоров Монк села на поезд, чтобы встретиться с Налини Анантараман, потенциальным научным руководителем, которая, как и Мирзахани, была экспертом во многих областях.

На самом деле Анантараман встречалась с Мирзахани несколько раз за свою карьеру — они были примерно одного возраста и интересовались схожими темами. Обе разделяли страсть к гуманитарным наукам: Анантараман так же, как Мирзахани хотела посвятить свою жизнь литературе, училась на классического пианиста и не была уверена, пойдёт ли она в музыку или в математику.

Налини Анантараман почти начала карьеру классической пианистки, прежде чем решила стать математиком. Недавно она получила новаторский результат в гиперболической геометрии.

В 2015 году оба математика провели семестр в Калифорнийском университете в Бёркли. Дочь Мирзахани и сын Анантараман были близки по возрасту, и два математика время от времени встречались на местной детской площадке.

Анантараман знала, что Мирзахани начала экспериментировать со случайными гиперболическими поверхностями к концу своей жизни. Теперь она надеялась развить эту работу.

Один из способов охарактеризовать гиперболическую поверхность — измерить, насколько она связна. Представьте, что вы муравей, идущий по поверхности в случайном направлении. Если вы идёте некоторое время, высока ли ваша вероятность оказаться в произвольном месте поверхности? Если поверхность хорошо связна, и между её различными областями существует множество возможных путей, то ответ — да. Но если она плохо связна — как гантель, которая состоит из двух больших областей, соединённых одним узким мостом — вы можете потратить много времени, блуждая только по одной стороне, прежде чем найдёте способ перейти на другую.

Математики измеряют связность поверхности с помощью числа, называемого спектральной щелью. Чем больше его значение, тем более связна поверхность. Несмотря на то, что представить поверхность всё ещё невозможно, спектральная щель даёт способ думать о её общей форме. По мнению Рафи, это помогает понять, как выглядит поверхность.

Хотя спектральная щель теоретически может быть любым значением от 0 до 1/4, большинство гиперболических поверхностей, которые математики смогли построить, имеют относительно узкую спектральную щель. Только в 2021 году они выяснили, как строить поверхности с любым количеством отверстий, которые имели бы максимально возможную спектральную щель — то есть поверхности, которые были бы максимально связны.

Но даже несмотря на то, что известно относительно немного гиперболических поверхностей с большой спектральной щелью, математики подозревают, что они распространены. Существует огромная и в значительной степени неисследованная вселенная гиперболических поверхностей. Хотя математики обычно не могут построить отдельные поверхности в этой вселенной, они надеются понять общие свойства типичной поверхности. И когда они смотрят на популяцию гиперболических поверхностей в целом, они ожидают, что большинство из них имеют спектральную щель 1/4.

Именно эту задачу Анантараман надеялась решить при помощи своего нового аспиранта. Монк жаждала тесного сотрудничества с наставницей и ставила перед собой амбициозные цели — «если я собираюсь получить докторскую степень, я действительно это сделаю», — вспоминает она свои мысли.

Продолжая работу

В 2018 году, всего через год после смерти Мирзахани, Монк начала аспирантское обучение у Анантараман. Её первым шагом было узнать всё, что она могла, о работе Мирзахани над гиперболическими поверхностями.

Было известно, что если бы вы могли получить достаточно точную оценку числа замкнутых геодезических на поверхности — тех петлевых путей, которые Мирзахани так интенсивно изучала, — вы бы смогли вычислить спектральную щель поверхности. Монк и Анантараман нужно было показать, что почти все гиперболические поверхности имеют спектральную щель 1/4. То есть вероятность выбора поверхности с оптимальной спектральной щелью приближалась бы к 100% по мере увеличения числа отверстий на поверхности.

Пара начала с формулы подсчёта геодезических, которую Мирзахани придумала во время написания докторской диссертации. Проблема была в том, что эта формула недооценивала количество геодезических. Она подсчитывала большинство, но не все из них — она пропускала более сложные геодезические, которые пересекают сами себя, прежде чем вернуться к своему началу, как восьмёрка, окружающая два отверстия.

Мирзахани провела годы, исследуя мир странно изогнутых «гиперболических» форм. Ей нравилось чертить свои идеи на огромных листах бумаги, хотя такие формы по определению невозможно нарисовать.

Но используя ограниченную формулу Мирзахани, Монк и Анантараман нашли способ доказать относительно большую спектральную щель. «Это выглядело почти как чудо», — сказала Анантараман. «Для меня всё ещё остаётся загадкой, как это работает так хорошо».

Что, если бы она и Монк могли бы усовершенствовать формулу Мирзахани, чтобы подсчитать и более сложные геодезические? Возможно, они смогли бы сделать свой подсчёт достаточно точным, чтобы перевести его в спектральную щель 1/4. Это то, что математики до них тоже надеялись сделать.

Анантараман внезапно вспомнила электронное письмо, в котором Мирзахани за пару лет до смерти задавала ряд вопросов о связи между спектральной щелью и подсчётом геодезических. «В то время я действительно не знала, почему она задаёт все эти вопросы», — сказала Анантараман. Но теперь она задавалась вопросом, планировала ли Мирзахани использовать аналогичный подход.

Монк провела часть своего времени в аспирантуре, пытаясь найти способ расширить формулу Мирзахани до более сложных геодезических. Она также написала длинные, подробные описания ключевых концепций, которые Мирзахани не полностью объяснила в своих первоначальных работах. «Мне кажется, что некоторые из её идей были просто выложены на стол для того, чтобы кто-то объяснил их сообществу, потому что у неё не было возможности сделать это», — сказала Лора.

К 2021 году Монк выяснила, как подсчитать все виды геодезических, которые ранее были недоступны. Обе знали, что, проделав некоторую дополнительную работу, они, вероятно, смогут использовать свою новую формулу для получения более точной оценки спектральной щели. Но вместо того, чтобы публиковать частичный результат, они были полны решимости достичь полной цели в 1/4.

А потом они застряли.

Возвращаясь к теории графов

Был один особенно скверный тип геодезических, который постоянно им мешал. Эти геодезические долго обвивались вокруг одной и той же области поверхности, образуя запутанные клубки. Эти клубки возникали только на небольшом количестве поверхностей, но когда они появлялись, их было много. Если бы Монк и Анантараман включили их в свой общий счёт, это бы нарушило вычисления, которые им нужно было выполнить для перевода счета в спектральную щель, давая им выходной сигнал меньше 1/4.

По словам Монк, ситуация казалась безнадёжной.

Её уныние только усилилось, когда две независимые группы опубликовали статьи с разницей в пару месяцев, в которых доказали спектральную щель в 3/16. Новость не беспокоила Анантараман; её волновало только то, как бы добраться до 1/4. «Когда я начинаю работать над чем-то, я как бы влюбляюсь в далёкую цель», — сказала она — видимо, эта черта была у неё общая с Мирзахани.

Монк оставалось ещё год учиться в аспирантуре, и ей нужны были результаты для диссертации. Она думала о том, что, возможно, им стоит согласиться на меньшее.

Алекс Райт, который был в одной из групп, достигших результата 3/16, понял её точку зрения. «Довольно необычно, когда аспирант работает над такой амбициозной проблемой», — сказал он. И не было похоже, что кто-то собирается найти способ достичь 1/4.

Но у Анантараман возникла идея: обратиться за вдохновением к другой области математики, называемой теорией графов. Помните, что Анантараман и Монк хотелось показать, что большинство гиперболических поверхностей максимально связны. Двумя десятилетиями ранее математик Джоэл Фридман доказал, что большинство графов — наборов вершин и рёбер, которые встречаются во всей математике, — обладают этим свойством.

Джоэл Фридман доказал, что почти все сети точек и линий, называемые графами, обладают определённым решающим свойством. Математики недавно адаптировали его работу для решения крупной открытой проблемы в гиперболической геометрии. — Джоэл Фридман доказал, что почти все сети точек и линий, называемые графами, обладают определённым решающим свойством. Математики недавно *адаптировали его работу* *для решения крупной открытой проблемы в гиперболической геометрии.*

Но результат Фридмана было нелегко использовать. «Это печально известный сложный результат с очень длинным доказательством, которое не поддавалось упрощению», — сказал Райт.

Анантараман пыталась осмыслить доказательство Фридмана, когда они с Монк начали свой проект. Но, как и многие другие математики, она нашла его непонятным. «В то время я действительно вообще его не понимала», — сказала она. Теперь она вернулась к нему в поисках новых подсказок.

Она нашла их. Некоторые шаги доказательства выглядели знакомыми, как теоретико-графический аналог того, что она и Монк пытались сделать со своими гиперболическими поверхностями. На самом деле Фридман столкнулся со сложными путями между вершинами в своих графах, которые, как и её запутанные геодезические, помешали ему получить наилучшую оценку спектральной щели. Но каким-то образом он нашёл способ справиться с этими путями, и Анантараман не могла понять, как.

В мае 2022 года она и Монк организовали семинар и пригласили Фридмана рассказать о своей работе. Им нужны были методы, которые он использовал в своём доказательстве.

Объясняя свои математические идеи, обычно сдержанная Мирзахани становилась оживлённой и общительной. Она говорила о различных объектах своего интереса, как будто они были персонажами в рассказе.

По сути, он нашёл способ доказать, что может полностью удалить графы с проблемными путями из своих вычислений. Поговорив с Фридманом, Монк и Анантараман поняли, что они могут сделать то же самое. Оставалось проделать ещё много работы: было бы сложно преобразовать метод Фридмана во что-то, что работало бы для гиперболических поверхностей. Но их сомнения развеялись. «В этот момент стало совершенно ясно, что мы можем закончить работу» — сказала Монк.

Растущее наследие

В начале 2023 года два математика написали статью, в которой описали, что они сделали на данный момент. В ней они доказали рекордную спектральную щель 2/9. «Это показалось мне очень хорошим промежуточным шагом», — сказала Монк.

В 2024 году они адаптировали методы Фридмана и составили план того, как они будут использовать его, чтобы добраться до 1/4. В феврале 2025 года они наконец завершили доказательство, показав, что случайно выбранная гиперболическая поверхность, вероятно, будет иметь максимальную спектральную щель. Результат говорит математикам больше о гиперболических поверхностях, чем они когда-либо знали. Другие исследователи теперь надеются использовать методы этой пары, чтобы ответить на иные важные вопросы, включая вопрос о важных поверхностях в теории чисел и динамике.

По словам Антона Зорича, математика из Института математики Жюсье в Париже, такая работа «мгновенно создаёт лавину результатов, которые идут рука об руку».

Это также позволило Монк и Анантараман глубоко познакомиться с исследованиями Мирзахани. Хотя Монк до сих пор не смотрела ни одной записанной лекции Мирзахани и не слышала её голоса — предпочитая, чтобы она оставалась «немного загадкой в моём сознании», — она чувствует, что знает Мирзахани через её доказательства. «Когда вы читаете работы кого-то подробно, вы в конечном итоге понимаете вещи, выходящие за рамки чистого содержания работы, о том, как они думали», — сказала Монк.

Она гордится тем, что смогла увеличить наследие Мирзахани, и математики с нетерпением ждут, что принесёт это наследие в будущем.

Автор перевода @arielf

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
-15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.

Гений Марьям Мирзахани и её математическое наследие