Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.
![Оригинал задачи (доступно через WebArchive) - здесь Оригинал задачи (доступно через WebArchive) - здесь](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/584/57e/aa9/58457eaa9f224f9c9ec320e9eb310b56.png)
Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/452/ef5/549/452ef55499b9c7425899ab48a5d787e2.png)
Объясняю: слева заштрихован треугольник, вершины которого образованы основаниями медиан (делят сторону пополам), а справа - основаниями высот. Если большие треугольники не являются равнобедренными, то и заштрихованные равнобедренными быть не могут, это доказанный факт.
Но, погодите, есть же еще биссектрисы!
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/4fc/b3c/23e/4fcb3c23e5e8ae04fba4e8aad6b5c7a0.png)
И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным! Более того, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!
Откуда такие странные цифры?
Дальнейшие разборки - дело для настоящих ценителей вкуса. Итак, мы предположим, что треугольник, показанный синим цветом на рисунке выше, является равнобедренным. Геометрическая часть доказательства сводится к поиску подобных треугольников и в итоге приводит к следующему выражению:
![Геометрическое решение в силу сложности я опускаю. Очень подробно расписано - здесь Геометрическое решение в силу сложности я опускаю. Очень подробно расписано - здесь](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/9d7/f95/04d/9d7f9504d839bbcc49234b94977bab63.png)
Затем это выражение раскрывается, а в пару к нему записывается теорема косинусов для большого треугольника:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/1ab/db3/ecd/1abdb3ecd7bd9be9ed827d9fc22181ee.png)
Начинаем страдать! Нам нужно понять, что за условия накладываются на переменную х. Заметим абсолютную симметричность левой части выражения (9 слагаемых, полученных перемножением друг друга + 1 произведение сторон) и путём подбора получим:
![Последним записано неравенство треугольника Последним записано неравенство треугольника](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e59/bdd/731/e59bdd7310281352f2d96e34cc4f6016.png)
Теперь решаем уравнение и неравенство совместно:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/63a/cd3/563/63acd3563544c3a292b6ddc03f215e96.png)
Получили первое условие. Не пугайтесь, ведь x - в нашем случае это косинус угла, поэтому всё нормально. Идём дальше. подставляем выражение для стороны a в теорему косинусов:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/529/93a/198/52993a1989b3ae09250eea2ab0cf7af6.png)
Получили квадратное уравнение относительно y. Необходимо проверить, когда оно имеет решение, причём положительные (ведь y - это отношение сторон треугольника). Разделим на (4x+1), вычислим дискриминант и получим итоговое выражение для косинуса угла х:
![Здесь нужно подобрать корни кубических уравнений, а потом поделить уголком, чтобы получить неравенство, решаемое школьным методом интервалов Здесь нужно подобрать корни кубических уравнений, а потом поделить уголком, чтобы получить неравенство, решаемое школьным методом интервалов](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/851/13e/7e9/85113e7e9fed6e77bc8da76a8eb9ade9.png)
Итак, барабанная дробь! Мы получили, что косинус одного из углов треугольника Шарыгина должен быть больше минус 1/4 и меньше вот этого вот всего с радикалом. Вычисляем на калькуляторе:
![](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/0e3/ce1/b6c/0e3ce1b6cc88a48a239bbf7fadf51ea3.png)
А вот и реальные углы! Оцените полученный диапазон! Не знаю как Вы, но я испытал истинное наслаждение.
![Уравнение можно решить как квадратное относительно y, а затем перебором найти целочисленные решения. Получено оно из предположения, что z=1 (следует из свойств симметрии решений). Уравнение можно решить как квадратное относительно y, а затем перебором найти целочисленные решения. Получено оно из предположения, что z=1 (следует из свойств симметрии решений).](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/bad/e96/88d/bade9688d782fcbc91dd564f536028ed.png)
И еще один факт. Выше показан треугольник Шарыгина с наименьшими целочисленными сторонами. Красивый конец, неправда ли ?
Больше математики в Telegram - "Математика не для всех".
Эта статья поддерживается командой ITGLOBAL.COM
Мы — первый облачный провайдер в России, а также интегратор, поставщик ИТ-услуг, продуктов, сервисов и разработчик собственного ПО.
• Наш сайт
• Наш блог про Enterprise IT во всех его проявлениях
• Истории успеха наших клиентов