Comments 65
Так и не стало понятно, что имеется в виду. Комплексные числа могут быть выражены как пары вещественных, хотя для математиков это некрасиво и неудобно. Но что имеется в виду под Невозможно? Пойду читать оригинал
Как верно заметили в комментариях к оригиналу, числа, сами по себе, это математические абстракции и никакую реальность описывать не могут. Комплексные числа в этом смысле ничем не отличаются от обычных. Вы число 1 видели когда нибудь?
The paper in fact establishes that there are genuine, complex quantum systems
Или такую фразу как расшифровывать?
Вот, тоже про электротехнику подумал. Думал, что давно уже считается, что комплексные числа имеют какой-то физический смысл, а оказывается вон оно как.
www.youtube.com/watch?v=5PcpBw5Hbwo
В целом, у него все видео отличные )
1. Действительные числа при изменении: идём вперёд, но не назад.
2. Комплексные числа. Идём вперёд, но не назад. И ещё можем поворачивать.
3. Новый подход. Подходим к развилке. И, образно говоря, как струя воды может начать обтекать шар — пойти можно не только по одному пути — по нескольким сразу. Квантовая механика своей необычностью говорит об этом. Давно уже говорит.
Статья двойственна: то что учёные ничуть не удивляются, что их понимание закостенело — это первое, но пытаются его развивать — это второе. И при этом как бы сетуют, что и так кое как на уровень второй перешли. Но это, может быть, журналист-насильник постарался про удивительный первый переход вписать. «Может второй переход всё вернёт?» Ахаха!
Число в базовом варианте описывает количество чего-либо.
Отрицательное число описывает то же самое — количество. Но мы добавляем к нему один дополнительный бит (знак + -). Этот бит позволяет выполнять операции, которые с базовым вариантом числа оказываются невозможными. И нет ничего странного, что эта самодостаточная схема находит место в физике. Мир ведь как раз и создан из закономерностей и симметрий.
С комплексными числами история продолжается. Комплексное число — это тоже всего-лишь количество, но к этому количеству вместо одного бита добавляется непрерывное число — фаза. Т.е. понятие знака числа мы расширяем до понятия фазы числа. Фаза — это число изменяющееся от 0 до некого значения, которое эквивалентно 0. Т.е. изменяющаяся периодически. Математики приняли, что фаза изменяется от 0 до 2pi. В этом 2pi нет особо сакрального смысла, но это сильно упрощает запись множества выражений.
Дальше, оказывается, что замена знака на фазу дальше очень сильно расширяет возможности выполнения операций с такими числами (почти до бесконечности). И опять нет ничего удивительного, что в организации вселенной сплошь и рядом видны уши этой математической концепции.
И единственный по настоящему интересный вопрос — почему амплитуды вероятностей в КМ задаются числом с фазой (комплексным).
Отчасти это понятно — эволюция вселенной должна быть обратимой и в ней должны действовать некие законы сохранения (сохранения вероятности, как минимум). Обратимое изменение с точки зрения математики — это в некотором роде вращение чего-то. Вращение — это как раз то что хорошо описывается комплексными числами. Получаем картину вроде и неизбежную, но в то же время загадочную.
почему амплитуды вероятностей в КМ задаются числом с фазой (комплексным)
Чисто теоретически там могут быть какие-то напряженности полей, вектора которых идут через комплексное направление. То есть наше пространство как бы четырехмерно, только мы это четвертое измерение не наблюдаем, а вот поля в нем распространяются. Может быть и целочисленность спинов с этим связана, "либо вверх, либо вниз" это проекции комплексного направления на те, которые мы наблюдаем. И само действие поля, например, гравитации, на любую молекулу внутри физического тела похоже на действие через четвертое измерение, с остальных трех-то другие молекулы, они бы ослабляли действие поля, или еще как-то модифицировали в зависимости от толщины объекта.
Если мы хотим судить о квантовой механике, в основу нужно помещать не классическую картину а скорее некие соображения о природе вероятности и информации.
Я не вижу причин, почему надо рассматривать некую непознаваемую магию. В результатах квантовых экспериментов наблюдаются некие закономерности, значит есть какие-то реальные законы взаимодействия реальной материи, которые действуют всегда одинаково и дают такой результат. Значит их можно изучить и описать в некоторых терминах, а "поле" настолько широкий термин, что другие термины для новых явлений вряд ли понадобятся. Зависимость антикорреляции спинов от угла наклона детекторов говорит о том, что там где-то есть какой-то направленный вектор чего-то.
рожденный в основном повседневным опытом, ничего более
Эм, не совсем, это термин для обозначения источника этого опыта. Раз есть опыт, значит есть и его источник, а называть его материей или еще как-то, это дело десятое. И вот это "есть" в общем-то и означает фундаментальность, или вернее существование независимо от нашего желания и где-то вне нас как информационных систем, получающих эту информацию. А "вне нас" и обозначается словом "в реальности". "Реальная материя" означает лишь определенное сходство с теми наблюдениями, которые мы уже обозначаем этим словом. И даже если выяснится, что Вселенная это компьютерная симуляция, это сходство наблюдений все равно останется верным.
Загадочность процедуры означает, что мы еще мало знаем о том, как оно работает.
Что означает слово «существовать»? Все эти слова понятны только в повседневном опыте. Какой-то ясной картины, в которой они имели бы формальный смысл нет.
Нам неважно, имеют ли они формальный смысл, что бы вы под этим ни подразумевали. Нам важно только то, можно ли наблюдаемое явление B описать теми же терминами, что и наблюдаемое явление A. То есть есть ли у них наблюдаемое через этот повседневный опыт сходство. "Реальные законы взаимодействия реальной материи" означает только то, что они реальны в том же смысле, что и уже известные нам законы известной нам материи. То есть условно, что мы можем взять прибор и померить какое-то поле.
разбудите когда реальность начнут описывать числовой системой шире чем кватернионы
Так уже, какие-то "нехорошие" люди уже стали описывать октонионами, пожертвовав даже ассоциативностью умножения :)
Видимо автора, как и многих других, сбивает с толку историческое название «мнимая» для части комплексного числа.Верно. На самом деле у комплексного числа нет никакой особенной мнимой части. У него есть модуль, как и у любого числа.
Мнимая часть появляется из за нашего желания разложить комплексное число на сумму двух чисел — с аргументом 0 и pi/2. Вторая часть никакая не «мнимая», это просто еще одно комплексное число.
Ну строго говоря мнимая часть как раз особенная, она отвечает за вращения. Поэтому i2 это поворот на pi, а i1/2 на pi/4. Действительные числа такой особенностью не обладают.
i2=-1 это просто сокращённая запись (0+1*i)2=(-1+0*i)
И как же (0+1*i)*(0+1*i)=(0+0*1*i+1*i*0+1*i*1*i)=(0+1*i*i) = 1*i2 у вас превратилось в -1? Оно появилось потому что 1*i*i дает в результате -1, без этого вы не сможете поставить знак равенства между частями выражения.
Мнимая часть ничем от действительной не отличается, и за вращение никак не отвечает.
И почему же тогда вектор [0, i1/2] на комплексной плоскости имеет наклон pi/4?
i1/4
i2/4
i3/4
И как же (0+1*i)*(0+1*i)=(0+0*1*i+1*i*0+1*i*1*i)=(0+1*i*i) = 1*i2 у вас превратилось в -1? Оно появилось потому что 1*i*i дает в результате -1, без этого вы не сможете поставить знак равенства между частями выражения.Нет, оно появилось оттого, что при умножении комплексных чисел их длины перемножаются, а углы — складываются. Вот так и получилось, что вектор, полностью лежащий на мнимой оси, повернулся на 90° и стал полностью лежать на действительной оси. А замена i2 на -1 — это символьное преобразование для удобства вычислений, а вовсе не равенство. И это не единственное преобразование — из него никак не следует что, например,
сos(2*arcсos(2))=7.
И почему же тогда вектор [0, i1/2] на комплексной плоскости имеет наклон pi/4?Это неверная формулировка. Наклон pi/4 имеет вектор [0.707, 0.707]. В мнимую часть комплексного числа мнимая единица не входит.
Мнимая часть за вращение никак не отвечает.
углы — складываются
Вот так и получилось, что вектор, полностью лежащий на мнимой оси, повернулся на 90°
А говорите, не отвечает. Вращение это и есть изменение угла.
Это неверная формулировка. Наклон pi/4 имеет вектор [0.707, 0.707].
Запись [0.707, 0.707] в вашем контексте это или точка с действительными координатами [x, y], или вектор нулевой длины на действительной оси, это у вас неверная формулировка. На графике который я привел, нет ни этой точки, ни вектора из нуля в эту точку, потому что там нет второй действительной оси. Конец вектора там находится в точке [0.707, 0.707i]. Запись i1/2 задает эту же точку. Это просто разные записи этого числа, показательная и
тригонометрическая.
(0.707 + 0.707i) = |1|(cos(pi/4) + i*sin(pi/4)) = |1|ei*pi/4 = ((ei*pi)1/2)1/2 = ((-1)1/2)1/2 = i1/2
А замена i2 на -1 — это символьное преобразование для удобства вычислений, а вовсе не равенство.
Удобство вычислений тут ни при чем, потому что вместо 2 может быть любая другая степень. i1.99 например дает точку, очень близкую к -1, но не равную ей. Умножение на i в этой степени поворачивает вектор/комплексное число на соответствующий угол (как вы сами выше и написали). Именно это я подразумевал в выражении «она отвечает за вращения», я не понимаю, с чем вы спорите.
Связь комплексных чисел с вращениями задает формула Эйлера, она связывает комплексные числа с синусами и косинусами углов. Там даже в Википедии окружность нарисована.
Именно это я подразумевал в выражении «она отвечает за вращения», я не понимаю, с чем вы спорите.Вы написали «строго говоря мнимая часть как раз особенная, она отвечает за вращения». В то время как и мнимая, и действительная части совершенно равнозначны и во вращении участвуют также равнозначно. Вместо i1/2 можно написать (-1)1/4 и получить тот же результат.
Конец вектора там находится в точке [0.707, 0.707i]При записи в матричном виде символ i не пишется — он имеет смысл только при алгебраической записи. В противном случае у вас получается, что компонентами комплексного числа является комплексные, а не действительные числа.
Вместо i1/2 можно написать (-1)1/4 и получить тот же результат.
Потому что это возможно только из-за равенства i2 = -1. Без мнимых чисел вы корень из отрицательного числа не возьмете. Возведение произвольных чисел в произвольные дробные степени вообще стало возможным только после формулы Эйлера.
Отрицательные числа это такое же расширение положительных, как и комплексные расширение действительных, и являются их частным случаем. И их так же как и комплексные поначалу не признавали.
"Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата."
Не очень понятно, почему отрицательные числа надо считать более правильными или более стандартными, чем мнимые. Знак "минус" у числа это тоже операция поворота, специальное обозначение для i в степени 2 (не наоборот, как вы говорили).
В то время как и мнимая, и действительная части совершенно равнозначны и во вращении участвуют также равнозначно.
Нет, не равнозначно. Вращение определяется исключительно самой компонентой i в заданной степени, коэффициенты при ней вращение вообще не задают. Коэффициенты это масштабирование, i это поворот.
При записи в матричном виде символ i не пишется
"Complex numbers a + bi can also be represented by 2×2 matrices that have the form"
Так у вас не матрица 2x2.
В противном случае у вас получается, что компонентами комплексного числа
У меня это координаты точки, а не матрица с компонентами комплексного числа.
и являются их частным случаем
Наоборот — обобщением.
Так у вас не матрица 2x2
Вектор — это частный случай матрицы, если вы не знали. Вектор в геометрии и вектор в алгебре — это не одно и тоже. Нет никакого смысла указывать начало вектора, если он всегда равен 0. Кватернион в векторном виде записывается как [a,b,c,d], а не [0,a+bi+cj+dk]
Вращение определяется исключительно самой компонентой i в заданной степени, коэффициенты при ней вращение вообще не задают.Вращение — это геометрическая интерпретация, получаемое при перемножении двух комплексных чисел. Возведение в степень — соответственно, несколько подряд таких перемножений.
Вектор — это частный случай матрицы, если вы не знали.
Но у вас по ссылке написано про другой частный случай матрицы, и конкретно указан размер 2x2.
Вращение — это геометрическая интерпретация
Ну так в статье же и говорится про связь комплексных чисел и реальности, в которой вращения есть и которая является прообразом геометрической интерпретации.
Возведение в степень — соответственно, несколько подряд таких перемножений.
Сколько перемножений комплексных чисел вида a+bi надо, чтобы получить i1/4
Сколько перемножений комплексных чисел вида a+bi надо, чтобы получить i^1/4В зависимости от исходных данных, разумеется. Например, 3 для 0.991445+0.130526i или, если точнее, (sqrt(3*(2-sqrt(2)))*(1+sqrt(2)))/4+((-1+sqrt(2))*sqrt(2+sqrt(2)))/4 + ((sqrt(2-sqrt(2))*(1+sqrt(2)))/4-((-1+sqrt(2))*sqrt(3*(2+sqrt(2))))/4)i
или, если точнее, (sqrt(
Так sqrt это и есть возведение в дробную степень, а вы сказали, что ее можно получить с помощью нескольких подряд перемножений комплексных чисел.
/4)i
У вас i в первой степени, а не в 1/4. А я говорил про возведение i в степень, и что угол вращения зависит от показателя этой степени. Вы разложили число на сумму векторов по перпендикулярным координатам, я не понимаю, каким образом это доказывает отсутствие зависимости вращения относительно центра этих координат от степени. Выражение x*i это поворот на 90 градусов, просто с такой степенью незаметно, что это именно вращение, а не просто другое направление. Если бы это было просто направление, то sqrt(x*i) давало бы точку sqrt(x)*i, так же как sqrt(2*1) для действительного направления дает точку sqrt(2)*1.
Так sqrt это и есть возведение в дробную степеньТак под sqrt находятся положительные числа — это просто действительная константа, а не функция — там ничего не вращается и никаких мнимых единиц нет. Я её привёл лишь только для демонстрации того, что решение получено аналитически, а не численно.
У вас i в первой степени, а не в 1/4Ну разумеется, ведь именно так и ставилась задача. После 3-кратного перемножения всё посокращяется и получится требуемое.
После 3-кратного перемножения всё посокращяется и получится требуемое.
У вас там сумма 3 чисел, в 3 аргументе тоже сумма
(sqrt(3*(2-sqrt(2)))*(1+sqrt(2)))/4
+((-1+sqrt(2))*sqrt(2+sqrt(2)))/4
+(
(sqrt(2-sqrt(2))*(1+sqrt(2)))/4
-((-1+sqrt(2))*sqrt(3*(2+sqrt(2))))/4
)*iИ даже если скобки раскрыть, i все равно останется в 1 степени, и если сложение на умножение заменить, тоже будет только 1 степень. i1/4 при вычислениях нигде не возникает, насколько я могу судить.
У вас было утверждение "Возведение в степень — соответственно, несколько подряд таких перемножений". Выражение вида (a+bi)^3 дает только выражение вида (c+di), никакой дробной степени i там не возникает. То, что это одна и та же точка, не доказывает верность этого утверждения. Вы доказали только то, что декартовы координаты точки можно преобразовать в полярные и наоборот. Я с этим и не спорил.
Более того, то, что это одна и та же точка, возможно исключительно потому что i в степени x означает вращение против часовой стрелки от действительной оси. Возведение в произвольную степень это самостоятельная операция, которая не сводится к целому числу перемножений.
Возведение в произвольную степень это самостоятельная операция, которая не сводится к целому числу перемножений.Сильное утверждение. К целому, конечно, не всегда — а вот к целому и дробному вполне. Через логарифм вполне считается, и чуть ранее вы им как раз и пользовались.
К целому, конечно, не всегда
Ну так вы-то говорили про несколько перемножений цельных законченных выражений вида a+bi, "несколько" как раз и подразумевает целое число. Потому я про целое и написал. "Дробное перемножение" это и есть возведение в произвольную степень. Конечно возведение в произвольную степень можно сделать через возведение в произвольную степень.
Через логарифм вполне считается
Так логарифм это операция, обратная возведению в степень. Вы-то говорили про перемножение чисел, а не про логарифмы.
И их так же как и комплексные поначалу не признавали.Не признавали не комплексные числа — а корень из -1. Понятия «комплексное число» в то время не существовало в принципе. В отличие от отрицательного числа, его нельзя показать на линейке.
И я так не увидел ответа на вопрос, как из вашего понимания комплексных чисел получается сos(2*arcсos(2))=7 и причём тут вращение.
Не признавали не комплексные числа — а корень из -1
Комплексное число
«Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах». В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного».»
«Выражения, представимые в виде a + b*sqrt(-1), появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными.»
И я так не увидел ответа на вопрос, как из вашего понимания комплексных чисел получается сos(2*arcсos(2))=7
Я не очень понимаю, почему вы меня об этом спрашиваете, и как ваш пример противоречит тому, что я говорю. Я говорю, что умножение на i в некоторой степени это вращение (что наиболее заметно если степень дробная), а у вас тут косинус и арккосинус, никакого умножения на i в дробной степени нет. Арккосинус в точке 2 имеет только мнимую часть, то есть поворот только на pi/2. Разложение в ряд косинуса и арккосинуса имеет только целочисленные степени, что в общем-то тоже является вращениями на pi/2, но это не так наглядно, как дробная степень i выше на картинке.
arcсos(2) = 1.317i
2*arcсos(2) = 2.634i
cos(2.634i) = (e^ix + e^-ix) / 2
cos(2.634i) = (e^i*2.634i + e^-i*2.634i) / 2
cos(2.634i) = (e^-2.634 + e^2.634) / 2 = (0.071 + 13.929) / 2 = 7
cos(x) = 1 — x^2/2! + x^4/4! — x^6/6!
cos(2.634i) = 1 — 6.937*i^2/2 + 48.135*i^4/24 — 333.960*i^6/720 = 6.937 ~= 7
Все нормально получается.
Вот так это выглядит на графике. Зеленым показан косинус аргумента по направлению i, синим по действительному.
И к слову, в ответе не примерно 7, а 100% целое число 7.
К слову, у меня там разложение в бесконечный ряд, из которого я взял первые 3 элемента, там и не должно 100% целое число 7 получаться.
Вы это аналитически посчитайте, используя равенство i^2=-1 или тождество Эйлера
Я и посчитал через формулу Эйлера, тождество Эйлера это ее частный случай для x = pi, оно здесь неприменимо, так как у вас аргумент не pi. Непонятно, почему вы решили, что я говорю что-то, что противоречит формуле Эйлера.
Вот формула Эйлера для косинуса
cos(x) = (e^ix + e^-ix) / 2
Я по ней и посчитал.
Можно с арккосинусом посчитать
arccos(x) = -i*Ln(x + i*sqrt(1 - x^2))
arccos(2) = -i*Ln(2 + i*sqrt(1 - 2^2))
-i*Ln(2 + i*sqrt(-3))
-i*Ln(2 + sqrt(3)*i*sqrt(-1))
-i*Ln(2 + sqrt(3)*i*i)
// i^2=-1
-i*Ln(2 - sqrt(3))
-i*ln(2 - sqrt(3))
2*arccos(2) = -2*i*ln(2 - sqrt(3))
cos(x) = (e^ix + e^-ix)/2
cos(2*arccos(2)) = (
e^ i*( -2*i*ln(2 - sqrt(3)) )
+ e^-i*( -2*i*ln(2 - sqrt(3)) )
)/2
(
e^( -2*i*i *ln(2 - sqrt(3)) )
+ e^( -2*i*(-i)*ln(2 - sqrt(3)) )
)/2
// i^2=-1
( e^( 2*ln(2 - sqrt(3)) )
+ e^( -2*ln(2 - sqrt(3)) ) )/2
( (e^( ln(2 - sqrt(3)) ))^2
+ (e^( ln(2 - sqrt(3)) ))^-2 )/2
( (2 - sqrt(3))^2 + (2 - sqrt(3))^-2 )/2
( (7 - 4*sqrt(3)) + 1/(7 - 4*sqrt(3)) )/2
Получили действительные числа без экспоненты, дальше умножаем на сопряженное, и в результате получается (7+7)/2. Все равно непонятно, как это опровергает утверждение, что умножение на i в степени x это вращение на угол (x*pi/2).
А решение задачи о косинусе аркосинуса есть намного более компактное и без привлечения формулы Эйлера. Оно даже в википедии есть — правда, не на странице о комплексных числах.
Опровергалось утверждение, что i — это число.
То, что с i можно обращаться как числом — это просто соглашение.
Я не утверждал, что i это обычное число, я наоборот сразу сказал, что мнимая часть особенная.
Численные вычисления с комплексными числами оперируют парой чисел без привлечения какой-либо магии.
Связь степени i с вращениями это никакая не магия, это просто его свойство.
"i*i = -1" это и есть особенность, которая отличает комплексные числа от пар обычных чисел "a+bx". Только я бы не стал называть это магией.
"a+bx" это вообще алгебраическая форма, одна из возможных, непонятно почему вы считаете ее более правильной, чем полярную/показательную, которая по определению зависит от угла.
Cos(i) не имеет смысла до тех пор, пока не поделится на действительную и мнимую компоненты.
Имеет, это такая же точка на комплексной плоскости, как и любая другая, в том числе с нулевой мнимой частью. Я там выше даже график нарисовал из таких точек. Cos(i) это вообще действительное число. Разделение на действительную и мнимую компоненты это просто одна из форм записи, можно производить вычисления исключительно в полярных координатах через модуль и фи.
сразу сказал, что мнимая часть особенная.Мнимая часть — это действительное число, обозначаемое через Im(z). Таково определение во всех источниках (для разнообразия), включая системы компьютерной алгебры. Если обнулить действительную часть, то результаты операций с мнимой частью в чистом виде ничем не будут отличатся от действительных — только после каждого числа будет стоять символ i. Который можно выкинуть и совершенно ничего не изменится.
В качестве развлечения можно поменять мнимую и действительную часть местами и посмотреть, как это отразится на результатах.
Мнимая часть — это действительное число, обозначаемое через Im(z)В таком случае я некорректно употребил это название, рад, что мы это выяснили. Я говорил про умножение этого действительного числа на i в некоторой степени (в частности 1), и уже несколько раз это пояснил. Такое умножение поворачивает радиус-вектор числа на угол, соответствующий степени. Не знаю, каким термином это называется, выберите тот, который знаком вам.
Если обнулить действительную часть, то результаты операций с мнимой частью в чистом виде ничем не будут отличатся от действительных — только после каждого числа будет стоять символ i.Будут, я уже приводил пример.
sqrt(2*i) не равно sqrt(2)*i, а sqrt(2*1) равно sqrt(2)*1.
2*i * 2*i не равно 4*i, а 2*1 * 2*1 равно 4*1.
В качестве развлечения можно поменять мнимую и действительную часть местами и посмотреть, как это отразится на результатах.Меняем.
2*1+0*i, sqrt(2*1+0*i), (2*1+0*i)*(2*1+0*i)
0*1+2*i, sqrt(0*1+2*i), (0*1+2*i)*(0*1+2*i)
Результаты отличаются.
sqrt(2*i) не равно sqrt(2)*iТак это разные функции. Функция возведения в степень — многозначная, там нельзя просто так выносить аргументы.
Результаты отличаются.Конечно отличаются — вы же их на разные углы поворачиваете. Углы же от нуля считаются — как только мнимую и действительную часть поменяли, и углы поменялись. Это нужно учитывать.
(1+0.5i) * (1.2+0.4i) = (1+i)
(0.5+i) * (1.2-0.4i) = (1+i)Функция возведения в степень — многозначная, там нельзя просто так выносить аргументы.
Ну вот поэтому утверждение "результаты операций с мнимой частью в чистом виде ничем не будут отличатся от действительных — только после каждого числа будет стоять символ i, который можно выкинуть" неверное. Для операции "возведение в степень" результаты отличаются.
углы поменялись. Это нужно учитывать.
Вы же сказали, надо просто поменять местами мнимую и действительную части, без всяких дополнительных корректировок.
У меня в примере одна из частей всегда 0, они откладываются только по мнимому или только по действительному направлению, это соответствует вашей фразе "только после каждого числа будет стоять символ i", потому что "символ i после числа" означает откладывание по мнимому направлению. Результаты операций отличаются — до операции возведения в квадрат стоял символ i, после операции пропал.
Они только для суммы/разности будут совпадать с действительными, потому что в этом случае ось векторов не меняется.
Это нужно учитывать.
(1.2+0.4i)
(1.2-0.4i)
У меня в примере операции "a", "sqrt(a)" и "a^2", и поменять местами действительную и мнимую часть можно только у "a", там нет второго числа, которое можно скорректировать. А вы какие-то дополнительные числа вводите. Естественно, умножением на какое-то другое число можно получить тот же результат, только это не доказывает утверждение "результаты операций с мнимой частью в чистом виде ничем не будут отличатся от действительных".
Вы же сказали, надо просто поменять местами мнимую и действительную частиЭто я сказал всё к тому, что мнимая часть не обладает никакими особыми свойствами для вращения. При возведении в квадрат i просто умножается само на себя — поэтому логично, что 90°+90°=180° и оно ложится на действительную прямую. У минус единицы 180° — поэтому понятно, что при умножении самой на себя получается 360°. А у единицы 0° — поэтому его что умножать, что делить бесполезно.
Вот только удобство комплексных чисел в том и состоит, что там поворот можно делать через умножение независимо от того, куда смотрит изначальный вектор. А возведение в степень используется для задания констант — причём Mathematica в качестве основания использует -1, а не i
Если после вычислений повернуть её обратно — то результат будет совпадать с тем, как если бы она не поворачивалась вообще.
Не будет, я же показал на графике. Результаты операций с действительными числами лежат на одной оси, а с комплексными на разных. После поворота 2 станет 2i, и угол результата вычисления sqrt(2i) будет не кратен 90°, поэтому и после поворота обратно на 90° не вернется на действительную ось.
Это я сказал к тому, что мнимая часть не обладает никакими особыми свойствами для вращения.
Я уже сказал, что я говорю не про действительный множитель перед i, а про умножение на i в степени. Умножение на i в степени и дает вращение в сторону от действительной оси, умножение на действительное число вращения не дает.
При возведении в квадрат оно просто умножается самом на себя — поэтому логично, что 90°+90°=180°
А у единицы 0°
Ну а откуда у вас взялось 90°, если по вашим словам оно ничем не отличается от действительных, у которых 90° нет. Вот это 90 и есть особое свойство, и не просто "90", а именно "+90". Вполне можно задать такие правила, что 1i*1i = 1i, так же как 1*1 = 1, тогда все будет так, как вы говорите, операции с мнимой компонентой ничем не будут отличаться от операций с действительной, только после каждого числа будет стоять символ i. То есть мы будем двигаться исключительно по оси i, а не в сторону.
И 90° там именно потому что i находится в первой степени, а в другой степени будет не 90°. При возведении i^1/4 в квадрат тоже никаких 90° нет, а вращение есть.
Вот только удобство комплексных чисел в том и состоит, что там поворот можно делать через умножение
Я об этом сразу и сказал, умножение на i^x это поворот на угол x*90°. Я не понимаю, с чем вы спорите.
Вопрос в другом. Вы физик, уравнения нужны вам, чтобы получить некие итоговые заключения о свойствах вашей модели. Получили. И видите, что мнимая и вещественная части вашего результата имеют самостоятельный (и разный) физический смысл. Я не секунды не квантовый физик. И говорю об этом только потому, что, как это часто бывает, подобные штуки встречались уже в классической электродинамике.
Когда вы формулируете классические уравнения электромагнитного поля, то очень удобно использовать комплексные числа. Это известно. Вот есть источник, вы все посчитали, нашли поля и захотели вычислить вектор плотности потока энергии (вектор Пойнтинга). Он имеет мнимую и вещественную части. С вещественной все как бы понятно — если вы отойдете от источника «подальше», в волновую зону (скажем, на 10 длин волн и более), то вещественная часть вектора Пойнтинга покажет вам, где находится источник. Но сам вектор существует и вблизи источника. Тогда с вещественной частью возможны забавные фокусы (они описаны в 6-м томе Фейнмана). А мнимую-то часть куда девать? Если вы из чистого любопытства откроете известный труд Стрэттона «Теория электромагнетизма», то узнаете, что мнимая часть вектора Пойнтинга пропорциональна разности магнитной и электрической энергий поля. Иногда мнимую часть называют «реактивной», подчеркивая, что она связана с перераспределением энергии, а не с омическими потерями. УжЕ немного не похоже на вещественную. Лет 15 назад я наткнулся на хорошую статью, где было показано, что если размеры источника много меньше длины волны, то вблизи него (на расстоянии длины волны и менее) мнимая часть вектора Пойнтинга стремительно возрастает с приближением к точке излучения. Вуаля. В дальней зоне — пеленг по вещественной части, в ближней — по мнимой, ибо вещественная для этого абсолютно не годится. Вот и получили разный физический смысл в результате чисто формального использования комплексных чисел.
Говорится, что есть задачи в квантовой физике (например с запутанностью), где нельзя просто декомпозировать комплексные числа лишь в реальные числа, чтоб вставлять их в уравнения.
Ну и — корень из отрицательного действительного числа по-прежнему не определён. Определён корень (причём неоднозначно) из произвольного комплексного числа, в том числе и с нулевой мнимой частью.
Мнимые числа для описания реальности?Для описания. Сама ВФ тоже для описания, см. Приложение В. в конце этой статьи.
Тест Белла показывает, что пары удаленных друг от друга частиц могут обмениваться информацией в едином «запутанном» состоянии. Если бы монета 25 центов в штате Мэн могла «запутаться», например, с такой же монетой в Орегоне, то повторяющиеся подбрасывания показали бы, что всякий раз, когда одна монета падает орлом, ее дальний партнер, как ни странно, выпадет решкой.
Вот тут ошибочка\неточность. Запутанность спадает после первого взаимодействия-наблюдения, и гипотетические запутанные монетки распутались бы после первого же броска. Второй бросок мог бы дать совершенно любые результаты выпадения монет.
Мнимые числа для описания реальности?